大陸和臺(tái)灣高中數(shù)學(xué)教材“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容比較研究

覃淋

【摘要】以教材中“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容作為研究對(duì)象，對(duì)中國(guó)大陸和中國(guó)臺(tái)灣高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行比較研究.研究發(fā)現(xiàn)：（1）在知識(shí)點(diǎn)數(shù)量上，臺(tái)灣教材多于人教A版；在內(nèi)容深度上臺(tái)灣教材也高于大陸教材.（2） 臺(tái)灣教材中統(tǒng)計(jì)概率各占50%，大陸教材中概率內(nèi)容多于統(tǒng)計(jì).（3） 從教材對(duì)知識(shí)點(diǎn)的具體處理來(lái)看，大陸教材更追求定義的嚴(yán)格性.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)教材；統(tǒng)計(jì)；概率；比較研究

1引言

近年來(lái)，中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的比較研究已成為數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)熱點(diǎn).但大部分研究主要集中在代數(shù)、幾何等內(nèi)容，很少涉及“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容.從國(guó)際數(shù)學(xué)教育改革的趨勢(shì)看，“統(tǒng)計(jì)與概率”在各國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中占據(jù)著越來(lái)越重要的地位.以新加坡高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為例，其高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的具體內(nèi)容分為純數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)兩部分，涉及的“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容有：概率，伯努利分布和正態(tài)分布，抽樣理論和假設(shè)檢驗(yàn)，相關(guān)性和回歸分析（H1層次）.再如國(guó)際上著名的TIMSS測(cè)試、PISA測(cè)試，它們的內(nèi)容測(cè)試框架中都包含了“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容.TIMSS（2015）測(cè)試中四年級(jí)測(cè)試內(nèi)容為：數(shù)、幾何圖形與測(cè)量、數(shù)據(jù)呈現(xiàn)；八年級(jí)測(cè)試內(nèi)容：數(shù)、代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)與概率[1].PISA（2015）測(cè)試中的第二部分——數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)，包含了變化與關(guān)系、空間與圖形、數(shù)量、不確定性和數(shù)據(jù)[2].

從我國(guó)數(shù)學(xué)教育改革的趨勢(shì)來(lái)看，對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的強(qiáng)調(diào)也正在逐步加強(qiáng).1996年大綱的選修部分開(kāi)始有了統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容；2000年，我國(guó)高考數(shù)學(xué)試題首次考查概率的內(nèi)容，主要考查了古典概率的概念；2001年高考試題中出現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的試題[3]，2004年新課程改革進(jìn)一步加強(qiáng)了統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)的強(qiáng)調(diào).再到如今高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專(zhuān)家提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象、數(shù)據(jù)分析.這一切都說(shuō)明了“統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)逐漸成為一個(gè)未來(lái)公民的必備常識(shí).”

“統(tǒng)計(jì)與概率”作為我國(guó)新課程改革中變化較大的內(nèi)容之一，同時(shí)其思維方式又和傳統(tǒng)的代數(shù)、幾何等內(nèi)容有所不同，是數(shù)學(xué)教育研究中需要給予更多關(guān)注的一個(gè)知識(shí)領(lǐng)域.因此，本研究選擇了“統(tǒng)計(jì)與概率”作為研究對(duì)象，對(duì)中國(guó)大陸和中國(guó)臺(tái)灣地區(qū)的高中數(shù)學(xué)教材“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的內(nèi)容進(jìn)行比較研究，希望能為我國(guó)高中數(shù)學(xué)教材中“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的編寫(xiě)提供些許參考.

2研究對(duì)象及內(nèi)容

考慮教材的使用范圍及教材是否能體現(xiàn)所在地區(qū)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，再結(jié)合教材的出版時(shí)間，最后確定了表1中所列的數(shù)學(xué)教材[4-7].

2.1兩種教材統(tǒng)計(jì)概率部分知識(shí)點(diǎn)的比較

根據(jù)上面選擇的教材，我們統(tǒng)計(jì)了兩種教材“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的知識(shí)點(diǎn)，兩種教材的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表（“+”表示有此知識(shí)點(diǎn)，“-”表示無(wú)此知識(shí)點(diǎn)）

就高中數(shù)學(xué)而言，學(xué)習(xí)的概率論知識(shí)通常包括概率及其基本性質(zhì)，隨機(jī)變量及其分布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征，條件概率和一些常見(jiàn)的概率分布等.統(tǒng)計(jì)知識(shí)有收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)兩方面，前者是抽樣調(diào)查，包括隨機(jī)抽樣方法等內(nèi)容；后者是統(tǒng)計(jì)推斷，包括估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、相關(guān)分析、回歸分析等.

下面我們分別從知識(shí)廣度和知識(shí)深度兩個(gè)方面進(jìn)行分析.

2.2兩種教材“統(tǒng)計(jì)與概率”部分知識(shí)廣度的比較

由表2知，我們總共列出了38個(gè)知識(shí)點(diǎn).從知識(shí)點(diǎn)數(shù)量上看，中國(guó)臺(tái)灣高中數(shù)學(xué)教材包含的知識(shí)點(diǎn)有32個(gè)；大陸教材28個(gè).我們對(duì)兩種教材中所含統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)點(diǎn)數(shù)量分別進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，計(jì)算兩部分各自所占的比重.統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明：人教A版教材統(tǒng)計(jì)、概率部分比重分別為42.86%、57.14%；臺(tái)灣教材統(tǒng)計(jì)和概率各占50%.

為進(jìn)一步比較兩種教材的不同之處，統(tǒng)計(jì)了兩種教材具體知識(shí)點(diǎn)的差異，結(jié)果如表3

說(shuō)明：表中的“T→ZA”表示臺(tái)灣教材有，而人教A版教材沒(méi)有的知識(shí)點(diǎn)，其它類(lèi)似.

從表3可以發(fā)現(xiàn)，大陸教材中有些內(nèi)容，如系統(tǒng)抽樣、幾何概型、超幾何分布、假設(shè)檢驗(yàn)等，臺(tái)灣教材沒(méi)有涉及.臺(tái)灣教材設(shè)置的內(nèi)容，如標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)、隨機(jī)變量的和與積、樣本空間等內(nèi)容，大陸教材沒(méi)涉及.

從知識(shí)點(diǎn)的順序看.原大綱下的高中數(shù)學(xué)教材在“統(tǒng)計(jì)與概率”部分知識(shí)的順序是“概率→概率→統(tǒng)計(jì)”，而人教A版和臺(tái)灣教材的順序是“統(tǒng)計(jì)→概率→概率→統(tǒng)計(jì)”，這是我們教材非常顯著的一個(gè)變化.這一變化的原因，大概是概率部分的知識(shí)更多的是涉及計(jì)算與相關(guān)理論，相比而言，統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容更貼近學(xué)生的實(shí)際生活，學(xué)生更容易學(xué)習(xí).這樣的處理方式也并非只是中國(guó)特色，世界上許多國(guó)家或地區(qū)也是這樣處理的[8].

2.3兩種教材“統(tǒng)計(jì)與概率”部分知識(shí)深度的比較

從教材的具體內(nèi)容來(lái)看，大陸教材對(duì)有些知識(shí)僅僅列出名稱(chēng)簡(jiǎn)單加以介紹而已.如正態(tài)分布，教材用了5頁(yè)的篇幅來(lái)介紹，主要討論正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)、均值、標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)正態(tài)分布的影響，3σ原則等.對(duì)正態(tài)分布的應(yīng)用未作任何說(shuō)明，沒(méi)有涉及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)化等內(nèi)容.中國(guó)臺(tái)灣教材用了14頁(yè)，并通過(guò)“中心極限定理”來(lái)說(shuō)明了任意分布當(dāng)樣本量足夠大，都趨近于正態(tài)分布.再如“二項(xiàng)分布”，A版教材用了3頁(yè)來(lái)介紹，和以前教材相比，內(nèi)容豐富了一些.臺(tái)灣教材則用了整整一節(jié)（20+3頁(yè)習(xí)題）來(lái)詳細(xì)進(jìn)行討論，并利用Excel來(lái)對(duì)二項(xiàng)分布的性質(zhì)做了非常細(xì)致的討論.大陸教材對(duì)一些重要卻比較難的內(nèi)容沒(méi)有介紹，如大數(shù)定律、中心極限定理、貝葉斯公式.

下面我們從幾個(gè)主要方面來(lái)具體討論：概率、隨機(jī)變量、隨機(jī)抽樣、數(shù)據(jù)分析.

2.3.1概率

一般而言，中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的概率定義沒(méi)有采用數(shù)學(xué)上的公理化定義.不同的教科書(shū)一般采取概率的“統(tǒng)計(jì)定義”或是概率的“古典定義”，嚴(yán)格地說(shuō)，這兩個(gè)“定義”并不能稱(chēng)之為定義，只是一種描述性的說(shuō)法.概率的“古典定義”是在“等可能性”的基礎(chǔ)上給出的.設(shè)一個(gè)試驗(yàn)有N個(gè)等可能的結(jié)果，而事件E恰好包含其中的M個(gè)結(jié)果，則事件E的概率記為P（E），定義為P（E）=M/N[9].比如擲骰子，在骰子質(zhì)地絕對(duì)均勻的情況下，我們知道每一點(diǎn)出現(xiàn)的概率是1/6，把擲一次骰子出現(xiàn)偶數(shù)記為事件E，那么事件E出現(xiàn)的概率P（E）=3/6.endprint

所謂概率的“統(tǒng)計(jì)定義”是一種通過(guò)試驗(yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件概率的方法.也就是說(shuō)，一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性的大小，應(yīng)該由多次重復(fù)試驗(yàn)中其出現(xiàn)的頻繁程度去刻畫(huà)[9].這里應(yīng)注意的是，頻率只是概率的估計(jì)而非概率本身，這也是教師在教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的.

考察兩種教材，發(fā)現(xiàn)它們?cè)诟怕识x上的處理方式有所不同.

大陸教材首先給出了概率的“統(tǒng)計(jì)定義”.在給出了頻率的定義后，然后利用計(jì)算機(jī)模擬擲硬幣的試驗(yàn)，并結(jié)合歷史上擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果來(lái)說(shuō)明：對(duì)任意給定的隨機(jī)事件，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn（A）穩(wěn)定于概率P（A），因此我們可以用頻率來(lái)估計(jì)概率[4].接著舉了6個(gè)例子，在加深學(xué)生對(duì)概率理解的同時(shí)，介紹了概率的應(yīng)用，沒(méi)有在概率的定義上做過(guò)多的糾纏.緊接著又用一節(jié)內(nèi)容介紹了古典概型.

臺(tái)灣教材的引入方法和大陸教材不同.臺(tái)灣教材首先用了一節(jié)內(nèi)容來(lái)介紹樣本空間與事件，給出了樣本空間、事件、互斥事件和對(duì)立事件的定義.然后在引入“機(jī)會(huì)均等”的基礎(chǔ)上給出了概率的“古典定義”，但沒(méi)有介紹概率的“統(tǒng)計(jì)定義”.

2.3.2隨機(jī)變量

隨機(jī)變量是概率論的基礎(chǔ)概念，兩種教材的引入方式相似但處理方法有所不同.

兩種教材都是通過(guò)實(shí)例引入隨機(jī)變量的概念.臺(tái)灣教材對(duì)隨機(jī)變量的描述是：將一試驗(yàn)的每種結(jié)果分別對(duì)應(yīng)一個(gè)“數(shù)值”，此種對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為隨機(jī)變量.臺(tái)灣教材在給出隨機(jī)變量的概念后，緊接著又介紹了離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量，然后用大量的例題重點(diǎn)討論了隨機(jī)變量分布列的計(jì)算，并在例題中介紹了隨機(jī)變量的和與積.

人教A版在介紹隨機(jī)變量的定義后，又介紹了離散型隨機(jī)變量，但沒(méi)有涉及連續(xù)型隨機(jī)變量.而后在討論離散型隨機(jī)變量的分布列時(shí)，介紹了兩點(diǎn)分布和超幾何分布.

2.3.3隨機(jī)抽樣

在“隨機(jī)抽樣”這一內(nèi)容的處理上，兩種教材存在著較大的差異.

首先，從“隨機(jī)抽樣”這一內(nèi)容所處位置來(lái)說(shuō)，人教A版教材中，隨機(jī)抽樣的內(nèi)容是放在必修部分的，而在中國(guó)臺(tái)灣教材這一部分內(nèi)容是放在選修教材中的.

其次，從兩種教材介紹的內(nèi)容看，大陸教材介紹了三種隨機(jī)抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣.臺(tái)灣教材在介紹總體和樣本后，介紹了非概率抽樣法、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣.

最后，從兩種教材的處理方式來(lái)看，大陸教材對(duì)隨機(jī)抽樣這一內(nèi)容是非常重視的，大陸教材專(zhuān)門(mén)用了一節(jié)內(nèi)容來(lái)詳細(xì)討論了三種隨機(jī)抽樣方法.對(duì)于每一種抽樣方法都給出了比較嚴(yán)格的定義，并給出實(shí)例.相比而言，大陸教材更追求概念的嚴(yán)格性.

2.3.4數(shù)據(jù)分析

統(tǒng)計(jì)學(xué)主要包括兩部分，收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù).

首先，從兩種教材涉及的內(nèi)容看，臺(tái)灣教材的內(nèi)容多于大陸教材，主要有：算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化；散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)、最小二乘法、回歸直線(xiàn).大陸教材主要有：直方圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差；散點(diǎn)圖、線(xiàn)性相關(guān)、最小二乘法、回歸直線(xiàn).就這一部分而言，臺(tái)灣教材和大陸教材是比較接近的，只是內(nèi)容深度上比大陸教材難一些.

其次，從兩種教材對(duì)內(nèi)容的處理方式看，大陸教材用了2節(jié)分別來(lái)介紹這兩部分內(nèi)容.首先介紹了利用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布和用樣本的數(shù)字特征（平均數(shù)、眾數(shù)、方差等）估計(jì)總體的數(shù)字特征，并未引入極限定理、置信區(qū)間等內(nèi)容來(lái)說(shuō)明怎樣對(duì)“樣本估計(jì)總體”的可接受性做出判斷.教材僅從感性經(jīng)驗(yàn)說(shuō)，“可以用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的.”[4]但這個(gè)“好”的標(biāo)準(zhǔn)是什么，怎樣去刻畫(huà)？教材沒(méi)有提及.接著另用一節(jié)內(nèi)容討論了“兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)”.

臺(tái)灣教材專(zhuān)門(mén)用了一章來(lái)討論，在介紹了單變量數(shù)據(jù)分析的描述性統(tǒng)計(jì)量后，討論了雙變量數(shù)據(jù)分析，利用最小二乘法計(jì)算回歸直線(xiàn)，最后介紹了利用Excel軟件計(jì)算一些描述性統(tǒng)計(jì)量.

3結(jié)論

通過(guò)對(duì)中國(guó)大陸人教A版高中數(shù)學(xué)教材和中國(guó)臺(tái)灣南一版高中數(shù)學(xué)教材中“統(tǒng)計(jì)與概率”的比較研究，得到以下結(jié)論：

（1）在知識(shí)點(diǎn)數(shù)量上，中國(guó)臺(tái)灣高中數(shù)學(xué)教材多于大陸教材；從教材選擇的內(nèi)容看，臺(tái)灣教材涉及的統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)也多于大陸教材.

（2） 大陸教材概率內(nèi)容多于統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，臺(tái)灣教材統(tǒng)計(jì)概率的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量相等.人教A版較原大綱版高中數(shù)學(xué)教材而言，統(tǒng)計(jì)和概率的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量都有所增加，但統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)數(shù)量增加的幅度比概率部分小.

（3） 從兩種教材對(duì)知識(shí)點(diǎn)的具體處理來(lái)看，大陸教材對(duì)有些知識(shí)點(diǎn)僅列出名稱(chēng)簡(jiǎn)單的介紹，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的處理上，中國(guó)教材更追求定義的嚴(yán)格性.雖然兩種教材都注意統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)與學(xué)生實(shí)際生活的聯(lián)系，但總體而言做得還不夠.數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí).“統(tǒng)計(jì)與概率”作為數(shù)學(xué)中應(yīng)用性較強(qiáng)的內(nèi)容，更應(yīng)該聯(lián)系實(shí)際生活來(lái)促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí).

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