曲面插值細(xì)分規(guī)則的構(gòu)造與應(yīng)用

姜濤

（遼東學(xué)院師范學(xué)院，遼寧丹東118001）

【基礎(chǔ)科學(xué)理論與應(yīng)用】

曲面插值細(xì)分規(guī)則的構(gòu)造與應(yīng)用

姜濤

（遼東學(xué)院師范學(xué)院，遼寧丹東118001）

為解決飛行模擬器及一些三維全息投影模擬器中對(duì)三維地形地貌的模擬要求，文中構(gòu)建了一種曲面插值細(xì)分規(guī)則，并將該細(xì)分規(guī)則應(yīng)用于地形地貌的仿真。通過(guò)調(diào)整插值多項(xiàng)式的參數(shù)生成理想的地形形狀。實(shí)驗(yàn)表明，該方法為簡(jiǎn)單、快速模擬自然地形地貌仿真提供了一種有效手段。

細(xì)分法；細(xì)分規(guī)則；插值細(xì)分法；地形地貌模擬

地形地貌的模擬是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，它對(duì)地理信息的采集模擬有著重要意義。同時(shí)，在飛行器的仿真等虛擬實(shí)現(xiàn)、三維游戲的地形虛擬實(shí)現(xiàn)、3D全息投影中也有著重要應(yīng)用。

在地形地貌模擬問(wèn)題的傳統(tǒng)解決過(guò)程中，通常是先采集數(shù)據(jù)點(diǎn)，然后應(yīng)用數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造多項(xiàng)式函數(shù)，最后對(duì)函數(shù)求新的插值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)值，再通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬出來(lái)。當(dāng)顯示結(jié)果不理想時(shí)，需要重新構(gòu)造函數(shù)或重新求插值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)值，也就是曲面造型上的離散——連續(xù)——離散的傳統(tǒng)模式［1］。顯然，這種構(gòu)造圖形的方法不符合計(jì)算機(jī)對(duì)圖形模擬顯示的特點(diǎn)，也過(guò)于繁瑣和復(fù)雜，這對(duì)于有些復(fù)雜問(wèn)題的解決是不利的，有時(shí)是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。為符合計(jì)算機(jī)對(duì)圖形模擬顯示的特征——離散性特征，顯然，在圖形顯示過(guò)程中，不通過(guò)構(gòu)造空間曲面函數(shù)，再求曲面上的點(diǎn)，而是在圖形顯示過(guò)程中，直接應(yīng)用已有的控制頂點(diǎn)生成離散點(diǎn)，再在圖形顯示時(shí)只通過(guò)離散點(diǎn)顯示的細(xì)分法更符合這種圖形模擬顯示特征。

細(xì)分法（subdivision）是一種離散化的曲面的造型方法，它的構(gòu)造思想是：從一個(gè)特征網(wǎng)格開(kāi)始，先按照適當(dāng)選取的細(xì)分規(guī)則，在給定初始特征網(wǎng)格中插入新頂點(diǎn)，再連接這些新頂點(diǎn)得到新特征網(wǎng)格，所得新特征網(wǎng)格是初始特征網(wǎng)格的加細(xì)［2-3］。不斷重復(fù)上述過(guò)程，隨著細(xì)分的不斷進(jìn)行，特征網(wǎng)格就被逐漸細(xì)化，其極限狀態(tài)就是一張曲面，稱(chēng)為遞歸細(xì)分曲面。細(xì)分方法用不斷細(xì)分的多邊形網(wǎng)格在允許的誤差范圍內(nèi)來(lái)代替曲面［4］。

現(xiàn)在提出的細(xì)分規(guī)則很多，也有針對(duì)細(xì)節(jié)處理的。文中提出的細(xì)分規(guī)則，是針對(duì)一般的曲面模擬情況提出的細(xì)分規(guī)則。文獻(xiàn)［5］是從總體上對(duì)兩種細(xì)分思路所得到的細(xì)分曲線、曲面的特征區(qū)別討論，解決了兩大類(lèi)細(xì)分方法在使用時(shí)的選擇依據(jù)。依據(jù)文獻(xiàn)［5］對(duì)插值細(xì)分法與割角細(xì)分法的特點(diǎn)比較可知，地形地貌的模擬問(wèn)題中，主要對(duì)整體形狀的控制。因此，插值細(xì)分法所得細(xì)分曲面在曲面造型中符合地形地貌模擬的特征要求。

Dyn的四點(diǎn)插值細(xì)分法是1987年Dyn和Levin在提出的四點(diǎn)插值法。Dyn和Levin在提出的四點(diǎn)插值法在插值細(xì)分法中是一個(gè)經(jīng)典的插值細(xì)分法，是采用邊分裂的方法加入新頂點(diǎn)的插值方法。本文首先，構(gòu)造一個(gè)比較簡(jiǎn)單的面點(diǎn)細(xì)分規(guī)則，再應(yīng)用Dyn四點(diǎn)插值細(xì)分法對(duì)曲面的邊點(diǎn)進(jìn)行細(xì)分。這樣構(gòu)建的細(xì)分規(guī)則算法簡(jiǎn)單，并且具有良好的收斂性。并采用在本文中提出的插值細(xì)分規(guī)則對(duì)地形地貌進(jìn)行模擬。通過(guò)matlab軟件對(duì)其模擬效果進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)證明該方法是一種簡(jiǎn)單、快速、有效且便于控制的地形地貌模擬方法。

1 插值細(xì)分規(guī)則

1.1 面點(diǎn)細(xì)分規(guī)則

對(duì)于面點(diǎn)的細(xì)分采用四邊形網(wǎng)格細(xì)分，即由不在同一等高線上的相鄰四點(diǎn)構(gòu)成四邊形網(wǎng)格。在此四邊形基礎(chǔ)上，將風(fēng)格細(xì)分，每次細(xì)分都生成新的四邊形網(wǎng)格。在細(xì)分過(guò)程中使四邊形面積逐漸減小。

其細(xì)分規(guī)則如下：

1.2 邊點(diǎn)細(xì)分規(guī)則

對(duì)于邊點(diǎn)的細(xì)分采用Dyn的四點(diǎn)插值細(xì)分法，該插值細(xì)分法將保留原有的頂點(diǎn)，在保留上層細(xì)分舊點(diǎn)的同時(shí)插入新點(diǎn)。Dyn的四點(diǎn)插值法是采用邊分裂的方法加入新頂點(diǎn)的插值方法。

其細(xì)分迭代規(guī)則如下：

其中j=0，1，…，2kn-2，μ為參數(shù)，且時(shí)會(huì)具有很好的光滑性［4］。

2 細(xì)分規(guī)則的幾何解釋

2.1 面點(diǎn)細(xì)分規(guī)則的幾何解釋

面點(diǎn)的細(xì)分可用圖1所示的幾何關(guān)系進(jìn)行解釋。

圖1 面點(diǎn)細(xì)分規(guī)則的幾何解釋

由圖1所示，在面點(diǎn)的分裂過(guò)程中，采用對(duì)特征多面體的原有四個(gè)相鄰控制頂點(diǎn)進(jìn)行均分方式生成新控制頂點(diǎn)，進(jìn)而通過(guò)插值生成新控制頂點(diǎn)。

顯然，P12，P23，P34，P41，滿(mǎn)足下面等式關(guān)系：

進(jìn)而可得

2.2 邊點(diǎn)細(xì)分規(guī)則的幾何解釋

Dyn的四點(diǎn)插值細(xì)分法可用如圖2所示的幾何關(guān)系進(jìn)行解釋。

圖2 Dyn四點(diǎn)細(xì)分規(guī)則的幾何解釋

由圖2所示，Dyn的四點(diǎn)插值細(xì)分法是在邊上分裂、堆徹的方式進(jìn)行插值，使邊上相鄰點(diǎn)間的距離變小，進(jìn)而使得曲線變得相對(duì)光滑。Dyn的四點(diǎn)插值細(xì)分法的從往的應(yīng)用中多用于曲線的細(xì)分中，而在此則應(yīng)用在邊點(diǎn)的細(xì)分建立上。

3 細(xì)分規(guī)則的細(xì)分效果討論

2.1 面點(diǎn)細(xì)分規(guī)則的細(xì)分效果討論

取空間曲面的控制頂點(diǎn)｛P1，P2，P3，…，P19｝，由這些控制頂點(diǎn)生成初始特征空間曲面，及應(yīng)用本細(xì)分規(guī)則經(jīng)一次細(xì)分所得細(xì)分曲面分別如圖3、圖4所示。

圖3 初始特征空間曲面

圖4一次細(xì)分曲面

圖5 、圖6分別為經(jīng)二次、三次細(xì)分所得細(xì)分曲面。

圖5 二次細(xì)分曲面

圖6 三次細(xì)分曲面

由圖2至圖6可見(jiàn)該細(xì)分方法所得的細(xì)分曲面具有很好的光滑性，而且細(xì)分曲面的收斂速度是比較快的，換句話(huà)說(shuō)，該細(xì)分方法具有很好的細(xì)分效果。

2.2 邊點(diǎn)細(xì)分規(guī)則的細(xì)分效果討論

特征多面體的邊點(diǎn)可構(gòu)成空間曲線，下面以空間特征多邊形為例應(yīng)用該細(xì)分規(guī)則分別演示特征多邊形開(kāi)放與特征多邊形封閉兩種情形所得的細(xì)分曲線效果。

(1)特征多邊形為開(kāi)放多邊形情形

取特征多邊形的控制頂點(diǎn)集｛P1，P2，P3，P4｝,由這些這控制頂點(diǎn)所得的開(kāi)放形控制多邊形，如圖7所示。對(duì)此控制多邊形應(yīng)用邊點(diǎn)細(xì)分規(guī)則取μ=進(jìn)行一次細(xì)分得新的控制多邊形，如圖8所示。

圖7 開(kāi)放的初始控制多邊形

圖8 開(kāi)放的一次細(xì)分曲線

經(jīng)四次細(xì)分后將得到較光滑的細(xì)分曲線，如圖9所示。其最終細(xì)分曲線與初始控制多邊形比較效果，如圖10所示。

圖9 開(kāi)放的四次細(xì)分曲線

圖10 開(kāi)放的最終細(xì)分曲線與初始控制多邊形比較

從圖10的比較可見(jiàn)，邊點(diǎn)的細(xì)分效果較好。

(2)特征多邊形為封閉多邊形情形

仍取特征多邊形的控制頂點(diǎn)集｛P1，P2，P3，P｝4,由這些這控制頂點(diǎn)所得的封閉形控制多邊形，如圖11所示。對(duì)此控制多邊形應(yīng)用邊點(diǎn)細(xì)分規(guī)則取進(jìn)行一次細(xì)分得新的控制多邊形，如圖12所示。

圖11 封閉的初始控制多邊形

圖12 封閉的一次細(xì)分曲線

經(jīng)四次細(xì)分后將得到較光滑的細(xì)分曲線，如圖13所示。其最終細(xì)分曲線與初始控制多邊形比較效果，如圖14所示。

圖13 封閉的四次細(xì)分曲線

圖14 封閉的最終細(xì)分曲線與初始控制多邊形比較

由此可見(jiàn)，Dyn的四點(diǎn)插值細(xì)分法應(yīng)用在邊點(diǎn)的細(xì)分過(guò)程中，所得的邊點(diǎn)細(xì)分效果還是比較好。綜上所述，該細(xì)分過(guò)程無(wú)論是邊點(diǎn)的細(xì)分，還是面點(diǎn)的細(xì)分，整個(gè)細(xì)分過(guò)程中都具有較好的收斂效果和較快的收斂速度。

4 細(xì)分規(guī)則在地形地貌模擬中的應(yīng)用

采集105個(gè)控制頂點(diǎn)，如表1。

表1 控制多邊形控制頂點(diǎn)

生成控制頂點(diǎn)集V=｛P1，P2，…，P105｝，借助matlab軟件模擬地形的特征曲面，如圖15所示。

圖15 地形的初始特征曲面

圖16 地形的四次細(xì)分曲面

應(yīng)用matlab軟件對(duì)此地形進(jìn)行渲染，模擬成山林地地貌，如圖17所示

圖17 地形模擬山林地效果圖

5 結(jié)論

隨著計(jì)算機(jī)輔助圖形設(shè)計(jì)的廣泛應(yīng)用，地形地貌的模擬越來(lái)越多的被人們關(guān)注與應(yīng)用，應(yīng)用本文構(gòu)建的細(xì)分規(guī)則可以簡(jiǎn)單、快速、有效的模擬出相應(yīng)的地形地貌。

同時(shí)，應(yīng)用本文構(gòu)建的細(xì)分規(guī)則也可以應(yīng)用在其他3 D圖形的模擬中，只要恰當(dāng)?shù)恼{(diào)整參數(shù)和改變細(xì)分次數(shù)，都可以得到滿(mǎn)意的模擬效果。

［1］MICCHELLI C A，PRAULZSCH H.Uniform Refinement of

Curves［J］.LinearAlgebra&Application，1989（114/115）：841-870.

［2］駱巖林，汪國(guó)昭.生成曲線的有理穩(wěn)定細(xì)分方法［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1998，13（A）：61-66.

［3］駱巖林，汪國(guó)昭.幾何造型的有理矩陣細(xì)分方法［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1999，22（2）：161-168.

［4］張新芬.曲線設(shè)計(jì)的非線性細(xì)分法［D］.杭州：浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士學(xué)位論文，2005.

［5］姜濤.插值細(xì)分法與割角細(xì)分法在幾何構(gòu)圖中的比較分析［J］.遼東學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，23

（1），72-76.

（責(zé)任編輯：龍海波）

Construction and application of a curved surface interpolation subdivision rule

JIANG Tao
（Teacher’s School，Eastern Liaoning University，Dandong 118003，China）

To meet the demand for simulating the 3D landform of flight simulator and other 3D holographic projection simulators，a curved surface interpolation subdivision rule was constructed and applied.The ideal terrain could be generated by adjusting the parameters of the interpolation polynomial.The rule is proved to be an easy，ast and effective way of landform simulation.

subdivision；subdivision rule；interpolation subdivision；landform simulation

O241；TP391

A

1673-4939（2017）03-0224-06

10.14168/j.issn.1673-4939.2017.03.14

2016-11-23

姜濤（1976—），男，遼寧鞍山人，碩士，講師，研究方向：數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)教學(xué)。