淺議圓錐曲線解題策略與技巧

王江閩

摘要：高中生學(xué)好圓錐曲線，能夠提升良好的創(chuàng)新、開拓方面的思維能力，因此對學(xué)生的思維能力也提出了更高的要求。本文通過歸納介紹定義法、數(shù)形結(jié)合法等多種方法，目的使學(xué)生掌握解題策略以及技巧。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2017）08-0126-01

圓錐曲線是高中階段平面解析幾何的核心內(nèi)容，是高考的必考內(nèi)容之一，它主要考查圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、參數(shù)取值范圍、最值、軌跡方程以及圓錐曲線有關(guān)證明問題。它的曲線類型多，涉及公式多，運算量大，對考生的分析能力、綜合運用各種數(shù)學(xué)知識與思想方法解題的能力以及計算能力要求較高。在解題過程中，利用解析幾何的思想方法解決圓錐曲線的問題，思路比較簡單.且有較強的規(guī)律可循，歸納起來主要有以下四個方面。

1.用定義法求解

圓錐曲線的第二定義體現(xiàn)了"形"的統(tǒng)一，第一定義則體現(xiàn)了"質(zhì)"的區(qū)別。兩種定義不僅在解題中應(yīng)用廣泛，而且具有很大的靈活性。第一種定義和第二種定義的靈活轉(zhuǎn)換常常是打開解析幾何思路的鑰匙，在題目中挖掘這隱含信息有助于解題。

例1：橢圓x2a2+y2b2（a>b>0）和雙曲線x2m2-y2n2（m，n>0）有公共的焦點F1（-c，0）、F2（c，0），P為這兩曲線的交點，求|PF1|·|PF2|的值。

分析：做這道題時，如果我們從P為這兩曲線的交點出發(fā)，想通過聯(lián)立方程組解點P的坐標(biāo)，再利用兩點間距離公式去求|PF1|，|PF2|，其過程十分繁瑣，但如果從橢圓與雙曲線的定義出發(fā)，就比較容易解決問題。

解：設(shè)|PF1|=u，|PF2|=v，則u+v=2a ①u-v=±2m ②a2-b2=m2+n2 ③，由①②得u=a-mv=a+m，結(jié)合③得|PF1|·|PF2|=v·n=a2-m2或b2+n2。

2.用韋達(dá)定理法求解

因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決。

例2：已知橢圓x2m+y2m-1=1（2≤m≤5）過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次交于A、B、C、D、設(shè)f（m）=||AB|-|CD||，：求f（m）。

分析：此題初看很復(fù)雜，對f（m）的結(jié)構(gòu)不知如何運算，因A、B來源于"不同系統(tǒng)"，A在準(zhǔn)線上，B在橢圓上，同樣C在橢圓上，D在準(zhǔn)線上，可見直接求解較繁，但若這些線段"投影"到x軸上，立即可將問題明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。

解：（1）橢圓x2m+y2m-1中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點F1（-1，0）則BC：y=x+1，代入橢圓方程即（m-1）x2+my2-m（m-1）=0，得（m-1）x2+m（x+1）2-m2+m=0；∴（2m-1）x2+2mx+2m-m2=0；設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=-2m2m-1（2≤m≤5）

f（m）=||AB|-|CD||=2|（xB-xA）-（xD-xC）|=2|（x1+x2）-（xA+xC）|=2|（x1+x2|=2·2m2m-1

3.用引入?yún)⒆兞浚O(shè)而不求法求解

在解答圓錐曲線的存在性問題、定值問題時，常常需要設(shè)出相關(guān)的點的坐標(biāo)或是直線的斜率、截距等變量，以便相關(guān)計算得以進(jìn)行。而 在計算過程中.并不需要求出所設(shè)變量的值，而是通過整體代換、化簡等手段消去變量，達(dá)到解題目的。

例3、已知雙曲線x2-y22=1，經(jīng)過點M（1，1）能否作一條直線L，使L與雙曲線交于A、B，且點M是線段AB的中點。若存在這樣的直線L，求出它的方程，不存在，說明理由。

分析：這是一道探索性題目，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線，然后驗證是否滿足題設(shè)的條件。

解：設(shè)存在被點M平分的弦AB，且A（x1，y1）、B（x2，y2）

則x1+x2=2，y1+y2=2；x12-y122=1，x22-y222=1

兩式相減，得（x1+x2）（x1-x2）-12（y1+y2）（y1-y2）=0，∴KAB=y1-y2x1-x2=2

故直線AB：y-1=2（x-1）；由y-1=2（x-1）x2-y22=1消去y，得2x2-4x+3=0

∴Δ=（-4）2-4×2×3=-8<0

這說明直線 與雙曲線不相交，故被點 平分的弦不存在，即不存在這樣的直線 。

4.用數(shù)形結(jié)合法的求解

解析幾何是代數(shù)與幾何的一種統(tǒng)一，常要將代數(shù)的運算推理與幾何的論證說明結(jié)合起來考慮問題，特別在研究結(jié)合圖形間的位置關(guān)系時。運用數(shù)形結(jié)合的思想，能有效地避開復(fù)雜的計算，直觀簡潔地解決問題。

例4：已知點P（x，y）是圓x2+y2-6x-4y+12=0上一動點，求yx的最值。

解：設(shè)O（0，0），則yx表示直線OP的斜率，當(dāng)直線OP與圓相切時，yx取得最值，設(shè)最值為k，則切線：y=kx，即kx-y=0；圓（x-3）2+（y-2）2=1，由圓心（3，2）到直線kx-y=0的距離為1得|3k-2|k2+1=1，∴k=3±34∴ （yx）min=3±34，yxmax=3±34

圓錐曲線的解題，一般都是上述幾種方法綜合運用，也不乏一題多解，復(fù)習(xí)的過程中，要抓好變式訓(xùn)練和一題多解的分析，學(xué)會分析問題的本質(zhì).找出正確解題方向。