淺析數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中分類討論思想的滲透

樊建斌

所謂分類討論，主要指當(dāng)問題所顯示的對象不能采取統(tǒng)一研究的方法進行解答時，根據(jù)題目給出的分類標(biāo)準(zhǔn)進行分類，再逐類討論，最后對綜合性問題做出完整解答.諸如此類先進行分類，再進行討論，把問題“分而治之，逐個擊破”的思維方式就是分類討論的思想.其實質(zhì)也是一種化繁為簡、化難為易的解題策略.

在數(shù)學(xué)思維中，分類討論思想占據(jù)著較為重要的地位，影響著學(xué)生對基礎(chǔ)性知識的理解、對基礎(chǔ)性技能的掌握以及思維能力的發(fā)展、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成等.近年來，很多中考題都以考查分類討論思想為目的，但是得分率卻相對較低.究其緣由，一是教師對學(xué)生知識的生成關(guān)注過多，缺少對解題思維的滲透；二是教師側(cè)重對題型的討論，缺少對思想方法的提煉；三是教師注重學(xué)生系統(tǒng)知識的積累，缺少對思想方法的歸納.下面筆者從實際課堂教學(xué)出發(fā)，淺析初三階段數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中對學(xué)生分類討論思想的培養(yǎng)策略.

一、了解學(xué)生的認(rèn)知局限，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論意識

在著名的教育、發(fā)展心理學(xué)家皮亞杰看來，學(xué)習(xí)是人們構(gòu)建其內(nèi)部心理表征的一系列過程，因而學(xué)習(xí)者在這一活動過程中并不是簡單地將其外部的知識“搬運”到記憶中，而是將原有的知識、經(jīng)驗作為基礎(chǔ)，然后與外部的環(huán)境、條件發(fā)生相互作用，以此來構(gòu)建屬于自己的新圖式.在進入初三的復(fù)習(xí)階段后，學(xué)生接觸的與分類討論相關(guān)的問題已經(jīng)不在少數(shù)，但是仍有大部分學(xué)生缺少分類討論意識，不會運用分類討論方法.為了逐步使學(xué)生養(yǎng)成分類討論的意識，教師應(yīng)在教學(xué)中遵循逐層遞進、適時滲透、深化漸進的原則.

（一）在思維展示中培養(yǎng)分類討論意識

當(dāng)碰上分類討論問題時，教師應(yīng)先從了解學(xué)生的基礎(chǔ)性認(rèn)知能力入手，通過創(chuàng)設(shè)平臺，給足機會，引導(dǎo)、鼓勵學(xué)生，讓學(xué)生將解題思維過程與解題策略進行自我表述，進而使其不足與缺陷充分暴露，教師根據(jù)實際情況采取有針對性的指導(dǎo)措施.

例1：一個外角為110°的等腰三角形，它的3個內(nèi)角應(yīng)分別為多少？

這個題目看似簡單，但答案并不唯一.答案一，分別為“70°、70°、40°”；答案二，分別為“55°、55°、70°”.大多數(shù)學(xué)生通常情況下只能找到一個答案，教師要引導(dǎo)學(xué)生分享自己的解答思路，從中找到其個人化的不足之處，進而培養(yǎng)學(xué)生分類討論的能力，避免“漏解”現(xiàn)象的發(fā)生.

（二）在自我探究中培養(yǎng)分類討論意識

初三階段的課堂教學(xué)要以學(xué)生的生理、心理階段性特征、認(rèn)識水平、知識結(jié)構(gòu)等為基礎(chǔ)，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成自我探究的意識.

例2：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）均為y=■這一反比例函數(shù)圖像上的點，且x1>x2，那么y1與y2是什么關(guān)系？

對于這樣的題型，一般情況下，大多數(shù)學(xué)生會從“負數(shù)小于正數(shù)”入手，將x1放置在x軸的正方向上，將x2放置在x軸的負方向上，從而得到答案y1>y2.此時，只要教師提醒學(xué)生注意關(guān)鍵條件：x1>x2，學(xué)生可能馬上就會意識到其所在位置的特殊性——不確定性，發(fā)覺x1、x2的對應(yīng)點可能會出現(xiàn)在x軸的正方向上，也可能出現(xiàn)在x軸的負方向上，進而提升分類討論意識.

二、正視學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論能力

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教授學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).因此在開展分類討論教學(xué)的過程中，教師應(yīng)正視學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，根據(jù)學(xué)生的實際認(rèn)知能力開展教學(xué)活動，同時，教師要關(guān)注學(xué)生的知識生成與發(fā)展過程，最終培養(yǎng)學(xué)生的分類討論能力.

（一）確定分類的對象

當(dāng)數(shù)學(xué)題中出現(xiàn)較為隱含的關(guān)系時，例如相等關(guān)系、不等關(guān)系，我們首先要將能確定關(guān)系的數(shù)量作為分類對象

例3：某超市自6月3日起就開始提供有償、可循環(huán)使用的環(huán)保購物袋（3種），每只的售價不同，分別為1、2、3元，每只的最大容納量分別為3、5、8千克.6月10日那天，小紅和爸爸一起在該超市購買了20千克的散裝大米，他們分別選購了環(huán)保袋，總共3只，試問他們應(yīng)付多少錢于所選購的環(huán)保袋？

對于這個題目，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先確定分類對象，如“選購環(huán)保袋的總數(shù)為3只”，因而可以確定的數(shù)量是3，從而可以將其確定為分類對象.類似的，若題中出現(xiàn)的是關(guān)于直角三角形、平行四邊形、梯形等圖形時，我們可以從其邊長或角度等入手，確定分類對象，進而確定解題思路.

（二）選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)

確定題中的分類對象是解題的前提，那么接下來就要確定分類標(biāo)準(zhǔn).根據(jù)問題所給的條件、所涉及的概念、結(jié)論等內(nèi)容尋找題中分類的標(biāo)準(zhǔn)點.如例3中，已將環(huán)保購物袋的數(shù)量確定為3，選定分類標(biāo)準(zhǔn)：如題可知，3種購物袋的價錢分別為1、2、3元，因而可能存在①3只均為1元或2元、3元；②有2只為1元，1只為2元；③2只為1元，1只為3元；④2只為2元，1只為1元等諸多情況.

（三）推理嚴(yán)密、不重不漏

確定分類的對象、選定分類的標(biāo)準(zhǔn)之后，要完成逐類求解，需要我們密切關(guān)注題中所給的條件以及所涉及的知識點，并結(jié)合嚴(yán)密、合理的推理，做到不重不漏.

例4：兩個三角板疊放在一起，將△AOB固定，讓△ACD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)（α度），試問當(dāng)△ACD的一邊與△AOB的一邊平行時，其角度應(yīng)為多少？（0<α<180）.

大多數(shù)學(xué)生選擇借助三角板進行解題，結(jié)果往往會出現(xiàn)遺漏.教師可以指導(dǎo)學(xué)生注重審題與分析題干中的條件，例如角的范圍，進而從多角度進行討論，最終做到不重不漏.

三、對學(xué)生進行專題性、系統(tǒng)性訓(xùn)練，提升其分類討論能力

分類思想的掌握不是一朝一夕的事，教師在教學(xué)中要重視對學(xué)生進行專題性、系統(tǒng)性的訓(xùn)練，進而提升他們的分類討論能力.

（一）利用題中的不確定性字詞，捕捉隱含性信息

1.隱含點的不同位置

隱含點不同位置情況：（1）點 A 在 x軸上（可能在正半軸，也可能在負半軸，或在原點）；（2）拋物線與x 軸間有公共點（可能是一個，也可能是兩個）等.

2.隱含線的不同位置

隱含線不同位置情況：（1）直線平移時與⊙O相切（可能是一次，也可能是兩次）；（2）函數(shù)圖像y=ax2-ax+3x+1 與 x 軸有且只有一個交點（沒有確定是何種函數(shù)，因而可能是一次函數(shù)，也可能是二次函數(shù)）等.

3.隱含圖的不同位置

隱含圖形不同位置情況：矩形ABCD在滑動中被 x 軸分成兩部分，其面積比為 1∶4（不確定其上下兩部分的具體面積比值，可能是 1∶4，也可能是4∶1）等.

（二）借助圓規(guī)，尋找數(shù)形結(jié)合的捷徑

對于涉及到線段、角度等問題的題目，可以提倡學(xué)生借助圓規(guī)等工具進行解決.

例5：在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為直角三角形，其中點A、點B分別為A（-4，0）、B（2，0），若點C處于y=-■x+2上，那C點的坐標(biāo)是？

此題中，A、B、C三點均可能是直角的頂點，已知A、B兩點的坐標(biāo)，因而可借助圓規(guī)、利用相關(guān)定義來畫圓，進而將C點坐標(biāo)找出.

（三）重操作能力，降低分類討論難度

運動型、折疊型問題極易在變化的過程中產(chǎn)生不同的結(jié)果，因而對大多數(shù)學(xué)生而言，難度相對較高，因而更需要采取分類討論的方法.例如教師可以鼓勵學(xué)生動手剪出與題中相同的圖形后按照其運行軌道、折疊方式進行操作.雖然這一方法在實際的解題中會受到限制，卻可以激發(fā)學(xué)生的積極性，增強其討論的興趣，有利于分類討論思維的形成.

“分類討論思想”不僅考查學(xué)生數(shù)學(xué)基本知識與方法的儲備情況，也考查學(xué)生思維的深刻性，作為初中階段的引導(dǎo)者，教師不可輕視其重要性，以學(xué)生的實際情況為基礎(chǔ)，設(shè)計適宜的習(xí)題訓(xùn)練，從而提高學(xué)生全面考慮問題的能力以及數(shù)學(xué)思維的周密性與嚴(yán)謹(jǐn)性.endprint