Duffing方程參數(shù)對(duì)微弱信號(hào)檢測(cè)效果的影響和分析

， ， 志宏

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,河北 石家莊 050043)

Duffing方程參數(shù)對(duì)微弱信號(hào)檢測(cè)效果的影響和分析

趙波，楊紹普，趙志宏

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,河北 石家莊 050043)

目前利用Duffing方程檢測(cè)微弱的未知信號(hào)都是選擇一組固定的參數(shù)。由于Duffing方程對(duì)初值的敏感性，使得參數(shù)的選擇對(duì)檢測(cè)效果產(chǎn)生很大的影響。針對(duì)這種情況，分析了Duffing方程的參數(shù)和初值之間的關(guān)系。由參數(shù)和初值之間的關(guān)系，分析了不同的參數(shù)對(duì)檢測(cè)效果的影響。驗(yàn)證了目前方程參數(shù)的優(yōu)越性。

Duffing方程；方程參數(shù)；檢測(cè)效果

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，越來越多的機(jī)械設(shè)備被運(yùn)用到生活生產(chǎn)中。機(jī)械設(shè)備的故障，不僅會(huì)造成嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失，甚至?xí)斐删薮蟮娜藛T傷亡。由于早期的機(jī)械設(shè)備故障信號(hào)都是非常微弱的，因此微弱信號(hào)的檢測(cè)具有非常重要的意義。微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)是近幾年迅速發(fā)展起來的，利用電子學(xué)理論、信息理論和物理學(xué)方法來達(dá)到強(qiáng)噪聲背景下的微弱信號(hào)檢測(cè)[1]。傳統(tǒng)微弱信號(hào)的檢測(cè)，都是基于線性和確定性的系統(tǒng)[2]。傳統(tǒng)方法以時(shí)域和頻域?yàn)橹?，例如小波變換和頻譜分析[3-6]。傳統(tǒng)方法要求較高的信噪比，需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，局限性較大。隨著非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展和混沌理論研究的深入[7-9]，人們開始利用非線性動(dòng)力學(xué)分析故障零件的動(dòng)力學(xué)行為，揭示故障產(chǎn)生、發(fā)展的一般規(guī)律[10]。混沌現(xiàn)象主要是非線性系統(tǒng)的時(shí)間演化行為?；煦缦到y(tǒng)是終極端敏感的依賴于初始狀態(tài)的系統(tǒng)。在混沌運(yùn)動(dòng)中，初始值非?？拷膬蓷l軌道，隨時(shí)間的發(fā)展會(huì)指數(shù)分離。這也就是說，對(duì)軌道的長期行為不可能做出準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)?；煦绶椒ň哂袑?duì)微弱信號(hào)的敏感性和抗噪能力比較強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，是一種比較有前景的微弱信號(hào)檢測(cè)方法。常見的混沌振子系統(tǒng)有Duffing-Holmes型混沌振子[11]、雙耦合Duffing振子系統(tǒng)[12]、Duffing振子和Van der pol振子耦[13]等。不同的混沌振子有不同的特性。本文是基于Duffing-Holmes型混沌振子的參數(shù)分析，分析了系統(tǒng)參數(shù)和初值的關(guān)系。從不同的參數(shù)對(duì)系統(tǒng)臨界點(diǎn)相圖的突變性和混沌區(qū)間的保持性兩方面進(jìn)行分析。通過改變系統(tǒng)的參數(shù)，利用Matlab仿真進(jìn)行這兩方面性質(zhì)的分析，驗(yàn)證了阻尼系數(shù)c=0.5的優(yōu)越性。

1 Duffing-Holmes型混沌振子檢測(cè)微弱信號(hào)的原理

1.1Duffing-Holmes型混沌方程

Duffing-Holmes型混沌方程如下

(1)

式中，c為阻尼系數(shù)；Fcost為攝動(dòng)信號(hào)。

從理論上來講，系統(tǒng)的解在相空間中，隨F/c值的改變而改變。F/c從0逐漸增加時(shí)，系統(tǒng)的解在相空間的軌跡為偶階次諧分岔，此時(shí)系統(tǒng)按外加周期力的周期或其倍周期振蕩；當(dāng)F/c增加到臨界值時(shí)，出現(xiàn)同宿軌跡，產(chǎn)生Smale馬蹄意義下的混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)F/c進(jìn)一步增加時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)倒奇階次諧分岔，最后以外加周期力的頻率進(jìn)行大尺度的周期振蕩，此后F/c進(jìn)一步增大時(shí)，該周期外軌仍然存在，只是形狀有所變化。

1.2Duffing-Holmes型混沌振子檢測(cè)微弱信號(hào)的原理

加入微弱待測(cè)信號(hào)的Duffing方程為

(2)

式中，F(xiàn)r為攝動(dòng)力幅值；A為待檢測(cè)信號(hào)的幅值；φ為攝動(dòng)信號(hào)和待測(cè)信號(hào)的相位差；Δω?cái)z動(dòng)信號(hào)和待測(cè)信號(hào)的絕對(duì)頻差。其中A<

Frcost+Acos((1+Δω)t+φ)=F(t)cos(t+θ(t))

(3)

圖1 等效驅(qū)動(dòng)力變化過程

因?yàn)锳<Fd時(shí)為周期運(yùn)動(dòng)，在其它的情況下為混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)Δω≠0時(shí)，設(shè)Fr-A

2 Holmes-Duffing方程振子的參數(shù)和初值的關(guān)系

因?yàn)榛煦缦到y(tǒng)對(duì)于微弱信號(hào)的檢測(cè)是由于系統(tǒng)對(duì)初值或參數(shù)的敏感性決定的。不同的參數(shù)具有不同的檢測(cè)性能，也適用于不同環(huán)境下的信號(hào)檢測(cè)。從參數(shù)和初值之間的關(guān)系，不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的檢測(cè)性能具有哪些影響，從這兩方面分析，來確定系統(tǒng)的參數(shù)，是基于Holmes-Duffing方程振子的參數(shù)分析。

方程振子如下

(4)

(5)

將上面兩個(gè)方程相除消去f可得

(6)

方程(5)為方程(4)求導(dǎo)所得，方程(6)由方程(4)和方程(5)聯(lián)立所得，所以方程(4)的解既是方程(5)的特解，又是方程(6)的解。方程(4)的參數(shù)通過變換成為方程(6)的初值，可以看到，在該方程(4)中初值與參數(shù)的敏感性是一致的。

3 Holmes-Duffing方程振子的參數(shù)對(duì)檢測(cè)效果的影響和分析

目前，基于Holmes-Duffing方程振子的參數(shù)，默認(rèn)的參數(shù)c=0.5。下面就c的取值，對(duì)系統(tǒng)性能的影響進(jìn)行分析，主要從系統(tǒng)臨界點(diǎn)相圖的突變性和混沌區(qū)間的保持性兩方面進(jìn)行分析。

系統(tǒng)臨界點(diǎn)相圖的突變性是指系統(tǒng)由混沌狀態(tài)立即進(jìn)入大周期狀態(tài)[14]，突變性代表混沌檢測(cè)性能的精度。在檢測(cè)信號(hào)的過程中，若相圖發(fā)生了突變，說明待測(cè)信號(hào)中含有與攝動(dòng)信號(hào)頻率一致的微弱信號(hào)，下一步就是檢測(cè)未知信號(hào)的大小，通常的做法就是反向調(diào)整攝動(dòng)力的幅值，使相圖又回到臨界混沌狀態(tài)。但是在具體操作的過程中，可能由于幅值調(diào)整的幅度過大，越過混沌區(qū)間，這就導(dǎo)致誤判。因此混沌區(qū)間應(yīng)該保持一定的“厚度”，這就是混沌區(qū)間的保持性。下面通過調(diào)整阻尼的值就這兩方面的性能進(jìn)行分析。設(shè)c=0.1、0.4、0.5、0.6、0.9這5個(gè)參數(shù)進(jìn)行分析。使用ode45仿真，初值為X=[0 0],攝動(dòng)力的幅值步長為0.001。本文只是提供一般方法，具體需要多大的精度可以進(jìn)一步計(jì)算。

當(dāng)c=0.1時(shí)系統(tǒng)的分岔圖如圖2所示。從分岔圖可知，并沒有明顯的混沌與大周期的界限，混沌區(qū)間幾乎沒有，因此c=0.1幾乎沒有價(jià)值。

當(dāng)c=0.4時(shí)系統(tǒng)的分岔圖如圖3所示?？梢钥吹介撝导s為0.671，混沌區(qū)間厚度約為0.38，因?yàn)檫x取的攝動(dòng)力幅值步長為0.001，所以圖3分辨出的最高精度為0.001，可以看到混沌和大周期之間具有明顯的界限，具有非常好的檢測(cè)性能。

當(dāng)c=0.5時(shí)分岔圖如圖4所示。臨界閾值約為0.825，厚度約為0.45。具有良好的混沌區(qū)間保持性和非常明顯的混沌與大周期的界限。

當(dāng)c=0.6時(shí)分岔圖如圖5所示。臨界閾值約為0.984，厚度約為0.15?；煦鐓^(qū)間保持性一般較c=0.5時(shí)差距較大，但具有非常明顯的混沌與大周期的界限。

圖2 c=0.1時(shí)的分岔圖

圖3 c=0.4時(shí)的分岔圖

圖4 c=0.5時(shí)的分岔圖

圖5 c=0.6時(shí)的分岔圖

當(dāng)c=0.9時(shí)由圖6，圖7可知，并沒有明顯的界限，混沌區(qū)間幾乎沒有，因此c=0.9幾乎沒有價(jià)值。

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，無論是從混沌區(qū)間的保持性還是臨界點(diǎn)的突變性分析，c=0.5都表現(xiàn)出良好的性能。

圖6 c=0.9時(shí)的分岔圖

圖7 c=0.9時(shí)的放大分岔圖

4 結(jié)論

通過分析Duffing方程的參數(shù)和初值之間的關(guān)系，證明了參數(shù)和初值的一致性。通過改變方程參數(shù)，在混沌區(qū)間保持性和臨界點(diǎn)的突變性這兩方面性能進(jìn)行了分析，證明了參數(shù)c=0.5的優(yōu)越性。為參數(shù)的選擇提供了一定的參考。由于微弱信號(hào)的檢測(cè)肯定會(huì)摻雜噪聲，在進(jìn)行性能分析時(shí)，沒有加入噪聲，有一定的局限性，未來還需在這方面進(jìn)行分析。

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DuffingEquationParametersInfluenceontheEffectofWeakSignalDetectionandAnalysis

ZhaoBo,YangShaopu,ZhaoZhihong

(School of Mechanical Engineering,Shijiazhuang Tiedao University,Shijiazhuang 050043, China)

Using Duffing equation to detect weak unknown signal is done by selecting a set of fixed parameters. Due to the sensitivity of Duffing equation to the initial value, the choice of parameters has a very big effect on the detecting effect. In view of this situation, this paper analyzes the relationship between the parameters and initial value of the duffing equation, and the influence of different parameters on the detection effect, thus the superiority of the present equation is verified.

Duffing equation;equation parameters;test results

O415.5

： A

： 2095-0373(2017)03-0039-04

2016-06-19責(zé)任編輯:車軒玉

10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2017.03.08

國家自然科學(xué)基金(11172182，11472179，11227201)；河北省研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(yz2016003)

趙波(1991-)，男，碩士研究生，主要從事故障診斷的研究。E-mail：386547260@qq.com 趙波，楊紹普，趙志宏.Duffing方程參數(shù)對(duì)微弱信號(hào)檢測(cè)效果的影響和分析[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2017,30(3):39-42.