基于EV模型ND樣本加權(quán)和的相合性

蘭沖鋒

(阜陽(yáng)師范學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院,安徽阜陽(yáng)236037)

(區(qū)域物流規(guī)劃與現(xiàn)代物流工程安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽阜陽(yáng)236037)

基于EV模型ND樣本加權(quán)和的相合性

蘭沖鋒

(阜陽(yáng)師范學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院,安徽阜陽(yáng)236037)

(區(qū)域物流規(guī)劃與現(xiàn)代物流工程安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽阜陽(yáng)236037)

本文研究變系數(shù)EV模型的ND樣本加權(quán)和的相合性問(wèn)題.利用ND序列的Bernstein型不等式和截尾的方法,獲得了ND樣本加權(quán)和的強(qiáng)、弱相合性,推廣了獨(dú)立隨機(jī)變量加權(quán)和的相合性.

變系數(shù)EV模型;ND樣本;加權(quán)和;相合性

1 引言

在一維線(xiàn)性結(jié)構(gòu)關(guān)系EV(errors-in-variables)模型[1]中,如果參數(shù)a,b是實(shí)變量t的有界連續(xù)函數(shù)a(t),b(t),t∈(0,1),(b(t)6=0),可得到下列變系數(shù)一維線(xiàn)性結(jié)構(gòu)關(guān)系的EV模型

其中X,Y是隨機(jī)變量,(?,u)是測(cè)量誤差,t是一實(shí)變量,可以是溫度、時(shí)間等,假定t在一個(gè)閉區(qū)間上變化,可通過(guò)變換使得t∈[0,1].

目前關(guān)于變系數(shù)EV模型的討論還處在起步階段,但是也取得了一些成果,如歐陽(yáng)[2]初步研究了這類(lèi)模型,他利用加權(quán)正交回歸最小二乘法給出了該模型的一維線(xiàn)性結(jié)構(gòu)的參數(shù)估計(jì),并得到了該估計(jì)的強(qiáng)、弱相合性;崔[3]給出了變系數(shù)線(xiàn)性EV模型參數(shù)的調(diào)整加權(quán)最小二乘估計(jì)及其漸近性質(zhì);方和胡[4]討論了核實(shí)數(shù)據(jù)下非線(xiàn)性EV模型中經(jīng)驗(yàn)似然降維推斷等.而本文則研究變系數(shù)EV模型的ND樣本加權(quán)和的相合性問(wèn)題,為此先討論EV模型的權(quán)函數(shù)問(wèn)題.

設(shè)t0∈(0,1),要對(duì)t0處的a(t0),b(t0)進(jìn)行參數(shù)估計(jì).然而不可能在t0處作n次觀測(cè),只能在t0處附近作n次觀測(cè).設(shè)t1,t2,···,tn是[0,1]上n個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn),滿(mǎn)足

對(duì)每個(gè)點(diǎn)ti處(Y,X)作觀測(cè),得到n組觀測(cè)值(Yi,ti,Xi)(i=1,2,···,n).當(dāng)利用這n組觀測(cè)值來(lái)估計(jì)t0處的參數(shù)a(t0),b(t0)時(shí),此時(shí)應(yīng)該注意到ti處的觀測(cè)值(Yi,ti,Xi)(i= 1,2,···,n)相對(duì)于t0來(lái)說(shuō)它們的重要程度并不一樣,這種重要程度可用實(shí)變量ti的權(quán)函數(shù)Wni(t0)來(lái)度量.下面給出權(quán)函數(shù)的定義.

設(shè)(Yi,ti,Xi)(i=1,2,···,n)是取自母體(Y,X)的樣本,t1,t2,···,tn是[0,1]上的n個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn),t0是(0,1)內(nèi)的某一個(gè)點(diǎn),實(shí)變量t1,t2,···,tn的函數(shù)Wni(t0)=Wni(t0,t1,t2,···,tn) (i=1,2,···,n)稱(chēng)為實(shí)變量權(quán)函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)為權(quán)函數(shù)),如果它滿(mǎn)足

為權(quán)函數(shù),稱(chēng)之為核權(quán)函數(shù).

在文[5]中提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：在何種條件下,當(dāng)n→∞時(shí)有

如果?n≥2,X1,X2,···,Xn都是ND的,則稱(chēng)隨機(jī)變量列{Xn,n≥1}是ND列.

文獻(xiàn)[9]舉例說(shuō)明了NA序列一定是ND序列,但ND序列不一定是NA序列,這說(shuō)明ND序列是比NA序列更弱、更廣泛的一種隨機(jī)變量序列.因此,對(duì)ND列的研究在理論和實(shí)踐中都是十分有意義的.自從1993年Bozorgnia等[8]提出ND相依概念以來(lái),已經(jīng)引起了越來(lái)越多的學(xué)者的關(guān)注,也取得了許多的研究成果,例如文獻(xiàn)[8-10]等.

2 引理

為了得出本文的主要結(jié)論,本節(jié)先給出一些相關(guān)的引理.

引理1[8]設(shè){Xn,n≥1}是ND的,?m≥2,A1,A2,···,Am是集合{1,2,···,n}的兩兩不交的非空子集.如果fi,i=1,2,···,m是對(duì)每個(gè)變?cè)挤墙?或都非升)的函數(shù),則f1(Xj,j∈A1),f2(Xj,j∈A2),···,fm(Xj,j∈Am)仍是ND的.

引理2[8]設(shè)隨機(jī)變量{Xn,n≥1}是ND列,則

3 主要結(jié)果及證明

定理1設(shè){Y,Yi,i≥1}為同分布的ND樣本序列,且存在M＞0,使得Var(Y)≤M,若對(duì)任意實(shí)變量核權(quán)函數(shù)存在正數(shù)C,使得

則有

[1]Cui H,Chen S X.Empirical likelihood conf i dence region for parameter in the errors-in-variables models[J].J.Multi.Anal.,2003,84(1)：101-115.

[2]歐陽(yáng)光.變系數(shù)線(xiàn)性結(jié)構(gòu)關(guān)系EV模型的參數(shù)估計(jì)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,28(1)：73-85.

[3]崔恒建.變系數(shù)線(xiàn)性EV模型參數(shù)的調(diào)整加權(quán)最小二乘估計(jì)及其漸近性質(zhì)[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2007, 27(1)：82-92.

[4]方連娣,胡鳳霞.核實(shí)數(shù)據(jù)下非線(xiàn)性EV模型中經(jīng)驗(yàn)似然降維推斷[J].數(shù)學(xué)雜志,2012,32(1)：113-120.

[5]陳希孺,王松桂.近代實(shí)用回歸分析[M].南寧：廣西人民出版社,1984,237-247.

[6]歐陽(yáng)光.獨(dú)立隨機(jī)變量序列加權(quán)和的相合性[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2005,25(1)：109-113.

[7]付艷莉,吳群英.NA同分布序列加權(quán)和的相合性[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2010,48(1)：57-62.

[8]Bozorgnia A,Patterson R F,Taylor R L.Limit theorems for ND r.v.’s[R].Athens：University of Georgia,1993.

[9]Wu Q Y,Jiang Y Y.The strong consistency of M estimator in a linear model for negatively dependent random samples[J].Commun.Stat.：The.Meth.,2011,40(3)：467-491.

[10]Wu Q Y.Complete convergence for negatively dependent sequences of random variables[J].J.Inequ. Appl.,2010,Article ID 507293.

CONSISTENCY OF WEIGHTED SUMS FOR NEGATIVELY DEPENDENT SAMPLES BASED ON EV MODEL

LAN Chong-feng
(School of Economics,Fuyang Normal College,Fuyang 236037,China)
(Anhui Provincial Key Laboratory Regional Logistics Planning and Modern Logistics Engineering, Fuyang 236037,China)

In this paper,we discuss consistency of weighted sums for negatively dependent samples based on varying-coefficient EV model.By applying Bernstein type inequality for negatively dependent sequences and truncation methods,the strong and weak consistency of weighted sums for negatively dependent samples are obtained,which extend consistency of weighted sums for independent random variables.

varying-coefficient EV model;negatively dependent samples;weighted sums; consistency

O212.2

A

0255-7797(2017)05-1047-07

2014-01-24接收日期：2015-04-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(71571174);安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目基金資助(KJ2016A876;KJ2015A182)

蘭沖鋒(1981-),男,安徽阜陽(yáng),講師,主要研究方向：概率極限理論.

2010 MR Subject Classif i cation：62D05