基于ARIMA模型的上證50指數(shù)的分析及預測

王惠星+林嘉喜

【摘要】上證50指數(shù)是中國股票指數(shù)期貨中一個重要的品種，它是挑選上海證券交易所上規(guī)模大、流動性好的最具代表性的50只樣本股構成，從而反映市場上最具有影響力的一批龍頭企業(yè)的整體狀況，因此對其研究具有非常重要的意義。本文根據(jù)數(shù)據(jù)的時間序列的特性，選取2004年1月到2016年11月每日收盤價為原始數(shù)據(jù)作為研究對象，利用數(shù)據(jù)時間序列特性具有優(yōu)勢性的差分自回歸移動平均模型（ARIMA模型）建立ARIMA模型對其進行定量分析，并且對未來走勢進行預測。

【關鍵詞】上證50指數(shù) ARIMA模型 定量分析

一、研究背景

在股市投資中，如何通過分析及預測股票指數(shù)來指導投資者的操作非常重要。股票指數(shù)是指描述一攬子股票價格的總體水平及變動情況，而上證50指數(shù)的成分股是由在上海證券交易所掛牌上市的最具代表性的50只股票構成，是上海證券交易所流動性、規(guī)模最大的優(yōu)質藍籌股，因此上證50指數(shù)對中國股市的行情具有指引作用。

本文研究對象為上證50股指期貨，它的走勢可以反映出市場對上證50指數(shù)漲跌的預期，因此投資者可以根據(jù)股指期貨的行情變動來預測股票市場動向和變動趨勢，從而來衡量自身的投資策略。文中以上證50股指期貨為例進行實證分析。通過圖1可以看出從2004年到2006年，上證50基本在1000點上下，在2005年6月達到歷史最低693.530點，之后快速上漲，在2007年10月達到最高點4772.93點，隨后由于2008年全球金融危機的影響，上證50快速下降，隨后窄幅波動，到2015年6月又到達一個新高位，在2016年11月上證指數(shù)為2334.68點，并且通過圖1的走勢可以看出上證50指數(shù)為非平穩(wěn)性時間序列，且又因為金融數(shù)據(jù)具有易變性，因此選取2004年到2016年之間每日收盤價的數(shù)據(jù)進行收集整理，將處理時間數(shù)列特性優(yōu)勢的差分自回歸移動平均模型（ARIMA模型），建立ARIMA模型對其進行定量分析，并對上證50指數(shù)的未來走勢進行預測。

二、ARIMA模型介紹

自回歸模型AR（p）和滑動平均模型MA（q）組合構成描述平穩(wěn)性隨機過程的自回歸滑動平均模型ARMA（p，q），其表達式為其表達式為：

其中這個表達式的前半部分為自回歸部分AR（p），非負整數(shù)p為自回歸階數(shù)，φ1，…φp為自回歸系數(shù)，后半部分為滑動平均部分MA（q），非負整數(shù)q為滑動平均階數(shù)，θ1，…，θq為滑動平均系數(shù)；Xt為上證50收盤價數(shù)據(jù)相關序列，εt為白噪聲序列WN（0，σ2）。

因為ARMA（p，q）為平穩(wěn)性隨機過程的模型，而經(jīng)濟類數(shù)據(jù)大多呈現(xiàn)非平穩(wěn)性，進而利用差分法進行非平穩(wěn)性隨機過程的處理，將初始數(shù)據(jù)轉化為平穩(wěn)時間序列，然后建立差分自回歸移動平均模型ARIMA（p，d，q），其中p為自回歸項，q為移動平均項數(shù)，d為差分次數(shù)，該模型建立之后就可以根據(jù)時間序列的過去值及現(xiàn)在值預測未來值。

三、基于ARIMA的上證50指數(shù)的分析及預測

（一）數(shù)據(jù)提取與處理

1.數(shù)據(jù)提取。本文選取上證50指數(shù)作為研究對象，從東方財富網(wǎng)上提取2004年1月2日至2016年11月18日收盤價格共3128個交易日的數(shù)據(jù)為研究樣本通過統(tǒng)計分析軟件SPSS 22.0進行分析，此樣本可以反映上海證券交易所年度整體趨勢。

2.原始時間序列數(shù)據(jù)。首先對原序列SZ50_Y進行分析，通過圖2可以初步確定為非平穩(wěn)性時間序列，為驗證平穩(wěn)性進行應進一步檢驗。

通過自相關系數(shù)（ACF）圖可以看出，呈周期衰減的速度非常緩慢，且大部分數(shù)據(jù)未落入置信區(qū)間內，因而判定原序列為非平穩(wěn)性時間序列。

3.平穩(wěn)化時間序列數(shù)據(jù)。經(jīng)上述分析可知，原序列SZ50_Y為非平穩(wěn)性時間序列，應采用差分法對原始數(shù)據(jù)進行適當階數(shù)的差分處理，便可清除非平穩(wěn)性，形成平穩(wěn)性時間序列，因此進行一階差分處理，使原序列平穩(wěn)化，對原始序列進行一階差分形成新的序列SZ50_Y_1的差分方法為：SZ50_Y_1（t）=SZ50_Y（t）-SZ50_Y（t-1），并觀察新序列的平穩(wěn)性。由圖3可知，差分序列基本分布在0刻度線上下兩側，因此基本可以認為差分序列SZ50_Y_1為平穩(wěn)性。

又根據(jù)差分序列的自相關系數(shù)（ACF）和偏自相關系數(shù)（PACF）圖可知，大部分數(shù)據(jù)落入置信區(qū)間內，數(shù)據(jù)基本平穩(wěn)，最佳差分階數(shù)d=1，因而適合對原始序列建立ARIMA（p，1，q）模型。

（二）模型建立

1.模型定階。通過以上對序列SZ50_Y_1的偏自相關系數(shù)和自相關系數(shù)計算，并且根據(jù)標準化BIC準則最小化，經(jīng)過反復檢驗，從而得出p=0，q=6，因此所建立的模型為ARIMA（0，1，6），由表3-1所示。

由表3-3所示，標準化BIC準則的數(shù)值為7.474，與之前的幾個模型的數(shù)值相比，滿足最小的原則，且平穩(wěn)R平方為0.005，大于0，說明當前模型優(yōu)于基準模型，并根據(jù)模型的擬合情況看出，R平方為0.997，接近于1，說明模型的可解釋的變異占總變異的比例較大，擬合效果很好，并且說明該模型可以解釋99.7%的現(xiàn)象，由此可以得出此模型為最優(yōu)模型。

3.模型參數(shù)估計。

由表3-4可知，MA（6）的參數(shù)估計系數(shù)為0.071，AR的系數(shù)為0，結合前面的一階差分，還原得到的自回歸移動平均模型ARIMA（0，1，6）如下：

（三）模型的檢驗與預測

1.模型的診斷檢驗。為對擬合模型進行診斷檢驗，給出了殘差的自相關和偏相關函數(shù)（如下圖所示）。由下圖可以看出，各滯后階數(shù)的ACF和PACF的數(shù)值都位于臨界值內，并且沒有顯著性的趨勢變化，因此模型ARIMA（0，1，6）是最優(yōu)模型。

2.模型預測結果。圖4為擬合圖形和預測結果，線性圖描繪了觀測值、擬合值及預測值，通過圖4看出使用的模型比較合理，且根據(jù)以上分析可知，模型的精度是比較高的，盡管隨著ARIMA模型預測區(qū)間的延長，模型誤差會逐步加大，但它仍然比傳統(tǒng)時間序列模型的精度高，比較適合做短期預測，圖中預測了2017年全年的上證50的一個大體趨勢，可以看出在置信區(qū)間范圍逐步加大，誤差也在逐步加大，但大體可以得出結論，2017年全年上證50指數(shù)處于一個回升階段，且保持波動性。endprint

四、結論

本文通過以2004年1月2日至2016年11月18日的上證50指數(shù)的收盤價格作為樣本進行研究，采用時間序列分析法建立ARIMA模型。首先根據(jù)原數(shù)據(jù)的時序圖可以看出此數(shù)據(jù)為非平穩(wěn)性隨機過程，因此采用差分法進行平穩(wěn)化處理，再通過對模型定階和參數(shù)估計，最終得出模型ARIMA（0，1，6），經(jīng)過對此模型進行檢驗，檢驗有效后，并對2017年全年走勢進行預測得出實際值和預測值。

通過本文的建模及實證研究分析，可得出以下結論：第一，選取的觀察期間的上證50指數(shù)的每日收盤價，繪制出時序圖，可以看出其原數(shù)據(jù)序列為非平穩(wěn)性時間序列，說明此數(shù)據(jù)具有明顯的趨勢性和波動性；第二，此模型擬合效果很好且精度較高，說明此模型作為上證50指數(shù)的預測模型可行的；第三，此模型作為短期預測的效果最好，因為隨著預測時間的延長，誤差也逐步加大；第四，對于一個相同的序列，可建立多個不同的ARIMA模型，通過其他的統(tǒng)計量及實用性，選擇出最優(yōu)的模型；第五，通過預測結果可知，未來上證50指數(shù)的趨勢有輕微回升且保持波動性；第六，本文在研究時，只考慮到時間序列的特性，又因為市場存在諸多不確定因素存在，但這些因素只能體現(xiàn)在隨機擾動項中，無法在預測結果中反應出來。

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作者簡介：王惠星（1994-），天津財經(jīng)大學經(jīng)濟學院金融系金融工程專業(yè)學生。endprint