基于Bayes的導(dǎo)彈加速貯存試驗(yàn)參數(shù)估計(jì)

盧明章，宋永軍，趙海軍

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基于Bayes的導(dǎo)彈加速貯存試驗(yàn)參數(shù)估計(jì)

盧明章，宋永軍，趙海軍

（中國(guó)人民解放軍91049部隊(duì) 博士后科研工作站，山東 青島 266102）

目的研究導(dǎo)彈加速貯存壽命試驗(yàn)中的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。方法擬在小子樣的情況下，設(shè)計(jì)一系列反復(fù)連續(xù)的導(dǎo)彈加速貯存仿真試驗(yàn)，將前一試驗(yàn)的結(jié)果作為之后試驗(yàn)的先驗(yàn)分布，基于Bayes方法建立導(dǎo)彈加速貯存壽命模型，給出貯存壽命參數(shù)估計(jì)算法，探討導(dǎo)彈貯存可靠性評(píng)估方法。結(jié)果算例給出貯存壽命參數(shù)的極大似然估計(jì)，利用RBA方法對(duì)參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行降偏修正，得出參數(shù)的修正似然估計(jì)值，給出導(dǎo)彈貯存可靠度。給出的參數(shù)估計(jì)在均方誤差意義下結(jié)果較優(yōu)。結(jié)論序列試驗(yàn)Bayes算法易行、精度高，可有效對(duì)導(dǎo)彈貯存可靠性進(jìn)行評(píng)估。

導(dǎo)彈；貯存試驗(yàn)；極大似然估計(jì)

導(dǎo)彈在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的貯存、檢測(cè)和故障修復(fù)等狀態(tài)后，其內(nèi)部材料性能的變化是導(dǎo)致貯存可靠性下降的主要原因[1—2]。由于工業(yè)部門(mén)的工作重點(diǎn)放在導(dǎo)彈的任務(wù)飛行可靠性，其環(huán)境試驗(yàn)中心主要是開(kāi)展“導(dǎo)彈飛行環(huán)境模擬與驗(yàn)證試驗(yàn)”，而針對(duì)導(dǎo)彈貯存環(huán)境適應(yīng)性研究較少[3]，這就需要研究惡劣環(huán)境下的導(dǎo)彈加速貯存壽命試驗(yàn)，對(duì)導(dǎo)彈的貯存可靠性進(jìn)行有效評(píng)估。迄今為止，我國(guó)對(duì)原材料、元器件的加速貯存試驗(yàn)已經(jīng)有了一些研究成果及應(yīng)用信息，國(guó)內(nèi)有專(zhuān)家在導(dǎo)彈的加速貯存試驗(yàn)方面做了探索性的工作，并給出了整機(jī)（伺服機(jī)構(gòu)）加速貯存試驗(yàn)的工作程序[4]，但真正開(kāi)展整機(jī)加速貯存試驗(yàn)的工程應(yīng)用不多，缺乏相應(yīng)的試驗(yàn)方法[5]。

文中擬在故障數(shù)據(jù)有限的情況下，設(shè)計(jì)一系列反復(fù)連續(xù)的導(dǎo)彈加速貯存壽命試驗(yàn)，基于Bayes估計(jì)，將前一試驗(yàn)的結(jié)果作為之后試驗(yàn)的先驗(yàn)分布，得出導(dǎo)彈貯存壽命的參數(shù)估計(jì)。該研究對(duì)小子樣情況下（對(duì)導(dǎo)彈進(jìn)行統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)時(shí)，由于受到樣本少、試驗(yàn)成本高、且貯存期比較長(zhǎng)，一般不可能對(duì)其進(jìn)行連續(xù)不斷的檢測(cè)，從而導(dǎo)致試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少）如何對(duì)導(dǎo)彈貯存壽命進(jìn)行有效的評(píng)估具有實(shí)際意義。

1 加速貯存壽命試驗(yàn)方法

加速壽命試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)包括：在給定應(yīng)力范圍、樣品數(shù)量等條件下，如何確定加速應(yīng)力水平的大小及如何分配各應(yīng)力水平下樣品的數(shù)量，以獲得對(duì)可靠性指標(biāo)更準(zhǔn)確的估計(jì)[6—7]。Bayes方法解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的思路不同于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法，其顯著特點(diǎn)就是在保證決策風(fēng)險(xiǎn)盡可能小的情況下，盡量應(yīng)用所有可能的信息，包括現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的信息、現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)前的信息，而真正的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以是很少的[8—9]。

導(dǎo)彈加速貯存壽命試驗(yàn)如圖1所示。一共進(jìn)行個(gè)加速貯存試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)中包括個(gè)子試驗(yàn)。每次試驗(yàn)之后，未淘汰裝備貯存可靠度提升，通過(guò)這一系列反復(fù)的試驗(yàn)，可以給出導(dǎo)彈貯存可靠度。利用每次試驗(yàn)中第子試驗(yàn)中的壽命密度函數(shù)()，可以計(jì)算出貯存可靠度()。將每次加速貯存試驗(yàn)得出的可靠度值連起來(lái)，就可以建立貯存壽命模型。加速貯存壽命試驗(yàn)步驟如下：假定導(dǎo)彈裝備壽命服從威布爾分布；試驗(yàn)?zāi)康氖菫榱说贸龉收下屎推骄Ｓ鄩勖麺TTF，在小子樣條件下，合理的參數(shù)值是未知的，就需要求出其后驗(yàn)分布，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)；在小子樣條件下，很難保證參數(shù)估計(jì)值的無(wú)偏性，要對(duì)估計(jì)值進(jìn)行修正，以保證可信性；基于Bayes理論，在試驗(yàn)中，上一階段得出的后驗(yàn)分布作為下一階段試驗(yàn)的先驗(yàn)分布。

圖1 加速貯存試驗(yàn)

2 導(dǎo)彈貯存壽命模型

2.1 參數(shù)分布

導(dǎo)彈加速貯存試驗(yàn)符合浴盆曲線(xiàn)中的早期故障規(guī)律，通常用威布爾分布來(lái)描述這一時(shí)期部件壽命分布規(guī)律，此時(shí)<1，威布爾分布的失效率是單調(diào)遞減的[10]。因此，假設(shè)部件壽命服從威布爾分布(,)，部件壽命的概率密度函數(shù)為：

滿(mǎn)足≥0，>0，0<<1時(shí)，

部件壽命的期望值為()，平均剩余壽命MTTF（Mean Time to Failure）為：

(2)

代入式(1)，可得期望值為：

此外，可得方差為：

(4)

將式(2)代入式(4)，可得：

因此，貯存壽命參數(shù)的概率密度函數(shù)()可以通過(guò)下列步驟得出：

(6)

若是總體均值的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，是總體方差的無(wú)偏估計(jì)，由公式可計(jì)算出的值。既然，，，根據(jù)式(6)，和的測(cè)量值可用來(lái)推導(dǎo)。此外，根據(jù)式(1)，利用平均剩余壽命可計(jì)算出參數(shù)的值，參數(shù)和可以得出：

若進(jìn)行小子樣試驗(yàn)，為樣本數(shù)，利用統(tǒng)計(jì)分析可計(jì)算出樣本均值和方差。

2.2 先驗(yàn)分布

2.3 后驗(yàn)分布

利用貝葉斯估計(jì)來(lái)推導(dǎo)參數(shù)的后驗(yàn)分布，假設(shè)0為先驗(yàn)分布，1為后驗(yàn)分布，為似然概率。由貝葉斯分析所得的后驗(yàn)分布也是一個(gè)參數(shù)為和的威布爾分布。

在一系列試驗(yàn)中，一些部件會(huì)發(fā)生故障，一些會(huì)生存下來(lái)，此時(shí)的失效率遵循二項(xiàng)分布。

(10)

因此，壽命函數(shù)的后驗(yàn)分布服從威布爾分布：

在第一個(gè)試驗(yàn)中不需要對(duì)參數(shù)值進(jìn)行修正，從第二個(gè)開(kāi)始，試驗(yàn)的先驗(yàn)分布即為最后試驗(yàn)的后驗(yàn)分布。在每一個(gè)試驗(yàn)里，可用式(9)—(11)直接計(jì)算出后驗(yàn)分布。

2.4 貯存可靠度

如前所述，在每個(gè)試驗(yàn)中壽命函數(shù)被修正，每個(gè)試驗(yàn)中的后驗(yàn)分布即為下一試驗(yàn)的先驗(yàn)分布，導(dǎo)彈貯存可靠度可由式（12）得出：

將每個(gè)試驗(yàn)的后驗(yàn)分布統(tǒng)計(jì)起來(lái)，最后可以建立貯存可靠性增長(zhǎng)模型。3個(gè)試驗(yàn)得出的3種失效率模型如圖2所示，可以看出，失效率和失效率方差一步步降低。

3 參數(shù)估計(jì)

3.1 極大似然估計(jì)

參數(shù)和的估計(jì)值得到之后，部件壽命服從威布爾壽命分布。根據(jù)密度函數(shù)可得第個(gè)試驗(yàn)階段中第個(gè)子試驗(yàn)的第個(gè)樣本壽命的極大似然函數(shù)為：

3.2 參數(shù)估計(jì)修正

針對(duì)小子樣條件，文獻(xiàn)[12]提出了一種Reduces Bias Adjustment(RBA)方法，對(duì)壽命參數(shù)的估計(jì)值進(jìn)行降偏差修正，并利用蒙特卡羅仿真驗(yàn)證了可用性，而且樣本數(shù)越大，無(wú)偏性越好。

威布爾分布的參數(shù)至關(guān)重要，決定著樣本失效率和方差的大小，為了降低參數(shù)值的偏離度，式(14)可變?yōu)椋?/p>

校正后的極大似然函數(shù)為：

4 實(shí)例仿真

以某型導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)為例，進(jìn)行仿真分析。由于裝備試驗(yàn)耗資較大，抽樣量一般都比較小。實(shí)現(xiàn)小子樣加速貯存可靠性建模，反映裝備實(shí)際情況，是非常必要的。

首先要確定參數(shù)和的初始值，由于發(fā)動(dòng)機(jī)的樣本數(shù)很小，值可以適當(dāng)取高一點(diǎn)。提取5組發(fā)生在安全點(diǎn)火裝置的故障數(shù)據(jù)，其貯存時(shí)間分別為314，289，357，378，415 h。其壽命服從威布爾分布，進(jìn)行仿真試驗(yàn)，條件如下。

1）進(jìn)行5組試驗(yàn)（=5），每組試驗(yàn)包含5個(gè)子試驗(yàn)（=5）。

2）5組仿真試驗(yàn)參數(shù)和初始值為：(314, 0.9)，(289, 0.86)，(357, 0.75)，(378, 0.56)和(415, 0.2)。

3）5組試驗(yàn)中樣本的平均壽命為618.3，827.1，1134.8，1329.3，1780.5 h。

4）當(dāng)樣本的壽命小于試驗(yàn)用時(shí)，即將樣本視為故障。

5）采取定時(shí)截尾試驗(yàn)，5組試驗(yàn)用時(shí)為700，700，700，300，5 h。

仿真結(jié)果如圖3所示，可以看出，可靠性隨試驗(yàn)的進(jìn)行而逐步得到增長(zhǎng)。

圖3 仿真結(jié)果

5 結(jié)論

1）Bayes算法易行、精度高，該加速貯存試驗(yàn)參數(shù)估計(jì)方法可有效對(duì)導(dǎo)彈貯存可靠性進(jìn)行評(píng)估。

2）算例給出了貯存壽命參數(shù)的極大似然估計(jì)，利用RBA方法對(duì)參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行降偏修正，得出參數(shù)的修正似然估計(jì)值。文中給出的參數(shù)估計(jì)在均方誤差意義下結(jié)果較優(yōu)，算法中對(duì)壽命參數(shù)估計(jì)值的修正也很重要。

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Estimation of Parameters for Missile Accelerated Storage Life Tests Based on Bayes Theory

LU Ming-zhang, SONG Yong-jun, ZHAO Hai-jun

(Postdoctoral Programme of PLA, No. 91049 Troop, Qingdao 266102, China)

Objective To study the question of parameter estimation for missile accelerated storage life tests. Methods A series of repeated and continuous accelerated simulation tests for missile storage life were designed with insufficient data. The results of previous test was taken as prior distribution of the next test. An accelerated storage life model of missile was established based on Bayes method to propose the algorithm of estimation of storage life parameters and discuss methods for reliability assessment of missile storage. Results The example provided the maximum likelihood estimation of parameters. The value of estimation was adjusted with RBA method and the storage reliability of missile was proposed. The mean square errors of the new estimation are less. Conclusion Bayes algorithm of sequence tests is simple and precise, which will be applicable to evaluation of missile storage reliability.

missile; storage test; maximum likelihood estimation

10.7643/ issn.1672-9242.2017.08.005

TJ760.6+23

A

1672-9242(2017)08-0025-05

2017-03-21；

2016-04-15

飛行器海上測(cè)量與控制聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金資助項(xiàng)目（FOM2014OF15）

盧明章（1959—），男，山東蓬萊人，博士，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)楣腆w火箭發(fā)動(dòng)機(jī)及壽命可靠性。