劉 銘，李家旺，朱克強(qiáng)

(寧波大學(xué) 海運(yùn)學(xué)院，寧波 315211)

基于集中質(zhì)量法的水下拖曳纜索動(dòng)力響應(yīng)分析

劉 銘，李家旺，朱克強(qiáng)

(寧波大學(xué) 海運(yùn)學(xué)院，寧波 315211)

以水下拖曳纜索系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立拖曳纜索的集中質(zhì)量模型，推導(dǎo)了水下拖曳纜索的動(dòng)力學(xué)方程。采用四階Runge-Kutta數(shù)值積分算法，對(duì)水下纜索進(jìn)行非線性動(dòng)力響應(yīng)分析。編制了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序，模擬拖曳纜索系統(tǒng)在勻速直航、橫向運(yùn)動(dòng)、升沉運(yùn)動(dòng)、回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)條件下，纜索的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)及受力情況。數(shù)值分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)對(duì)比表明，集中質(zhì)量模型對(duì)纜索在各種邊界條件下的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)均有較好的適應(yīng)性。相比基于有限差分法的數(shù)值結(jié)果，集中質(zhì)量模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合更好。

集中質(zhì)量法；水下拖曳纜索；動(dòng)力響應(yīng)

在水下探測(cè)、無人深潛器、錨鏈懸掛等工程領(lǐng)域中，拖曳纜索具有較大的研究價(jià)值。1973年 Choo和Casarella對(duì)纜索系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析方法進(jìn)行了探討，并描述了纜索系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)仿真的多種模擬方法[1]，1977年Russell[2]對(duì)拖點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的三維模型進(jìn)行模擬[2]，但無法模擬其他的運(yùn)動(dòng)形式。1980年Rispin[3]對(duì)拖曳纜索直航和圓周運(yùn)動(dòng)做了一系列的海上實(shí)驗(yàn)。1983年Ablow[3]對(duì)Rispin的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭兄焙胶蛨A周運(yùn)動(dòng)的纜索進(jìn)行了基于有限差分法的數(shù)值模擬，研究了拖船作任意運(yùn)動(dòng)時(shí)水下拖曳纜索的位型，但是由于差分格式的選取原因，某些運(yùn)動(dòng)形式下數(shù)值解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差較大。1986年Kennedy[4]對(duì)拖曳纜索在水平正弦運(yùn)動(dòng)下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值模擬和海上實(shí)驗(yàn)。1989年李立波[5]對(duì)拖曳陣系統(tǒng)進(jìn)行了有限差分法的數(shù)值模擬，在Ablow基礎(chǔ)上對(duì)差分格式進(jìn)行了優(yōu)化。2002～2014年朱克強(qiáng)等[6-7]先后模擬了多種纜體系統(tǒng)，以及采用凝集質(zhì)量法對(duì)海洋纜索的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值分析，并推導(dǎo)了一種凝集參數(shù)法表達(dá)式，但是并沒有考慮纜索彎曲剛度的影響。2015年王志博等[8]基于有限單元法對(duì)拖曳系統(tǒng)的擾動(dòng)特性進(jìn)行研究，計(jì)算了二段式拖曳方式對(duì)擾動(dòng)的傳遞特性。

為更全面地考慮水下纜索的受力，以及盡可能提高對(duì)多段式纜索的適應(yīng)性，本文的研究計(jì)及纜索的彎曲剛度，并以某三段式拖曳纜索作為驗(yàn)算模型進(jìn)行纜索動(dòng)力分析。基于集中質(zhì)量法，列出了纜索系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。集中質(zhì)量法的優(yōu)點(diǎn)在于算法簡便、對(duì)邊界條件的適應(yīng)能力強(qiáng)。本文驗(yàn)算了拖船在多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(勻速直航、橫向正弦運(yùn)動(dòng)、升沉運(yùn)動(dòng)、回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng))下，三段式拖曳纜索系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。通過多方面的計(jì)算以及與實(shí)驗(yàn)的比較，證明了本文的數(shù)值計(jì)算是比較有效的，不僅計(jì)算精度較高，且對(duì)拖曳環(huán)境下各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)具有較高的適用性。

1 纜索單元的動(dòng)力學(xué)微分方程

拖船錨鏈、拖曳聲納、懸掛的海洋立管均可視為海洋纜索系統(tǒng)，海洋纜索主要受到水流阻力和拖船運(yùn)動(dòng)載荷的影響，在纜索的動(dòng)力響應(yīng)過程中，其慣性力、水流阻力、軸向張力以及彎矩隨時(shí)間變化而變化，因此纜索動(dòng)力學(xué)問題是典型的非線性問題。由于纜索動(dòng)力學(xué)問題很難得到解析解，采用數(shù)值模擬是目前理論界與工程界的主流做法。

圖1 纜索單元與受力Fig.1 Cable element and force

將纜索沿著長度方向劃分為多個(gè)單元，如圖1所示。選取一個(gè)纜索單元作為研究對(duì)象，則纜索單元的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

纜索的彎矩和張力分別與其彎曲剛度EI和拉伸剛度EA有關(guān)，用公式可表示為

(3)

T=EAε

(4)

式中：ε為軸向應(yīng)變。

為了確定式(1)和式(2)的唯一解，需建立纜索頂部與末端的邊界條件方程

(5)

(6)

M(0)=M(L)=0

(7)

對(duì)于考慮彎曲的纜索，需要建立離散的集中質(zhì)量模型，如圖1所示。纜索被劃分為若干個(gè)單元，每個(gè)單元的質(zhì)量分配到單元兩端的節(jié)點(diǎn)上。

(8)

節(jié)點(diǎn)j處的曲率矢量可通過相鄰纜索單元之間斜率變化率來表示

(9)

假設(shè)兩個(gè)相鄰單元之間的抗彎剛度EI恒定，那么式(3)又可表示為

(10)

纜索單元的軸向和法向張量，分別為

(11)

(12)

如果分布彎矩為0，那么通過式(1)、(2)以及式(11)、(12)推導(dǎo)出單元j剪力的矩陣形式為

(13)

那么單元j兩端節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為矩陣形式

(14)

式中：[Vj]=[V(j-1)]-[V(j)]為節(jié)點(diǎn)j處的剪力，由兩個(gè)相鄰的單元計(jì)算得來。[Vj]和[V(j)]分布為節(jié)點(diǎn)j和單元j的剪力。

如果同一段纜索均質(zhì)且截面積不變，那么

(15)

式中：g為重力加速度，假設(shè)纜索單元的重量均分給兩端的節(jié)點(diǎn)。

2 纜索單元的外載荷

纜索單元主要承受浮力、水流阻力、與附加質(zhì)量相關(guān)的輻射力，于是纜索單元的外載荷可表示為

(16)

纜索單元的浮力矩陣可表示為

(17)

式中：ρw為水的密度；Acj為纜索的等效截面積；Lj為纜索單元的長度。

纜索受到的水流阻力是隨著纜索位型改變而變化的，因此水流阻力是與時(shí)間相關(guān)的矩陣，可表示為

(18)

(19)

(20)

3 纜索的剛度矩陣與動(dòng)力學(xué)方程

彎曲剛度矩陣可由剪力求導(dǎo)直接得到

[dV(j)]=[T]T[u]=-[Kb][u]

(21)

將式(13)帶入式(21)，于是有

(22)

(23)

(24)

單元j的軸向彈性力可由兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移來確定，即

(25)

式中：[Ka]為纜索軸向剛度矩陣，為6*6的矩陣。

(26)

最后，聯(lián)立式(14)、式(16)、式(22)和式(25)，可以將方程演變?yōu)闀r(shí)域分析纜索動(dòng)力學(xué)方程的通用形式

(27)

式中：[M]為總的質(zhì)量矩陣(包括結(jié)構(gòu)質(zhì)量和附加質(zhì)量)；[C]為線性阻尼矩陣；[Ftotal]為纜索受到的合力矩陣。于是根據(jù)式(27)可解得纜索的空間位型結(jié)果，再將纜索空間位型帶入式(1)和(2)可以得到張力、剪力和彎矩等結(jié)果。

4 算例分析

4.1直航運(yùn)動(dòng)

采用Rispin拖曳系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚3]作為算例。該拖曳纜索由6段組成，各段纜索的參數(shù)見表1，實(shí)驗(yàn)纜索模型如圖2所示。直航實(shí)驗(yàn)中拖船保持勻速，航速分別為5.14 ms和9.52 ms，計(jì)算纜索穩(wěn)定后拖點(diǎn)傾角和拖纜陣列A點(diǎn)處的水深，數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比見表2。

從表2的結(jié)果可以看出，勻速直航狀態(tài)下拖曳纜索的數(shù)值結(jié)果與Rispin實(shí)驗(yàn)結(jié)果[3]匹配較好。

圖2 實(shí)驗(yàn)纜索模型Fig.2 Cable model of test

序號(hào)長度(m)直徑(m)濕重(kg∕m)橫向阻力系數(shù)切向阻力系數(shù)1723．00．040640．23820．01528．230．0793701．80．00898371．020．0793701．80．008984156．360．0793701．80．00898538．710．0793701．80．00898630．480．02540．0581．80．02168

4.2水平正弦運(yùn)動(dòng)

為了驗(yàn)證拖船橫向運(yùn)動(dòng)時(shí)纜索動(dòng)力響應(yīng)的準(zhǔn)確性，采用Kennedy的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚4]作為算例。該實(shí)驗(yàn)中拖船保持橫向正弦運(yùn)動(dòng)，船尾懸掛直徑為16 mm的鋼質(zhì)纜索，纜索的參數(shù)見表3。在船底和纜索末端裝有水聽器，用來測(cè)量纜索末端的響應(yīng)幅值。

表2 直航算例纜索數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[3]對(duì)比Tab.2 Result of simulation and experiment at stand-on vessel

表3 橫向正弦運(yùn)動(dòng)算例纜索參數(shù)[4]Tab.3 Cable parameter at transverse sinusoidal moving vessel

圖3 算例5 (高頻激勵(lì)) 纜索Uy時(shí)間歷程曲線Fig.3 Time history curve of cable Uy in case 5

圖4 算例10 (低頻激勵(lì)) 纜索Uy時(shí)間歷程曲線Fig.4 Time history curve of cable Uy in case 10

從表4的數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可知，兩者吻合較好。圖3和圖4分別是算例5和10的纜索拖點(diǎn)與末端橫向位移的時(shí)間歷程曲線。纜索末端隨著拖船的橫向正弦運(yùn)動(dòng)，也發(fā)生橫向運(yùn)動(dòng)。纜索末端橫向運(yùn)動(dòng)充分發(fā)展后，基本呈正弦運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

表4 橫向正弦運(yùn)動(dòng)算例纜索數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[4]對(duì)比Tab.4 Result of numerical simulation and experiment at transverse sinusoidal moving vessel

從表4中看出，本文數(shù)值結(jié)果與Kennedy實(shí)驗(yàn)結(jié)果[4]匹配較好。

對(duì)比圖3和圖4的結(jié)果，在振幅相當(dāng)條件下，拖點(diǎn)激勵(lì)頻率越高，則纜索末端的響應(yīng)幅值越小；纜索越長，其末端響應(yīng)相比激勵(lì)的滯后時(shí)間越長。

4.3升沉正弦運(yùn)動(dòng)

采用Rispin實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ妥鳛橛?jì)算對(duì)象，假設(shè)母船只發(fā)生升沉正弦運(yùn)動(dòng)。定義動(dòng)載荷系數(shù)為拖點(diǎn)最大張力除以穩(wěn)態(tài)張力。模擬不同振幅和不同周期的母船位移激勵(lì)下， 計(jì)算動(dòng)載荷系數(shù)以及拖纜A點(diǎn)的升沉運(yùn)動(dòng)幅值的響應(yīng)。

圖5 動(dòng)載荷系數(shù)響應(yīng) 圖6 拖纜A點(diǎn)的升沉運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)圖 7 拖點(diǎn)激勵(lì)的升沉運(yùn)動(dòng)時(shí)間歷程曲線 Fig.5 Dynamic load factor Fig.6 Uz amplitude of towed cable A point Fig.7 Time history curve of UZ at towed point

從圖5和圖6的結(jié)果可知，母船升沉運(yùn)動(dòng)周期越大，纜索的位移擾動(dòng)更易傳播，但是動(dòng)載荷系數(shù)隨著運(yùn)動(dòng)周期的增大而減小，顯然高頻激勵(lì)更易使纜索的動(dòng)態(tài)張力增大。母船升沉運(yùn)動(dòng)振幅越大，纜索的位移擾動(dòng)和動(dòng)載荷系數(shù)均明顯增加。

4.4升沉不規(guī)則運(yùn)動(dòng)

采用Rispin實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ妥鳛橛?jì)算對(duì)象，給定一段不規(guī)則的持續(xù)600 s的母船拖點(diǎn)升沉運(yùn)動(dòng)載荷信號(hào)，升沉運(yùn)動(dòng)的最大幅值接近6 m，如圖7所示。

計(jì)算結(jié)果與升沉規(guī)則運(yùn)動(dòng)的最大幅值也為6 m的情況進(jìn)行比較可知，母船拖點(diǎn)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)使纜索的張力峰值顯著增加，如表5所示。因此在評(píng)估拖曳系統(tǒng)的纜索張力問題時(shí)，母船的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的影響不可忽略。

表5各搖動(dòng)狀態(tài)下纜索拖點(diǎn)處張力的幅值
Tab.5 Towed maximum tension at regular and irregular moving ship kN

船舶規(guī)則升沉運(yùn)動(dòng)幅值6m周期10s周期20s周期30s船舶不規(guī)則運(yùn)動(dòng)最大幅值6m36．131．230．747．3

表6回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)算例纜索數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[3]對(duì)比
Tab.6 Result of numerical simulation and experiment at revolving moving vessel m

計(jì)算水深Rispin實(shí)驗(yàn)文獻(xiàn)[5]的解本文的數(shù)值解初始深度10．0412．1010．22最小深度2．513．392．89最終深度10．1610．9810．30

4.5圓周回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)

在Rispin的拖曳回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，拖船先以18.5 kn的航速直航，然后進(jìn)入回轉(zhuǎn)半徑為640 m的回轉(zhuǎn)中，回轉(zhuǎn)角度375°(440 s)，回轉(zhuǎn)結(jié)束后沿圓周切向作穩(wěn)定直航(300 s)，整個(gè)過程耗時(shí)12 min20 s。本文的數(shù)值解與Rispin實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較見表6。

從表6的結(jié)果可以看出，回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)下纜索深度的數(shù)值結(jié)果與Rispin實(shí)驗(yàn)結(jié)果[3]匹配情況，相比文獻(xiàn)[5]的結(jié)果更好。

5 結(jié)論

基于集中質(zhì)量法，推導(dǎo)了拖曳纜索動(dòng)力學(xué)方程，全面地考慮了纜索的外載荷，包括重力、浮力、橫向與切向水流力以及輻射力，同時(shí)考慮了纜索的拉伸和彎曲剛度。編制了相關(guān)計(jì)算程序，模擬了拖船勻速直航、橫向正弦運(yùn)動(dòng)、升沉運(yùn)動(dòng)、回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)下纜索系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。得到如下結(jié)論：

(1)從勻速直航運(yùn)動(dòng)和水平正弦運(yùn)動(dòng)的算例可以看出，本文的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，說明本文給出的計(jì)算方法能較為準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)纜索的受力與運(yùn)動(dòng)姿態(tài)；

(2)水平正弦運(yùn)動(dòng)中，在振幅相當(dāng)條件下，拖點(diǎn)激勵(lì)頻率越高，則纜索末端的響應(yīng)幅值越??；纜索越長，其末端響應(yīng)相比激勵(lì)的滯后時(shí)間越長；

(3)升沉正弦運(yùn)動(dòng)中，纜索拖點(diǎn)張力和纜索振幅均隨著母船運(yùn)動(dòng)幅值增大而增大，母船升沉運(yùn)動(dòng)周期增大時(shí)，纜索的位移擾動(dòng)更易傳播；

(4)相比規(guī)則運(yùn)動(dòng)。母船的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)使拖曳纜索的張力峰值明顯增加，實(shí)際纜索的張力與強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，需要考慮母船不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的影響；

(5)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)下，相比采用有限差分法的文獻(xiàn)[5]結(jié)果，本文的數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果匹配更好。

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Dynamic response analysis of the undersea towed cable based on lump-mass method

LIUMing,LIJia-wang,ZHUKe-qiang

(FacultyofMaritimeandTransportation,NingboUniversity,Ningbo315211,China)

To study the undersea towed cable system, equation of dynamic cable was deduced based on lump-mass model. Nonlinear dynamic response analysis of towed cable was carried out based on 4th order Runge-Kutta integration algorithm. The motion and force of towed cable were simulated by a computer program under the condition of ship moving forward with constant speed, transverse sinusoidal motion, heave and revolving moving. From comparison of numerical analysis and experiment, it indicates that lump-mass model is applicable under cable motion excitation of various boundary conditions. Simulation results of lump-mass model compare better with the test than the results of finite difference method.

lump-mass method; undersea towed cable; dynamic response

TV 139.2；O 242.1

：A

：1005-8443(2017)04-0405-07

2016-11-07；

：2017-01-06

國家自然科學(xué)基金 (11272160)；國家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(51309133)

劉銘(1989-)，男，遼寧省錦州人，助理研究員，主要從事船舶與海洋結(jié)構(gòu)物動(dòng)態(tài)響應(yīng)的研究。

Biography：LIU Ming(1989-),male, assistant professor.