有關(guān)“一元二次方程”的那些錯(cuò)

孫偉剛

有關(guān)“一元二次方程”的那些錯(cuò)

孫偉剛

“一元二次方程”是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型.這塊內(nèi)容地位重要，向前可聯(lián)接一次方程，向后可聯(lián)接二次函數(shù)，因此在各地中考試卷中，該內(nèi)容常常作為核心知識(shí)加以考查，旨在發(fā)展同學(xué)們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值.

同學(xué)們，你們知道“一元二次方程”中哪些核心知識(shí)會(huì)受到命題老師的青睞和眷顧嗎？其實(shí)，考點(diǎn)不外乎本章的重點(diǎn)和難點(diǎn).具體說來，理解一元二次方程有關(guān)概念，會(huì)根據(jù)不同方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋瑫?huì)根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程根的情況以及運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題等是本章的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，其中概念的準(zhǔn)確理解、解法的靈活運(yùn)用及如何綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題等是本章的學(xué)習(xí)難點(diǎn).筆者想通過舉例予以說明，請(qǐng)同學(xué)們慢慢往下看，從中體會(huì)與感悟.

一、一元二次方程的有關(guān)概念

例1下列關(guān)于x的方程中，是一元二次方程的有（填序號(hào)）_______.

【考點(diǎn)】一元二次方程的定義.

【錯(cuò)解】①②③④.

【錯(cuò)因分析】首先要明確一元二次方程具有以下特點(diǎn)：（1）該方程為整式方程；（2）該方程有且只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2.其次要知曉一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0）.再次要學(xué)會(huì)判斷方法，即：要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理，如果能整理為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，則這個(gè)方程就是一元二次方程.

【正解】①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要組成部分，當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，它就是一元一次方程，因此①不能確定是一元二次方程；②該方程不是整式方程，當(dāng)然就不是一元二次方程了；③符合一元二次方程的定義，因此它是一元二次方程；④該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是3，不是2，所以它也不是一元二次方程.綜上所述，正確答案為③.

二、解一元二次方程

例2解方程：x2=2x.

【考點(diǎn)】一元二次方程的解法.

【錯(cuò)解】方程兩邊同時(shí)除以x，得x=2，即原方程的解為x=2.

【錯(cuò)因分析】解一元二次方程的方法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法.對(duì)本題來講，同學(xué)們?nèi)我膺x擇一種方法都是可以的（當(dāng)然以恰當(dāng)、簡便的方法為首選），但不管哪一種方法，其理論依據(jù)就是等式的兩條基本性質(zhì).等式的基本性質(zhì)2指出，“等式兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)（或整式），所得的結(jié)果仍是等式”.對(duì)于本題，方程兩邊同時(shí)除以x，由于不明確這里的x是否為0，因此不滿足“等式的基本性質(zhì)2”的使用條件，否則，就會(huì)出現(xiàn)失根現(xiàn)象.事實(shí)上，對(duì)于一元二次方程來說，要么沒有實(shí)數(shù)根，要么就一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.因此，對(duì)于方程x2=2x的解，不可能只有x=2這一個(gè)解的情況.

【正解1】移項(xiàng)，得x2-2x=0，左邊分解因式，得x（x-2）=0，所以x=0或x-2=0，

解得x1=0，x2=2.

【正解2】當(dāng)x≠0時(shí)，方程兩邊同時(shí)除以x，得x1=2，當(dāng)x=0時(shí)，顯然能滿足方程，因此x2=0，

所以x1=2，x2=0.

三、利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況

例3（2016·聊城）如果關(guān)于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，那么k的取值范圍是_______.

【考點(diǎn)】根的判別式.

【錯(cuò)解】方程kx2-3x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則Δ＞0，即（-3）2-4×k×（-1）＞0，

解得k＞-

【錯(cuò)因分析】解決有關(guān)一元二次方程ax2+ bx+c=0的問題，應(yīng)首先考慮a≠0這一前提條件，否則，像這一題，如果k=0，方程就成為-3x-1=0，這個(gè)一元一次方程當(dāng)然只有一個(gè)根，根本談不上“有兩個(gè)不相等的實(shí)根”了.然后再考慮Δ的正負(fù)情況，即當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.因此，解這類問題的思路是：（1）二次項(xiàng)系數(shù)不等于0；（2）考慮Δ＞0（或Δ≥0）.

【正解】∵關(guān)于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴k≠0且Δ＞0，即（-3）2-4×k×（-1）＞0，

解得k＞-且k≠0.

故答案為：k＞-且k≠0.

四、運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題

例4據(jù)報(bào)道，某省農(nóng)作物秸稈的資源巨大，但合理利用十分有限，2014年的利用率只有40%，大部分秸稈被直接焚燒了.假定該省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸稈總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2016年的利用率提高到57.6%，求每年的增長率.

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

【錯(cuò)解】設(shè)該省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸稈總量為a，每年的增長率為x，根據(jù)題意，得

40%a（1+x+x）=57.6%a，解得x=0.22，即每年的增長率為22%.

【錯(cuò)因分析】根據(jù)上述假設(shè)的未知數(shù)可知，2014年秸稈的合理利用總量為40%a，2015年合理利用總量則為40%a（1+x）.由于2016年的秸稈合理利用總量比2015年又增長x，因此2016年的秸稈合理利用總量為40%a（1+x）+40%a（1+x）x=40%a（1+x）2.一般地，有關(guān)增長率問題有正、負(fù)兩種類型：對(duì)于正的增長率問題，弄清楚增長的次數(shù)和問題中每一個(gè)數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m（1+x）2=n求解，其中m＜n；對(duì)于負(fù)的增長率問題，若經(jīng)過兩次下降相等，則可利用公式m（1-x）2=n求解，其中m＞n.當(dāng)然，還需檢驗(yàn)所得方程兩根是否符合實(shí)際意義.

【正解】設(shè)該省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸稈總量為a，每年的增長率為x，根據(jù)題意，得

40%a（1+x）2=57.6%a，

解得x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）.

∴每年的增長率為20%.

同學(xué)們，上述幾個(gè)問題的錯(cuò)誤解法具有典型性，反映出我們對(duì)一元二次方程有關(guān)概念認(rèn)識(shí)模糊或理解不深；在解一元二次方程的方法選擇上還缺乏有效性；再有，忽視了問題中的隱含條件.如有關(guān)一元二次方程的問題，不注意考慮二次項(xiàng)系數(shù)不等于0的情況；又如，在實(shí)際問題中，不考慮解是否符合實(shí)際背景等.希望同學(xué)們能從中吸取教訓(xùn)，舉一反三，優(yōu)化思維品質(zhì)，從而促進(jìn)思維發(fā)展.

（作者單位：江蘇省無錫市港下中學(xué)）