非數(shù)學(xué)專業(yè)的行列式概念教學(xué)淺談

黃琴

行列式是很多學(xué)生難以理解的概念，對于行列式的教學(xué)，許多教師也是想盡各種方法，盡可能從學(xué)生容易理解的角度出發(fā)引出它的定義。本文綜合各位同仁的教學(xué)研究成果整理出自己一套的行列式教學(xué)方法。本著以傳授知識(shí)和培養(yǎng)學(xué)生能力為宗旨，不僅從行列式的展開定理引入行列式，而且從幾何的角度來解釋行列式的幾何意義，加深學(xué)生的理解，提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。

關(guān)鍵詞：行列式概念；展開定理；幾何意義；能力培養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G633.6 文章標(biāo)識(shí)碼：B

Determinant is a difficult concept for many students to grasp.So it encourages every teacher to defind determinant in an accessible way. I make a synthesis of other teachers studies and sum up out a set of self teaching method in this paper. Taking knowledge and capacity - building as objectives， i not only define determinant by determinant expanded theorem，but also interpret determinant in terms of geometry . Then students will make a good comprehension of determinant and increase the interest to learn linear algebra.

Key words： determinant； expanded theorem； geometrical meaning

線性代數(shù)作為非數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它的理論、思想與方法對大學(xué)生綜合素質(zhì)的提高和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)都有十分重要的作用。因此，在教學(xué)過程中，不僅應(yīng)注重知識(shí)的傳授，而且要更強(qiáng)調(diào)學(xué)生思維能力的提高和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。線性代數(shù)內(nèi)容中的概念多數(shù)比較抽象，出現(xiàn)的形式也比較突然，讓學(xué)生一時(shí)無法理解。比如，很多教材中介紹行列式概念和性質(zhì)的過程中，一味地采取出乎意料的定義和繁雜的推理過程，讓學(xué)生在一開始學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)就顯得力不從心。所以，本文主要從線性代數(shù)課程的培養(yǎng)目標(biāo)出發(fā)淺談行列式概念的教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、行列式的概念教學(xué)

很多教科書里都是從逆序數(shù)、排列等角度出發(fā)定義行列式，然而對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來講，這一定義顯得抽象、復(fù)雜，特別是后續(xù)教學(xué)中還用這個(gè)定義去解釋、證明行列式的性質(zhì)時(shí)，更會(huì)讓學(xué)生覺得難以接受。也有些是脫離行列式的產(chǎn)生背景直接給出行列式的概念，這又顯得太過突然，使學(xué)生不能加深對概念的理解和明確學(xué)習(xí)目的，無法引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

其實(shí)，行列式一開始只是求解線性方程組的一種速記符號(hào)，類比中學(xué)學(xué)習(xí)的的一元二次方程求根公式的 符號(hào)。由于在實(shí)際的應(yīng)用問題當(dāng)中，經(jīng)常會(huì)碰到求解二元、三元等低元線性方程組的情形，于是引導(dǎo)學(xué)生分別觀察二元、三元線性方程組解的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（前提是這些方程組有解），創(chuàng)造一個(gè)速記符號(hào)，即二階、三階行列式，由此引入二階、三階行列式的概念及其計(jì)算方法——對角線法則。

接著用不完全歸納法，通過研究相二階、三階行列式之間的關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)高階行列式到低一階行列式的一個(gè)遞推公式，從而用遞推的方法引進(jìn)了n階行列式的定義，即由行列式的展開理論來定義行列式。由于遞推思想是學(xué)生以前接觸過的，因此，這種定義方式會(huì)讓學(xué)生比較容易接受。再者，有了這種遞推思想，教師也可以順其自然地引入余子式及代數(shù)余子式的概念，讓學(xué)生也清楚地理解概念產(chǎn)生的緣由，加深學(xué)生對這些概念的理解和記憶。

二、行列式的幾何意義教學(xué)

法國著名數(shù)學(xué)家笛卡爾說過：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此用這種方式來表達(dá)事物是非常有意義的。”。 在讓學(xué)生經(jīng)歷行列式的再創(chuàng)造過程的基礎(chǔ)上，如果再結(jié)合幾何，給出行列式的幾何意義，這無疑會(huì)加深學(xué)生對行列式的認(rèn)識(shí)和增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

在平面直角坐標(biāo)系上，學(xué)生通過對兩個(gè)非平行向量張成的平行四邊形面積的計(jì)算，結(jié)合二階行列式的計(jì)算結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積可以表示為二階行列式的形式。由此，反推二階行列式的幾何意義就是由行列式的向量所張成的平行四邊形的有向面積，三階行列式的幾何意義是由行列式的向量所張成的平行六面體的有向體積，進(jìn)一步地，引導(dǎo)學(xué)生可以把n階行列式想象成一個(gè)n維立體的有向體積。

行列式的幾何教學(xué)不僅能夠讓學(xué)生驚訝于行列式的用處，增強(qiáng)對行列式學(xué)習(xí)的興趣，而且能夠加深對行列式性質(zhì)的理解，增強(qiáng)對行列式性質(zhì)的應(yīng)用。同時(shí)，也為后續(xù)行列式作為判斷向量線性相關(guān)性的重要工具學(xué)習(xí)做好鋪墊。

三、行列式概念教學(xué)中的能力培養(yǎng)

教材內(nèi)容是依照邏輯體系編排的，并不直接展現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法，而學(xué)生的數(shù)學(xué)能力往往是在應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，解決相關(guān)問題的過程中得以培養(yǎng)的。因此，教師必須認(rèn)真分析教學(xué)內(nèi)容，充分挖掘蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想方法，確立具體的能力培養(yǎng)目標(biāo)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中發(fā)展創(chuàng)造能力。

德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是在研究線性方程組時(shí)發(fā)明了二階、三階行列式。于是，我們希望在行列式概念的教學(xué)中，通過再現(xiàn)數(shù)學(xué)前輩創(chuàng)造行列式這一數(shù)學(xué)對象的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。比如，指導(dǎo)學(xué)生通過想象記憶二階、三階行列式的計(jì)算方法——對角線法則，接著讓學(xué)生試著驗(yàn)證對角線法則在四階行列式、五階行列式的適用性，發(fā)現(xiàn)如果用對角線法則來定義四階及以上行列式的計(jì)算，那么這些行列式就不構(gòu)成對應(yīng)線性方程組的解，失去了行列式本身應(yīng)有的意義，從而引導(dǎo)學(xué)生從遞推的角度來猜想并定義n階行列式。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以利用該定義自主學(xué)習(xí)，結(jié)合教師的引導(dǎo)得出行列式的性質(zhì)。

這種讓學(xué)生參與教學(xué)全過程的教學(xué)方法，不僅能讓學(xué)生弄清行列式概念的來龍去脈和形成過程，體驗(yàn)探索知識(shí)的樂趣和喜悅，而且能讓學(xué)生真正理解知識(shí)和掌握知識(shí)，提高應(yīng)用知識(shí)的靈活性。同時(shí)，在很大程度上它也發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體作用，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)探究、推理歸納和創(chuàng)新能力。

行列式是學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)最先接觸的概念，如果事先能夠把行列式概念的來龍去脈和意義講清楚，讓學(xué)生參與知識(shí)的形成與發(fā)展過程，將很有力地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的獨(dú)立性和自主性，為線性代數(shù)學(xué)習(xí)創(chuàng)造了一個(gè)良好的開端。

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