運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸 巧求取值范圍

王建寧

【摘要】轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一，它是學(xué)生將未知領(lǐng)域的問題轉(zhuǎn)化為已有的知識(shí)體系進(jìn)而解決問題的關(guān)鍵。教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)不斷加強(qiáng)轉(zhuǎn)化與化歸思想的滲透和培養(yǎng)。文章結(jié)合兩道習(xí)題再現(xiàn)了這種數(shù)學(xué)思想的重要性。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化與化歸思想；線性規(guī)劃；取值范圍

轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)中的基本思想方法之一，這一重要的數(shù)學(xué)思想在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中能將新舊知識(shí)聯(lián)系起來，在應(yīng)用已經(jīng)掌握的知識(shí)和方法來解決新問題的過程中不可或缺，它是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的關(guān)鍵。因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要不斷加強(qiáng)轉(zhuǎn)化與化歸思想的滲透，使學(xué)生面對(duì)很多實(shí)際問題適時(shí)劃歸，突破難點(diǎn)，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)高效快捷準(zhǔn)確的解決問題。而線性規(guī)劃問題是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，面對(duì)的問題多以最值問題呈現(xiàn)，實(shí)際生活中總有利潤(rùn)最大、風(fēng)險(xiǎn)最小、產(chǎn)量最高等實(shí)際問題與之對(duì)應(yīng)。

下面我將結(jié)合自己在教學(xué)實(shí)踐中遇得到兩個(gè)例題談?wù)勣D(zhuǎn)化與化歸思想在線性規(guī)劃中的體現(xiàn)、應(yīng)用及滲透。

在高一數(shù)學(xué)中有這樣一道題目：已知且，，求的取值范圍.

當(dāng)時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的相關(guān)性質(zhì)，學(xué)生很快根據(jù)已知條件分別求出了a與b的取值范圍.

即由，可得

，

所以

即的取值范圍為.

學(xué)生做完之后，教師問了一句“對(duì)嗎？”一部分學(xué)生很快進(jìn)行了檢查在確定沒有運(yùn)算錯(cuò)誤的前提下十分自信地點(diǎn)了點(diǎn)頭。但是教師在黑板上給出了如下解題過程：

設(shè)

由2x+y=1，-x+y=-5可得x=2，y=-3

所以

由可得

所以

即a-5b的取值范圍為.

顯然，學(xué)生求解的范圍變大了，為什么呢？基于學(xué)生在高一的認(rèn)知水平和知識(shí)體系，只能對(duì)學(xué)生解釋：這里的兩個(gè)變量是相互制約的，當(dāng)a變大時(shí)，b相應(yīng)地要變小，才能使不等式成立，也就是說不能同時(shí)取到最大值。比如時(shí)，如果，那么顯然與相矛盾。學(xué)生好像有所理解，但是對(duì)學(xué)生而言，初次接觸這類題目，感覺解法好奇怪，還很難上升到道理性認(rèn)識(shí)。

時(shí)間轉(zhuǎn)眼到了高二，教學(xué)過程中遇到了這樣一道習(xí)題：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求的取值范圍.

有部分學(xué)生給出了如下解決方案：

數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d

則，

由題可知

分別求出

因?yàn)?/p>

又

即.

此時(shí)，另有一部分學(xué)生對(duì)這種解法提出疑問，曾經(jīng)在高一時(shí)講過的一個(gè)例題和這道題很相似并且通過查閱錯(cuò)題本很快找到了前面的習(xí)題，給出了這種解法存在的問題：a1與d相互制約而不能同時(shí)取得最大值。然后給出了下面的解法：

解：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d

則，

設(shè)

可得

解得

得到

所以的取值范圍是.

至此，相信大多數(shù)學(xué)生對(duì)這類習(xí)題都有了較為深刻的認(rèn)識(shí)，將習(xí)題2劃歸到習(xí)題1的解法上，只是提出問題的形式有所不同，但考察的實(shí)質(zhì)相同。這就要求學(xué)生在解題過程中運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想將問題劃歸到能解決的已知問題上，而不是受惑于問題的表象和字母的選取與表現(xiàn)形式。此刻學(xué)生情緒高漲，問題解決到這里也很完美。但是與高一相比，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)，因而可以將這道習(xí)題再做如下探討：

觀察已知條件：題中給出的取值范圍，相當(dāng)于告訴我們，求的取值范圍.

問題可看成在線性約束條件①下，求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍.

引導(dǎo)學(xué)生給出由約束條件①確定的平面區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅危ㄈ鐖D）：

由圖可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取到最大值，；在點(diǎn)處取到最小值，

所以的取值范圍為.

與上面的結(jié)果相同，可謂殊途同歸。運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想將這個(gè)問題劃歸到線性規(guī)劃的方向上，確定可行域，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值，確定S9的取值范圍，是求解此類問題的又一個(gè)方向，既體現(xiàn)了一題多解和一題多變的思想，又充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，在滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面都能取得良好的效果。

而且通過求解過程還可以看到前面先分別求出a1與d范圍再求出的取值范圍出錯(cuò)的原因。由作為約束條件得到的是平面區(qū)域?yàn)榫匦危繕?biāo)函數(shù)最值在點(diǎn)和點(diǎn)處分別取到，即，所以.

顯然可行域發(fā)生變化是本題產(chǎn)生錯(cuò)誤的最根本原因。如果此時(shí)再讓學(xué)生將錯(cuò)題本上的習(xí)題1運(yùn)用線性規(guī)劃的知識(shí)重新求解，絕大多數(shù)學(xué)生都能順利完成，而且結(jié)合圖形能分析出分別求出a和b的范圍而出錯(cuò)的原因，從而對(duì)這道曾經(jīng)的遺留問題產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)，正是“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”。

當(dāng)然，轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)中非常常見，正是這一經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)學(xué)生將未知領(lǐng)域的問題不斷劃歸到已知領(lǐng)域，利用已有的知識(shí)解決新問題。教師在平時(shí)的教學(xué)過程中要不斷加強(qiáng)這一數(shù)學(xué)思想的滲透，才能不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用創(chuàng)新能力。endprint