初中數(shù)學(xué)歸納教學(xué)中應(yīng)用芻談

劉曉林

摘 要：一個(gè)人的歸納能力，不是生而就強(qiáng)的，而是要通過(guò)后天的學(xué)習(xí)鍛煉而提升的。數(shù)學(xué)知識(shí)本就由生活經(jīng)驗(yàn)知識(shí)歸納而成，因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程其實(shí)也是一個(gè)歸納學(xué)習(xí)過(guò)程，可以有效訓(xùn)練學(xué)生的歸納思維能力。初中數(shù)學(xué)中歸納教學(xué)的應(yīng)用有重要的教育意義，不過(guò)在應(yīng)用時(shí)要應(yīng)用過(guò)程中要注意引入邏輯的支持，確?？茖W(xué)地歸納。

關(guān)鍵詞：歸納教學(xué)；初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

【分類號(hào)】G633.6

歸納是通過(guò)大量的個(gè)別事實(shí)提取共性特點(diǎn)的思維過(guò)程，是日常生活中人們經(jīng)常會(huì)應(yīng)用的思維。一個(gè)善于歸納的人，也是一個(gè)善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的人。一個(gè)人的歸納能力，不是生而就強(qiáng)的，而是要通過(guò)后天的學(xué)習(xí)鍛煉而提升的。數(shù)學(xué)知識(shí)本就由生活經(jīng)驗(yàn)知識(shí)歸納而成，因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程其實(shí)也是一個(gè)歸納學(xué)習(xí)過(guò)程。當(dāng)然，數(shù)學(xué)推理等需要演繹，而演繹卻是以歸納為基礎(chǔ)的。初中數(shù)學(xué)教師在執(zhí)教過(guò)程中，應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納訓(xùn)練，培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的歸納思維能力。本文擬就初中數(shù)學(xué)中歸納應(yīng)用談一些看法。

一、初中數(shù)學(xué)歸納教學(xué)應(yīng)用意義

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)生活實(shí)際或動(dòng)手操作進(jìn)行有意義有目的的分析、探索，進(jìn)而提煉數(shù)學(xué)中的一般性規(guī)律，即用經(jīng)驗(yàn)歸納的方法尋求數(shù)學(xué)的事實(shí)性結(jié)論。主要有下述教育意義：

1、學(xué)生體驗(yàn)了經(jīng)驗(yàn)世界中數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，根據(jù)建構(gòu)主義的認(rèn)知觀點(diǎn)，是學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行意義建構(gòu)的有效途徑。不過(guò)這樣建構(gòu)的知識(shí)，僅具實(shí)證性，還不深刻，是淺層次的。

2、使學(xué)生得到歸納方法的學(xué)習(xí)。歸納方法被譽(yù)為發(fā)現(xiàn)的“邏輯”，廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)研究，科學(xué)史上許多重大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明主要依賴于歸納方法。例如，開普勒在研究太陽(yáng)系行星運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)十年觀察和計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納，得到天體運(yùn)動(dòng)第三定律。孟德爾歸納八年的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，完成了《植物雜交試驗(yàn)》的偉大論著，為遺傳學(xué)作了科學(xué)奠基。在數(shù)學(xué)研究中，也常借助歸納作出猜想和判斷，著名的哥德巴赫猜想就是通過(guò)歸納得到的，又如對(duì)數(shù)由類比歸納得到。學(xué)習(xí)歸納方法也就是學(xué)習(xí)了科學(xué)研究的基本方法，對(duì)提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力具有十分積極的意義。

3、通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的“情境”性體驗(yàn)，使得對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念有樸素的理解，為進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象思維提供依托和支持。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問(wèn)題解決中，經(jīng)常對(duì)某問(wèn)題的具體個(gè)別情形進(jìn)行考察、歸納，尋求解決問(wèn)題的策略和一般方法。

4、增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，由此增進(jìn)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)，增進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和能力，提高用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的能力。

5、經(jīng)驗(yàn)歸納將數(shù)學(xué)與生活融洽，有利于增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。興趣是促進(jìn)自覺(jué)能動(dòng)的動(dòng)力，特別是通過(guò)歸納得到發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造時(shí)，使人的心靈深處倍感快慰，將產(chǎn)生濃厚的興趣，有可能達(dá)到雖為其“勞苦”而感到樂(lè)的境界——樂(lè)此不疲。

正基于上述理由，當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)中凸顯經(jīng)驗(yàn)歸納教學(xué)，其意義是不言而喻的。但是，也應(yīng)該清楚地認(rèn)識(shí)到歸納有很大的局限性，不僅數(shù)學(xué)知識(shí)不可能全由歸納得到，而且就其本身而言，缺乏深刻，以及得到的結(jié)論不一定正確。

二、歸納教學(xué)應(yīng)用中要注意引入邏輯的支持

在數(shù)學(xué)王國(guó)里，雖然數(shù)學(xué)的某些結(jié)論可由直覺(jué)和歸納得到，但要確定結(jié)論的正確與否，歸納幾乎無(wú)用武之地。歸納證明有效的命題極其少量，并且還需要邏輯支持。（可用歸納方法證明的主要是代數(shù)恒等式，但借助了代數(shù)基本定理的邏輯支持。至于用機(jī)器證明幾何命題，那是對(duì)證代數(shù)恒等式的一種應(yīng)用）。通常把直覺(jué)和歸納得到的命題不視為真，原因是直覺(jué)和歸納往往會(huì)出錯(cuò)。例如：

1、判斷全體正自然數(shù)的個(gè)數(shù)多呢還是全體正偶數(shù)的個(gè)數(shù)多？從直觀意義上考慮，把全體正自然數(shù)從小到大依次排列，任意取出相鄰的兩個(gè)，自然數(shù)有2個(gè)，偶數(shù)只有1個(gè)，于是得到正自然數(shù)的個(gè)數(shù)是正偶數(shù)個(gè)數(shù)的2倍；從歸納的意義上看，在100以內(nèi)進(jìn)行考察，自然數(shù)99個(gè)，正偶數(shù)49個(gè)，個(gè)數(shù)的比值：99/49≈2。在1000以內(nèi)考察，兩者個(gè)數(shù)的比值：999/499≈2。在10000以內(nèi)，在100000以內(nèi)考察……，可得兩者個(gè)數(shù)比值的極限是2，與直觀同樣的結(jié)論。凡涉足過(guò)超窮數(shù)理論的人都知道上述結(jié)論是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，只要構(gòu)造函數(shù)M=2n，顯然值域與定義域有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，便知?dú)w納所得結(jié)論錯(cuò)誤。

2、初中數(shù)學(xué)《勾股定理》中：根據(jù)下面圖形的各條邊的關(guān)系，請(qǐng)你探索出直角三角形的三邊的關(guān)系，結(jié)果大部分學(xué)生根據(jù)32 =4+5、52 =12+13，繼而得出錯(cuò)誤的結(jié)論：a2=b+c，即較長(zhǎng)直角邊與斜邊的和等于較短直角邊的平方?！?/p>

并且更多的事實(shí)猶如觀測(cè)水中的一根直棍，獲得的感知是彎曲的一樣。為此，大天文學(xué)家開普勒指出：“當(dāng)知識(shí)通過(guò)感官被直接提供給心靈時(shí)，是模糊、混亂和矛盾的，從而也就不可靠的?！?所以對(duì)經(jīng)驗(yàn)得到的東西總要問(wèn)個(gè)為什么？總要有理性的思考。哲學(xué)家叔本華說(shuō)：“經(jīng)驗(yàn)從總體來(lái)講，是要從這種形而上學(xué)得到解釋的?！睎|漢哲學(xué)家王充說(shuō)：“是非者，不徒耳目，必開心意”。確定事物的本質(zhì)不能僅憑感覺(jué)，一定要有理性思考。特別地經(jīng)驗(yàn)得到的數(shù)學(xué)命題必須有理論的證明。

實(shí)際上，人類在處理數(shù)學(xué)上理由不充足的結(jié)論時(shí)，總是小心謹(jǐn)慎的。像哥德巴赫猜想，盡管千萬(wàn)次驗(yàn)證都是正確的，但由于沒(méi)有得到理論上的證明，人們還是叫它猜想而不叫定理。有時(shí)即使得到事實(shí)性的結(jié)論，如果理論有缺陷，也會(huì)用懷疑的眼光去看待它。如微積分在創(chuàng)立之初，由于理論不完善，人們紛紛質(zhì)疑無(wú)窮小量的處理不合理，就連當(dāng)時(shí)思想界的巨頭紅衣主教貝克萊、馬克思主義學(xué)說(shuō)的創(chuàng)立者之一馬克思都參與質(zhì)疑。（微積分從初創(chuàng)到理論完善經(jīng)歷了一百年）。無(wú)數(shù)事例充分地反映了人類對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性所持態(tài)度是嚴(yán)肅、認(rèn)真的。

我們知道，要學(xué)好數(shù)學(xué)需要理解記憶，也就是要明了數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在著僅把經(jīng)驗(yàn)歸納作為知識(shí)的形成過(guò)程，忽略理論推導(dǎo)的過(guò)程。歸納是感的“進(jìn)路”，理論推導(dǎo)是思的“進(jìn)路”。數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象性決定了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開思，一旦離開了思，將造成不求甚解，只求記住若干“處方”，不僅茲長(zhǎng)和強(qiáng)化模仿記憶和機(jī)械記憶之惰性，也給進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)帶來(lái)大的困難。

參考文獻(xiàn)：

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