《萬有引力與天體運(yùn)動》中的兩個近似

吳本滔

摘要：萬有引力和天體運(yùn)動是高考中常考的一個知識點，這一類題目，由于公式的形式比較復(fù)雜，計算中得到的中間公式特別多，向心力的表達(dá)式也比較多，常常容易導(dǎo)致混亂而出錯失分。本文結(jié)合例題對此展開探討。

關(guān)鍵詞：萬有引力；天體運(yùn)動；兩個近似

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）07-0121

萬有引力和天體運(yùn)動是高考中?？嫉囊粋€知識點，這一類題目，由于公式的形式比較復(fù)雜，計算中得到的中間公式特別多，向心力的表達(dá)式也比較多，常常容易導(dǎo)致混亂而出錯失分。

例：已知地球半徑為R，表面重力加速度為g，一質(zhì)量為m靜止在赤道上的熱氣球（不計氣球離地高度）繞地心運(yùn)動的角速度為ω0，在距地面h高處圓形軌道上有一顆質(zhì)量為m1的人造地球衛(wèi)星，設(shè)地球質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，求人造地球衛(wèi)星繞地運(yùn)行的角速度ω0。

有一位學(xué)生這樣解題：

對熱氣球：■=mω20R

對人造地球衛(wèi)星：■=m1ω2（R+h）

進(jìn)而得到：ω=■

這是典型的錯誤解法，錯在對萬有引力與重力，萬有引力與向心力的關(guān)系認(rèn)識模糊，理解混亂。

一、萬有引力與重力的關(guān)系

如圖1，在太空中平行于赤道平面看地球，在地表緯度為θ的某處，有一物體m，把地球看作質(zhì)點，物體受到地球的萬有引力F引指向球心，物體隨地球一起自轉(zhuǎn)所需的向心力F向必定垂直地球轉(zhuǎn)動軸，這個力只能由F引沿垂直轉(zhuǎn)動軸方向的分力來提供，F(xiàn)引的另一個分力就是物體的重力G0（如圖2）。

當(dāng)物體位置往高緯度處變化時，F(xiàn)向逐漸變小，G0逐漸變大，直到在極點即緯度θ=90°處（如圖3），F(xiàn)向=0，此時G0與F向大小相等方向相同。

當(dāng)物體的位置往低緯度處變化時，F(xiàn)向逐漸變大，G0逐漸變小，直到在赤道即緯度θ=0°處（如圖4），F(xiàn)引與其兩個分力、F向方向相同，都指向球心。因為物體離轉(zhuǎn)動軸最遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動半徑最大（等于地球半徑R），所以F向達(dá)到最大，G0此時最小。

可見，當(dāng)物體在地球表面上，隨地球一起自轉(zhuǎn)時，重力只是萬有引力的一個分力。緯度的增大，重力增大，緯度減小，重力減小。所以重力加速度g隨著緯度的增大而增大，隨著緯度的減小而減小。

如果物體在離地高h(yuǎn)的空中，物體已脫離地面，沒有隨地球一起自轉(zhuǎn)，地球?qū)ξ矬w的萬有引力F引=■，這個力也是物體在空中受到的重力G0，F(xiàn)引、G0是同一個力，即G0=■。所以重力加速度g隨著高度的增大而減小。

原來，在地球表面上，物體隨著地球一起自轉(zhuǎn)時，重力只是萬有引力的一個分力；在空中，重力和萬有引力是同一個力。

已知地球自轉(zhuǎn)的角度ω0=7.27×10-5rad/s，地球半徑R=6.4×106m，可計算，在赤道的地面上，地球?qū)|(zhì)量為m的物體萬有引力F引=■≈9.7mN物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力。F向=mω2R≈3.38m×10-2N可見，即使在赤道上，物體的向心力最大，也有F向遠(yuǎn)小于F引 ，因此萬有引力的另一個分力物體的重力G0=F引-F向≈F引。

所以常常近似認(rèn)為：在地球表面上，物體m隨地球一起自轉(zhuǎn)時，重力近似等于地球?qū)ζ涞娜f有引力，即mg=■。

二、向心力與萬有引力的關(guān)系

如圖5，一顆人造地球衛(wèi)星在距離地面高h(yuǎn)處的圓軌道上繞地球運(yùn)行。這種情形，常常把衛(wèi)星的運(yùn)動近似看作是勻速圓周運(yùn)動，其圓心就是地球的球心。衛(wèi)星圓周運(yùn)動所需的向心力由萬有引力提供即F向=F引，展開得到：

■=■，得v=■

mω2（R+h）=■，得ω=■

m■（R+h）=■，得T=■

抓住上述兩個近似，碰到涉及萬有引力與天體運(yùn)動類的問題時，無論多么紛繁復(fù)雜，我們都容易理清思路，抓住問題的本質(zhì)，順利解決問題。

回到前面的例題。根據(jù)上面的兩個近似，問題就很清晰了。

對熱氣球有：F引=■，F(xiàn)向=mω20R3，G0=mg，由第一個近似有：mg=■①。

對人造衛(wèi)星：由第二個近似有■=m1ω2（R+h）②

由①、②式得：ω=■

（作者單位：廣東省連平縣連平中學(xué) 517100）endprint