阻尼參數(shù)的測(cè)量*

姚關(guān)心 張彥華 曾宗康(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 安徽 蕪湖 241000)

阻尼參數(shù)的測(cè)量*

姚關(guān)心 張彥華 曾宗康
(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 安徽 蕪湖 241000)

通過(guò)解微分方程和微分等數(shù)學(xué)手段，給出了滑塊通過(guò)平衡位置的速度與阻尼因數(shù)之間的關(guān)系，并利用Origin軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行直線擬合，從而確定振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼因數(shù)及其他振動(dòng)參數(shù).該測(cè)量方法容易操作，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)易得、可靠且處理簡(jiǎn)單.

阻尼振動(dòng) 振動(dòng)曲線 阻尼因數(shù)

振動(dòng)在自然界中廣泛存在，為了研究這方面的問(wèn)題，我們常常研究物塊與彈簧構(gòu)成的振動(dòng)系統(tǒng),以此獲得有用的結(jié)果.

將兩輕質(zhì)彈簧的一端固定在滑塊上，另一端分別固定在氣墊導(dǎo)軌的兩端，我們?cè)谠摎廛壣峡梢赃M(jìn)行驗(yàn)證簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期不變性、研究彈簧質(zhì)量對(duì)振動(dòng)周期的影響等實(shí)驗(yàn)內(nèi)容[1,2].由于空氣阻力的存在，氣軌上的滑塊是在沿氣軌做欠阻尼振動(dòng).為了反映空氣阻力對(duì)滑塊振動(dòng)的影響，我們通常引進(jìn)半衰期Th，弛豫時(shí)間τ,阻尼因數(shù)β,粘性阻尼常量γ等振動(dòng)參數(shù)來(lái)描述氣軌上滑塊的阻尼振動(dòng).這些振動(dòng)參數(shù)之間滿足一定的數(shù)學(xué)關(guān)系，我們可由滑塊振動(dòng)周期T和其他任一振動(dòng)參數(shù)導(dǎo)出其他振動(dòng)參數(shù).

現(xiàn)行的教材和文獻(xiàn)中給出的測(cè)量方法[2～6]主要有：(1)半衰期法；(2)弛豫時(shí)間法.這些方法中的半衰期測(cè)量和振動(dòng)曲線描繪都存在一定的困難.本文利用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)導(dǎo)出欠阻尼振動(dòng)的速度表達(dá)式以及滑塊經(jīng)過(guò)無(wú)阻尼振動(dòng)的平衡位置速度與阻尼因數(shù)之間的關(guān)系，采用直線擬合數(shù)據(jù)處理方法，得到阻尼振動(dòng)的阻尼因數(shù)β以及其他振動(dòng)參數(shù),并與擬合Tracker軟件獲得的振動(dòng)曲線而得到的阻尼因數(shù)β

進(jìn)行了比較.該測(cè)量過(guò)程簡(jiǎn)單易行，數(shù)據(jù)易得、可靠且處理過(guò)程簡(jiǎn)單，對(duì)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)具有一定的借鑒作用.

1 阻尼振動(dòng)參數(shù)的測(cè)量原理

1.1阻尼振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

圖1所示為氣軌上的滑塊振動(dòng)系統(tǒng)，滑塊質(zhì)量為m，其兩端分別連接勁度系數(shù)為κ1和κ2的輕質(zhì)彈簧，以系統(tǒng)在無(wú)阻尼作用下的平衡位置(后稱平衡位置)為x軸坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸的正方向，滑塊的動(dòng)力學(xué)方程[2]可寫(xiě)為

(1)

式中ω0為振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率，β稱為阻尼因數(shù)

圖1 氣軌上滑塊振動(dòng)系統(tǒng)

1.2欠阻尼情況下的解及討論

x=Ce-βtcos(ωft+α)

(2)

式中

若t=0時(shí),x=A0>0,v=0,關(guān)于C和α之間的關(guān)系可用下面兩個(gè)方程來(lái)表示

A0=Ccosα

(3)

C(-β)cosα-Cωfsinα=0

(4)

聯(lián)立式(3)、(4)可求得

(5)

(6)

將式(5)、(6)代入式(2)可得到彈簧振子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，表達(dá)式可寫(xiě)成

(7)

對(duì)式(7)兩邊求導(dǎo)可得到彈簧振子的速度方程為

(8)

當(dāng)x=0時(shí)，即

或

將其代入式(8)可得到平衡位置的速度，其速率方程可表示成

v1=A0ω0e-βt1

(9)

v2=A0ω0e-βt2

(10)

……

vn=A0ω0e-βtn

(11)

式(9)～(11)中v1,v2,…,vn分別表示滑塊第一次、第二次……第n次經(jīng)過(guò)平衡位置的速率，t1,t2，…,tn分別表示滑塊第一次、第二次……第n次到達(dá)平衡位置所需的時(shí)間.由式(7)可看出，阻尼振動(dòng)中的滑塊每隔半個(gè)振動(dòng)周期經(jīng)過(guò)平衡位置一次，則式(11)可改寫(xiě)為

(12)

對(duì)式(12)兩邊分別取常用對(duì)數(shù)有

(13)

2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)處理

2.1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，我們測(cè)得滑塊在氣軌上無(wú)阻尼作用下的平衡位置在75.97 cm處，在此處放置兩個(gè)光電門(mén)，一個(gè)光電門(mén)用來(lái)測(cè)量振動(dòng)周期，另一個(gè)光電門(mén)用來(lái)測(cè)量平衡位置滑塊的速率.滑塊靜止釋放位置選擇在35.00 cm附近，通過(guò)數(shù)字計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)測(cè)速儀結(jié)合兩個(gè)光電門(mén)一次性測(cè)得滑塊運(yùn)動(dòng)的周期(20個(gè)周期)和通過(guò)平衡位置的速率(20次)，共測(cè)量3次，測(cè)得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1～3所示.

表1 滑塊振動(dòng)周期和經(jīng)過(guò)平衡位置速率測(cè)量數(shù)據(jù)表(第一次)

表2 滑塊振動(dòng)周期和經(jīng)過(guò)平衡位置速率測(cè)量數(shù)據(jù)表(第二次)

表3 滑塊振動(dòng)周期和經(jīng)過(guò)平衡位置速率測(cè)量數(shù)據(jù)表(第三次)

表4 -n與ln vn數(shù)值對(duì)應(yīng)表

續(xù)表4

2.2數(shù)據(jù)處理

圖2 ln vn與-n關(guān)系圖(第一次測(cè)量)

圖3 ln vn與-n關(guān)系圖(第二次測(cè)量)

圖4 ln vn與-n關(guān)系圖(第三次測(cè)量)

β1=(1.007±0.005)×10-2s-1

(14)

β2=(0.974±0.005)×10-2s-1

(15)

β3=(1.017±0.008)×10-2s-1

(16)

求平均值有

β=(1.000±0.006)×10-2s-1

(17)

實(shí)驗(yàn)中，我們也同時(shí)測(cè)量了滑塊的質(zhì)量m0=171.6 g和彈簧的質(zhì)量m′=13.1 g，則振子質(zhì)量可表示為

(18)

由于半衰期Th,弛豫時(shí)間τ,阻尼因數(shù)β,粘性阻尼常量γ,對(duì)數(shù)減縮λ,品質(zhì)因數(shù)Q等之間滿足一定的數(shù)學(xué)關(guān)系[2]，則這些振動(dòng)參數(shù)可分別表示為

λ=βT=1.536×10-2

(19)

(20)

γ=2mβ=3.520×10-3kg·s-1

(21)

(22)

(23)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的比較

實(shí)驗(yàn)中，我們采取了利用Tracker軟件分析氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子阻尼振動(dòng)的方法來(lái)驗(yàn)證我們所提供的方法的可行性.我們?cè)谧錾鲜?個(gè)實(shí)驗(yàn)時(shí)，同時(shí)進(jìn)行了拍攝，利用Tracker軟件如何處理視頻獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，具體步驟見(jiàn)文獻(xiàn)[3].圖5僅給出第三組實(shí)驗(yàn)對(duì)應(yīng)的阻尼振動(dòng)部分曲線.

圖5 阻尼振動(dòng)曲線(1)

由(7)式可以看出，阻尼振動(dòng)的振幅呈單指數(shù)衰減，因此，我們可用單指數(shù)函數(shù)x=Ae-βt分別擬合曲線的極大值點(diǎn)，圖中的實(shí)線為擬合后得到的曲線.在數(shù)據(jù)處理中,我們也對(duì)上述振動(dòng)曲線的極小值進(jìn)行了單指數(shù)擬合，相關(guān)曲線如圖6所示，兩次擬合得到的參數(shù)A和β如表5所示.

圖6 阻尼振動(dòng)曲線(2)

表5 振動(dòng)曲線極大值和極小值單指數(shù)擬合參數(shù)記錄表

根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)可計(jì)算出

(24)

利用振動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系，我們可以算出其他振動(dòng)參數(shù)，這里不再一一列出.結(jié)合式(17)和式(24)計(jì)算結(jié)果看出，兩者結(jié)果非常接近，相對(duì)誤差約為0.8%.

4 結(jié)論

實(shí)驗(yàn)中，用Tracker軟件或火花記錄儀準(zhǔn)確測(cè)量阻尼振動(dòng)曲線得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常可靠，但測(cè)量起來(lái)比較麻煩，實(shí)驗(yàn)裝置也較為復(fù)雜.我們采用的實(shí)驗(yàn)方法主要是測(cè)量滑塊通過(guò)平衡位置的速度得到相關(guān)的阻尼因數(shù)等振動(dòng)參數(shù)，而利用計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)測(cè)速儀器結(jié)合光電門(mén)測(cè)量速度非常容易，且測(cè)量效率非常高，可以一次性完成.數(shù)據(jù)處理可利用Origin軟件進(jìn)行直線擬合也比較簡(jiǎn)單.同時(shí)，我們將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與Tracker軟件法測(cè)量結(jié)果作了一下比較，兩者結(jié)果的相對(duì)誤差在0.8%，這些充分說(shuō)明我們實(shí)驗(yàn)方法的可行性和可靠性.

1 方正華. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教程(一級(jí)).合肥：中國(guó)科技大學(xué)出版社，2014.154～155

2 楊述武，趙立竹，沈國(guó)土．普通物理實(shí)驗(yàn)1：力學(xué)、熱學(xué)部分(第4版)．北京：高等教育出版社，2007.95～99

3 王經(jīng)淘,程敏熙,賈昱,等. 利用Tracker軟件分析氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子的阻尼振動(dòng). 大學(xué)物理，2014(4):22～24

4 鐘莉,丁益民,黃嬌,等. 用DIS位移傳感器研究氣墊導(dǎo)軌上的阻尼振．物理實(shí)驗(yàn)，2011,31(10):26～28

5 喻力華,陳昌勝,劉書(shū)龍,等. 用Matlab軟件模擬振動(dòng)實(shí)驗(yàn). 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn), 2011, 24(3):79～81

6 姚炯,沈小娟．物理課件中阻尼振動(dòng)圖象的繪制．中國(guó)教育技術(shù)裝備， 2008(18):70～72

MeasurementofDampingParameters

Yao Guanxin Zhang Yanhua Zeng Zongkang
(College of Physics and Electronic Information, Anhui Normal University，Wuhu，Anhui 241000)

In this paper, the relationship between the slider’s velocity in balancing position and the damping coefficient was obtained through solving differential equations and differential. A linear fit was then applied to the experimental data by using the origin software, and the damping coefficient was determined including other vibration parameters. The method was easy to operate, and the experimental data is easy to be obtained and reliable, and the processing of the experimental data is very simple.

damped vibration; vibration curve; damping coefficient

2017-03-04)

*安徽省大學(xué)物理教學(xué)團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：2016jxtd049

姚關(guān)心(1973- )，男，博士，副教授，從事大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)工作.