三疊片壓電復(fù)合換能器彎曲振動(dòng)的比較研究

張寧寧

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三疊片壓電復(fù)合換能器彎曲振動(dòng)的比較研究

張寧寧

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，陜西渭南714099)

用瑞利法對(duì)三疊片彎振圓盤換能器在三種不同邊界條件下的振動(dòng)特性進(jìn)行理論研究，推導(dǎo)了諧振頻率及有效機(jī)電耦合系數(shù)的表達(dá)式，通過數(shù)值計(jì)算分析了復(fù)合換能器的諧振頻率及有效機(jī)電耦合系數(shù)隨換能器各結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律并進(jìn)行比較研究，同時(shí)將計(jì)算結(jié)果與有限元模擬結(jié)果比較，結(jié)果表明不同邊界條件下?lián)Q能器的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)諧振頻率和有效機(jī)電耦合系數(shù)影響不同：在換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)一定時(shí)，自由邊界條件下諧振頻率最大，簡(jiǎn)支邊界條件下最小，固定邊界條件下次之；有效機(jī)電耦合系數(shù)隨著金屬片厚度、陶瓷片厚度和陶瓷片半徑變化時(shí)，分別有一個(gè)最大值；其他參數(shù)一定時(shí)，有效機(jī)電耦合系數(shù)在簡(jiǎn)支邊界條件下最大，自由邊界條件下的值稍大于固定邊界條件下的值。上述研究結(jié)果可為三疊片彎曲振動(dòng)換能器的設(shè)計(jì)和實(shí)際應(yīng)用提供一定的理論支持。

瑞利法；諧振頻率；有效機(jī)電耦合系數(shù)；有限元模擬

0 引言

疊片式彎曲振動(dòng)換能器結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，輻射面積較大，輻射阻抗較低，易與氣體進(jìn)行阻抗匹配，因此被廣泛應(yīng)用于各種超聲領(lǐng)域。文獻(xiàn)[1-4]對(duì)夾心換能器進(jìn)行了比較全面的研究。近年來，對(duì)疊片式特別是三疊片型換能器的研究和應(yīng)用受到很多研究人員的重視。文獻(xiàn)[5-7]用ANSYS軟件對(duì)三疊片型換能器在自由和固定邊界條件下的振動(dòng)模態(tài)和諧響應(yīng)進(jìn)行分析，結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果是一致的。文獻(xiàn)[8]用瑞利法對(duì)兩疊片壓電振子在固定邊界條件下的諧振頻率和有效機(jī)電耦合系數(shù)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。目前對(duì)夾心縱彎模式的換能器研究已比較成熟[9-14]，為了對(duì)換能器的性能和機(jī)械耦合及結(jié)構(gòu)安裝問題進(jìn)行改善，三疊片式彎曲壓電換能器經(jīng)常被應(yīng)用，但其邊界條件和結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)換能器的性能影響各不相同而且較大，因此有必要系統(tǒng)地研究疊片式彎曲振動(dòng)換能器。

彎曲振動(dòng)是由于同時(shí)存在伸長(zhǎng)和縮短兩種變形所產(chǎn)生，因此可認(rèn)為彎曲振動(dòng)是一種間接產(chǎn)生的振動(dòng)模式，其振動(dòng)模式相對(duì)傳統(tǒng)伸縮振動(dòng)模式和剪切振動(dòng)模式更為復(fù)雜。目前對(duì)疊片式彎曲振動(dòng)的主要研究方法有瑞利變分法和等效電路法，但等效電路法的數(shù)學(xué)過程相對(duì)比較麻煩，所以瑞利法普遍被采用。本文用瑞利法對(duì)三種不同邊界條件下的三疊片彎振圓盤換能器進(jìn)行理論研究，推導(dǎo)了諧振頻率及有效機(jī)電耦合系數(shù)的表達(dá)式，通過數(shù)值計(jì)算分析了復(fù)合換能器的諧振頻率及有效機(jī)電耦合系數(shù)隨各結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律并進(jìn)行比較，同時(shí)與有限元模擬結(jié)果比較，得出的結(jié)果為疊片式彎曲振動(dòng)換能器的設(shè)計(jì)和進(jìn)一步廣泛應(yīng)用提供理論支持。

1 三疊片彎振圓盤換能器在不同邊界條件下頻率方程的確定

三疊片彎振圓盤換能器的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示，由一個(gè)金屬基片和兩個(gè)尺寸相同的壓電陶瓷片組成，兩塊壓電陶瓷片采用厚度方向極化，然后粘在金屬圓盤兩個(gè)外表面。在壓電盤的厚度方向施加電壓，壓電陶瓷受到激勵(lì)使上下兩個(gè)表面產(chǎn)生彎曲振動(dòng)。圖中A為壓電圓盤，B為金屬圓盤。設(shè)是金屬圓盤的厚度，為壓電片厚度，/2為金屬圓盤一半的厚度與壓電圓盤厚度之和。為金屬圓盤半徑，(為半徑比)為壓電圓盤的半徑。利用瑞利原理結(jié)合三疊片彎振圓盤換能器的不同邊界條件，推導(dǎo)換能器的位移分布函數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)。設(shè)在極坐標(biāo)中三疊片彎振圓盤換能器的振動(dòng)位移分布曲線為[15]：

(2)

1.1 固定邊界條件下頻率方程的確定

其中，

1.2 自由邊界條件下頻率方程的確定

(7)

(8)

1.3 簡(jiǎn)支邊界條件下頻率方程確定

(11)

2 三疊片彎振圓盤換能器的有效機(jī)電耦合系數(shù)

2.3 有效機(jī)電耦合系數(shù)

對(duì)于彎曲壓電換能器有效機(jī)電耦合系數(shù)為[7]

將式(13)和式(15)代入式(16)，可得該換能器的有效機(jī)電系數(shù)具體表達(dá)式。當(dāng)選定材料后，換能器的各結(jié)構(gòu)尺寸決定了其諧振頻率和有效機(jī)電耦合系數(shù)。諧振頻率和有效機(jī)電耦合系數(shù)的方程比較復(fù)雜，解析解很難得到的，所以采用數(shù)值計(jì)算。以下研究中，取壓電材料為PZT-4及金屬材料為45號(hào)鋼，主要材料參數(shù)是：

3 不同邊界條件下三疊片彎振圓盤換能器諧振頻率和有效機(jī)電耦合系數(shù)與結(jié)構(gòu)尺寸的比較

3.1 不同邊界條件下諧振頻率的比較

由表1可以看出，三種邊界條件下，三疊片彎振圓盤換能器的諧振頻率都隨著金屬片厚度的增大而增大，且在相同的金屬片厚度情況下，自由邊界條件下頻率最大，簡(jiǎn)支條件下最小，固定條件下次之。自由邊界條件下，隨著金屬片厚度的增大諧振頻率變化加快。簡(jiǎn)支條件下，諧振頻率隨著金屬片厚度的增大，增加量先大后減小。固定邊界條件下，諧振頻率在金屬片厚度的增大量較小時(shí)增長(zhǎng)很快，約在1.25 mm后隨著金屬片厚度的增大基本呈線性增長(zhǎng)。

表1 諧振頻率隨金屬片厚度變化

表2 諧振頻率隨壓電片厚度變化

表3 諧振頻率隨壓電片半徑變化

由表2可以看出，自由邊界條件下，諧振頻率隨著壓電片厚度的增大而增大，且變化趨勢(shì)不斷加劇。簡(jiǎn)支邊界條件下，諧振頻率隨著壓電片厚度的增大也增大，開始變化較快，之后變化有所減緩。但在固定邊界條件下，諧振頻率一直隨壓電片厚度的增大而增大。由表3可得，自由邊界條件下，諧振頻率隨著壓電片半徑的增加先增大后減小，在24 mm附近達(dá)到最大，之后有減小的趨勢(shì)。簡(jiǎn)支和固定邊界條件下的諧振頻率都隨壓電片半徑的增大而增大，增長(zhǎng)速度越來越快。由表1～3可以看出，在三種邊界條件下，若其他參數(shù)不變時(shí)，諧振頻率都隨三疊片彎振圓盤換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)的增大而增大，且都是自由邊界條件下頻率最大，簡(jiǎn)支邊界條件下最小，固定邊界條件下次之。

3.2 不同邊界條件下有效機(jī)電耦合系數(shù)的比較

由圖2可看以出，自由邊界條件下的有效機(jī)電耦合系數(shù)先隨金屬片厚度的增大而迅速增大，之后緩慢減小，在2.5 mm附近達(dá)到最佳的機(jī)電轉(zhuǎn)換效果，此時(shí)耦合系數(shù)為0.462。簡(jiǎn)支邊界條件下的有效機(jī)電耦合系數(shù)在隨金屬片的厚度增大快速增加，到2.5 mm附近達(dá)到最佳的機(jī)電轉(zhuǎn)換效果，耦合系數(shù)為0.480，之后隨著金屬片厚度的增大緩慢降低。而固定邊界條件下的有效機(jī)電耦合系數(shù)隨著金屬片厚度的變化趨勢(shì)與簡(jiǎn)支條件類似，但在1.65 mm附近有效機(jī)電耦合系數(shù)達(dá)到最大值，約為0.448。

由圖3可看出，自由邊界條件下有效機(jī)電耦合系數(shù)在壓電片半徑約為22.5 mm時(shí)達(dá)到最佳的機(jī)電轉(zhuǎn)換效果，耦合系數(shù)為0.463，之后逐漸降低。簡(jiǎn)支邊界條件下的有效機(jī)電耦合系數(shù)也隨著壓電片半徑的增大而增大，在半徑較小時(shí)增長(zhǎng)比較緩慢，到達(dá)最大值之后增長(zhǎng)迅速，在27 mm附近達(dá)到最佳的機(jī)電轉(zhuǎn)換效果，耦合系數(shù)接近0.481。固定邊界條件下的有效機(jī)電耦合系數(shù)隨著壓電片半徑的增大先增大后迅速減小，在壓電片半徑約為 24 mm時(shí)達(dá)到最佳機(jī)電轉(zhuǎn)換效果，耦合系數(shù)約為0.442。

由圖4可以看出，自由邊界條件下的有效機(jī)電耦合系數(shù)隨著壓電片厚度的增大而迅速增大，厚度約為2.0 mm時(shí)達(dá)到最佳的機(jī)電轉(zhuǎn)換效果，耦合系數(shù)為0.454，其后又逐漸減小。簡(jiǎn)支邊界條件下，有效機(jī)電耦合系數(shù)隨著壓電片厚度的增大而迅速增大，在陶瓷片厚度約為1.4 mm時(shí)達(dá)到最佳的機(jī)電轉(zhuǎn)換效果，耦合系數(shù)為0.480。固定邊界條件下，有效機(jī)電耦合系數(shù)隨著壓電片厚度的增大先快速增大然后緩慢減小，在壓電片厚度約為2.8 mm時(shí)達(dá)到最佳的機(jī)電轉(zhuǎn)換效果，耦合系數(shù)為0.430。

比較圖2、3、4可以進(jìn)一步得到不同邊界條件下的有效機(jī)電耦合系數(shù)的比較情況。簡(jiǎn)支邊界條件下最大，自由邊界條件下次之，固定邊界條件下最小。在同一邊界條件下，當(dāng)其他尺寸一定時(shí)，有效機(jī)電耦合系數(shù)隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化不同，自由邊界時(shí)壓電片厚度的影響最大，壓電片半徑的影響最小，金屬片厚度的影響次之；簡(jiǎn)支條件時(shí)三種結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響基本一樣；固定邊界時(shí)，三種結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響與自由邊界時(shí)基本相同。

4 有限元分析

在有限元軟件Ansys環(huán)境下建立換能器有限元模型并分析得到其頻率特征和振動(dòng)模態(tài)。在方向上加對(duì)稱邊界條件，相鄰壓電片之間極化方向相反，在壓電片上表面加載荷 Volt=1，在下表面加載荷 Volt=0，然后利用Ansys分別對(duì)建立的有限元模型，在自由邊界、固定邊界和簡(jiǎn)支邊界條件下的三疊片彎振圓盤換能器分別進(jìn)行模態(tài)分析，諧振頻率的理論值與模擬值比較結(jié)果如表4所示，結(jié)合有限元模擬，重點(diǎn)對(duì)自由邊界條件下諧振頻率隨壓電片半徑的變化進(jìn)行研究，結(jié)果如表5所示，表4、5中1為理論計(jì)算，2為模擬結(jié)果，為理論計(jì)算值與模擬值的誤差百分比。圖5為三種邊界條件下的換能器的基頻振動(dòng)模態(tài)圖。換能器尺寸為、、、。

由圖5可看出，三種邊界邊界條件下，自由邊界下中心位移最大，固定邊界和簡(jiǎn)支邊界相比固定邊界，換能器中心位移相對(duì)大些，但邊界處的橫向位移為零，這些結(jié)論與板的振動(dòng)理論是相符的。由表4可看出，在不同邊界條件下，三疊片彎振圓盤換能器的理論計(jì)算頻率與有限元模擬頻率誤差較小，仍在工程應(yīng)用誤差允許范圍內(nèi)。理論計(jì)算結(jié)果與有限元模擬結(jié)果存在誤差的原因主要是：有限元方法是一個(gè)近似方法。有限元法分析一般包括四個(gè)步驟：物理模型的簡(jiǎn)化、數(shù)學(xué)模型的程序化、計(jì)算模型的數(shù)值化和計(jì)算結(jié)果的分析。每一個(gè)步驟在操作過程中都或多或少地引入了誤差，這些誤差的累積就形成最終的誤差結(jié)果。比如有限元離散化：選不同類型單元 (在相同網(wǎng)格密度下) 所得結(jié)果的精度不同以及約束條件和網(wǎng)格劃分的密度，都會(huì)產(chǎn)生一定誤差。由表5可以看出，自由邊界條件下，對(duì)于不同半徑的壓電片，其理論計(jì)算頻率與有限元模擬頻率誤差較小，比較一致；隨著壓電片半徑的增大即與金屬片半徑的接近，在＜24 mm范圍內(nèi)換能器的諧振頻率一直在增大，當(dāng)＞24 mm后反而減小，為了保證較高的諧振頻率，壓電片尺寸不宜選的過大，但是由圖3可知，壓電片尺寸過小會(huì)降低換能器的有效機(jī)電耦合系數(shù)，因此應(yīng)綜合考慮選擇合適的尺寸。其原因是由于壓電片半徑的增大減小了金屬片徑向滿足自由邊界的長(zhǎng)度，導(dǎo)致金屬基片彎曲振動(dòng)的有效長(zhǎng)度減小，從而影響頻率增大，其次壓電片半徑的增大導(dǎo)致三疊片彎振圓盤換能器的等效剛度增大，從而影響諧振頻率升高，因此應(yīng)綜合考慮選擇合適的尺寸。

(a) 自由邊界

(b) 固定邊界

表4 諧振頻率的理論計(jì)算與模擬值的比較

表5 自由邊界條件下諧振頻率比較

5 結(jié)論

用瑞利法對(duì)三疊片彎振圓盤換能器在三種不同的邊界條件下進(jìn)行了理論研究，分別推導(dǎo)其諧振頻率及有效機(jī)電耦合系數(shù)表達(dá)式，通過數(shù)值計(jì)算分析了換能器諧振頻率及有效機(jī)電耦合系數(shù)隨換能器各結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)的變化規(guī)律并進(jìn)行比較，同時(shí)將理論計(jì)算結(jié)果與有限元模擬結(jié)果比較，結(jié)果表明：

不同邊界條件下三疊片彎振圓盤換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)諧振頻率和有效機(jī)電耦合系數(shù)影響不同；但在不同邊界條件下，換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)一定時(shí)可得到自由邊界條件下頻率最大，固定邊界條件下次之，簡(jiǎn)支邊界條件下最?。挥行C(jī)電耦合系數(shù)隨著金屬片厚度、陶瓷片厚度和陶瓷片半徑變化時(shí)，分別都有一個(gè)最大值，且進(jìn)一步得到了不同邊界條件下，結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)有效機(jī)電耦合系數(shù)的影響情況為簡(jiǎn)支邊界時(shí)最大，自由邊界時(shí)次之，固定邊界時(shí)最小。在同一邊界條件下，當(dāng)其他尺寸一定時(shí)，有效機(jī)電耦合系數(shù)隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化不同，自由邊界時(shí)壓電片厚度的影響最大，壓電片半徑的影響最小，金屬片厚度的影響次之；簡(jiǎn)支邊界條件時(shí)三種結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響基本一樣；固定邊界時(shí)，三種結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響與自由邊界時(shí)的影響基本相同。

就諧振頻率而言，三種邊界條件中自由邊界時(shí)頻率較其他兩種邊界都大，就有效機(jī)電耦合系數(shù)而言，各種情況下的比較結(jié)果為簡(jiǎn)支邊界時(shí)最大，因此在換能器尺寸一定時(shí)，兼顧頻率和有效機(jī)電耦合系數(shù)選擇自由邊界最佳，而實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)綜合考慮不同材料的不同厚度和半徑。

在不同邊界下的理論計(jì)算頻率與有限元模擬頻率誤差較小，比較一致，同時(shí)也表明本文理論的正確性，其結(jié)論為三疊片彎振圓盤換能器的設(shè)計(jì)和實(shí)際應(yīng)用提供了一定的理論支持。

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Research on flexural vibration characteristics of three laminated piezoelectric transducers

ZHANG Ning-ning

(Mathematics and Physics institute, Weinan Teachers University, Weinan 714099,Shaanxi,China)

Three laminated plate transducer is studied under three different boundary conditions and the expressions of the resonant frequency and the effective electromechanical coupling coefficient are derived by using Rayleigh method. Transducer resonant frequency and effective electromechanical coupling coefficient are analyzed and compared with the variation of the structure parameters of the transducer by means of numerical calculation, and the calculated results are compared with the results of finite element simulation. The results show that the effects of structural parameters under different boundary conditions of the transducer on the resonance frequency and the effective electromechanical coupling coefficient are different: for fixed structural parameters of the transducer, the resonant frequency is the greatest in free boundary condition, the next in fixed boundary condition and the minimum in simply supported boundary condition; the effective electromechanical coupling coefficient varies with the thickness of sheet metal and the thickness and radius of ceramic piece, and each has a maximum value; when other parameters are certain, the effective electromechanical coupling coefficient is the greatest in simply supported boundary condition, and the coefficient value in the free boundary condition is slightly larger than that in the fixed boundary condition. The above-mentioned results provide a theoretical support for the design and application of three laminated bending vibration transducer.

Rayleigh method; resonant frequency; effective electromechanical coupling coefficient; finite element simulation

TB556 P 631.5

A

1000-3630(2017)-04-0383-07

10.16300/j.cnki.1000-3630.2017.04.015

2016-12-19;

2017-03-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11074158)、陜西省軍民融合研究基金項(xiàng)目(17JMR35)、渭南師范學(xué)院校級(jí)項(xiàng)目(17YKS08)、渭南師范學(xué)院校級(jí)教改項(xiàng)目(JG201648)

張寧寧(1978－), 女, 陜西西安人, 碩士, 講師, 研究方向?yàn)楣β食暭奥晫W(xué)測(cè)量。

張寧寧, E-mail: zhangning7892@163.com