分分鐘，幫你梳理一元二次方程

萬志建

分分鐘，幫你梳理一元二次方程

萬志建

一、一圖知根源

請(qǐng)看上圖：梯子AB斜靠在墻上可以任意滑動(dòng).從這張圖中我們可以看出哪些量是變化的，哪些量是始終不變的？

答：△AOB是直角三角形，這是不變的；剛開始時(shí)OB=3，當(dāng)A點(diǎn)向下滑動(dòng)時(shí)，B點(diǎn)向右滑動(dòng)，反之當(dāng)A點(diǎn)向上滑動(dòng)時(shí)，B點(diǎn)向左滑動(dòng).

問：如果梯子下滑的距離等于梯子底端平移的距離，你可以設(shè)計(jì)什么問題，怎樣解答？

答：可求梯子下滑的距離.設(shè)梯子下滑了x米，據(jù)題意可得（4-x）2+（3+x）2=52，整理得：x2-x=0.

下面我們換一個(gè)情境，如果梯子頂端下滑1米，用方程你可以求出什么量？

這些詩、詞名句都是詩人、詞人在特定的心境下創(chuàng)作出來的，都表達(dá)了特定的修辭語義。但這些修辭語義蘊(yùn)含在詩句和詞句之中，蘊(yùn)含在典故之中，潛藏在字里行間，不顯山不漏水，不直白不淺顯，需要讀者結(jié)合整個(gè)修辭語篇和創(chuàng)作背景才能作出合理的解釋。比如例④，所表達(dá)的修辭語義可以理解為：數(shù)不盡的寺廟樓宇，在濛濛細(xì)雨中交相輝映，更顯出南朝時(shí)期對(duì)佛教的熱衷。修辭語義含蓄委婉，意在言外。

答：可求梯子底端滑出的距離，設(shè)梯子底端滑出的距離為x米，據(jù)題意可得

（4-1）2+（3+x）2=52，整理得：x2+6x-7=0.

我們?cè)贀Q個(gè)情境，如果梯子下滑到A1時(shí)，有OA1=OB1，你又可以得到什么方程？

答：x2+x2=5，整理得2x2-5=0.

上面，我們由同一個(gè)問題的3個(gè)不同情境，通過用勾股定理發(fā)現(xiàn)了三個(gè)形式不同的方程，請(qǐng)給這三個(gè)方程起個(gè)名字！

答：一元二次方程.

問：請(qǐng)結(jié)合一元一次方程的定義來定義一元二次方程.

答：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程.

問：請(qǐng)結(jié)合一元一次方程、一次函數(shù)的一般式，寫出一元二次方程的一般式.

答：ax2+bx+c=0（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）.

圍繞一元二次方程的定義，結(jié)合以前練過的有關(guān)一元一次方程的題型，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一道考查“一元”與“二次”這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的題目.

答：如關(guān)于x的一元二次方程是x||m-3x+2=0，求m的值.

如果將方程換成（m-1）x||m-3x+2=0，m的值又是多少？

以上我們從生活中的事例引出了三個(gè)不同形式的一元二次方程，再圍繞定義來設(shè)計(jì)題目，讓我們對(duì)一元二次方程有了較為清晰的認(rèn)識(shí).

二、三題通解法

剛才，我們得到了三個(gè)方程：x2-x=0，x2+6x-7=0，2x2-5=0.如果我們要解這些方程，你覺得哪個(gè)容易些？

同學(xué)們可能會(huì)選擇第一個(gè)，也有同學(xué)可能會(huì)選第三個(gè)方程，那我們花開兩朵，各表一枝.

如果選擇第一個(gè)，有同學(xué)聯(lián)想到x2-x=0可以轉(zhuǎn)化為x（x-1）=0，于是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次多項(xiàng)式的乘積為零，則每個(gè)式子都可能為零.從而求出x1=0，x2=1.

也有同學(xué)會(huì)考慮兩邊同時(shí)除以x，不過這樣做過于冒險(xiǎn)，因?yàn)槲覀儾恢纗是否為零，但事實(shí)上x恰好等于零.所以我們盡量避免兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的整式.

從上述的做法中，我們已經(jīng)探索到了一元二次方程的一種解法：通過因式分解把一般式左邊化為兩個(gè)一次因式的乘積，從而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，簡(jiǎn)稱“因式分解法”.相信用這種方法，你們也可以嘗試解決第二個(gè)方程了.

如果選擇第三個(gè)，有同學(xué)聯(lián)想到2x2-5=0可以轉(zhuǎn)化，直接開平方可得，.既然方程你們會(huì)解了，那么方程等也就迎刃而解了.我們細(xì)察這些式子的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，左邊是含有未知數(shù)的平方項(xiàng)，右邊是常數(shù)，通過直接開平方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元二次方程，從而就可以求出方程的解，這種解法我們稱之為直接開平方法.如果步子跨得再大些，對(duì)于方程x2+6x-7=0，相信你們也能夠通過“配平方”轉(zhuǎn)化為上述形式解答.不經(jīng)意間，老師要祝賀你又掌握了一元二次方程的兩種解法，即直接開平方法與配平方法.

也許有同學(xué)要問，有些題目因式分解不一定看得出來，“配平方”又花時(shí)間，還有沒有更好的方法，讓我們“秒殺”一元二次方程？如果真有這種方法，我們應(yīng)該對(duì)最具代表性的“一般式”下手，因?yàn)樗咂者m性.

請(qǐng)同學(xué)們嘗試如何通過配平方求ax2+ bx+c=0（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的解.尋解途中，你將再次體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美妙，感受發(fā)現(xiàn)的快樂，找到解一元二次方程的公式，你就掌握了解一元二次方程的通法，我們稱之為“公式法”.

三、編題悟應(yīng)用

常言道，學(xué)以致用，學(xué)了一元二次方程究竟有什么用呢？下面，我們就從無錫特產(chǎn)“太湖翠竹”的包裝盒說起：已知包裝盒的底面是一個(gè)矩形，若矩形的長(zhǎng)比寬多2個(gè)單位.

問1：你們能否增加一個(gè)條件，通過假設(shè)未知數(shù)，設(shè)計(jì)一個(gè)可以用一元二次方程解決的問題？如果它是黃金矩形，你又可以如何設(shè)計(jì)？

問2：隨著采工費(fèi)用的增長(zhǎng)，兩年來太湖翠竹的價(jià)格從原來的1000元/斤上漲到1200元/斤，如果每年上漲的百分率相同，問：____ ___？

嘗試：如果每年下降10%，則一年下來價(jià)格為多少？?jī)赡晗聛砟?？三年呢？你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了？根據(jù)以上條件及嘗試，設(shè)計(jì)一個(gè)與一元二次方程相關(guān)的問題.

問3：茶場(chǎng)每年都要印成千上萬的包裝盒，印刷廠規(guī)定：1000套起印，一般每套包裝盒印刷費(fèi)是15元.每多印1000套印刷費(fèi)就優(yōu)惠1元，最大優(yōu)惠不得超過5元……

嘗試：如果印1000套需多少錢？2000套呢？5000套呢？6000套呢？

根據(jù)以上條件及嘗試，添加一個(gè)條件并設(shè)計(jì)一個(gè)與一元二次方程相關(guān)的問題.

以上三個(gè)問題是一元二次方程的常見應(yīng)用題，即面積問題、增長(zhǎng)率問題及費(fèi)用問題.

當(dāng)然，除此以外，跟一元二次方程應(yīng)用有關(guān)的還有動(dòng)點(diǎn)問題、利潤(rùn)問題等，題目千變?nèi)f化，但不管多難多繁，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，那就是瞄準(zhǔn)一個(gè)量，從不同的角度用代數(shù)式表示，從而得到一個(gè)等量關(guān)系，列出一元二次方程，再解方程.

同學(xué)們，剛才我們梳理了一元二次方程的那些事兒——定義、解法及應(yīng)用.從一元到二元、從一次到二次，盡管知識(shí)在拔高，難度在加深，但只要我們接住這三板斧，舞動(dòng)化繁為簡(jiǎn)的利器——類比、消元與降次，剝筍般剝?nèi)テ瑐窝b，一元二次方程便會(huì)露出它稚嫩的根——一元一次方程，又轉(zhuǎn)化到當(dāng)初熟悉的場(chǎng)景.

方程，存在于我們美好的生活之中，人生亦如方程，充滿著未知、發(fā)現(xiàn)與求解，生命不息，學(xué)習(xí)不止.我們要解好“刻苦努力+方法正確+不說空話=成功”的方程，讓愛因斯坦成功之道照耀我們前行！

（作者單位：江蘇省無錫市張涇中學(xué)）