數(shù)字圖像置亂算法的研究與比較

汪太月,戴燕青

(湖北理工學院 數(shù)學與物理學院，湖北 黃石 435003)

數(shù)字圖像置亂算法的研究與比較

汪太月,戴燕青

(湖北理工學院 數(shù)學與物理學院，湖北 黃石 435003)

隨著信息技術及互聯(lián)網(wǎng)技術的快速發(fā)展，數(shù)字圖像正逐漸成為傳遞和接收信息的主要載體。數(shù)字圖像置亂技術能達到圖像信息的保護及實時使用的目的。文章從數(shù)字圖像置亂的理論及概念入手，對幾種具有代表性的數(shù)字圖像置亂算法進行分析、比較及改進，闡述了各自的優(yōu)缺點，且通過實驗實現(xiàn)了不同置亂方式的效果。

圖像置亂；置亂變換；算法實現(xiàn)；分析比較

隨著信息技術迅猛發(fā)展及互聯(lián)網(wǎng)技術的普及，人們獲取信息的方式正由傳統(tǒng)的紙質書籍、報刊演變?yōu)殡娮游谋炯皵?shù)字圖像等。數(shù)字圖像以其直觀性及概括性，逐漸成為信息傳播最常見的方式。而數(shù)字式產品易于復制和篡改為其致命的弱點。如何保證數(shù)字圖像所攜帶信息的安全性和保密性成為了信息安全領域中的重要研究內容[1]。

對于文本資料，密碼學能發(fā)揮較好的加密作用，而數(shù)字圖像與文本資料的存儲維度不同，數(shù)據(jù)量要大得多，且有一定的時效性要求，使用與文本資料相同的加密方式，視覺效果難以得到保障[2]。計算機圖形學雖對圖像加密起到一定作用，但難以滿足安全性要求[3]。比較不同的加密技術，數(shù)字圖像置亂算法能夠最大限度地保障信息的傳輸以及存儲安全，不失為穩(wěn)定且高效的方法[4]。

數(shù)字圖像置亂算法能很好實現(xiàn)圖像像素的位置重排，呈現(xiàn)出與原圖像不同的顯示效果[5]，置亂圖像的信息就自然無法被他人獲取到，且置亂算法靈活，能更大限度地對圖像進行加密處理，提升了圖像的安全性。它是數(shù)學、信息學、密碼學以及計算機科學等有機結合的產物，是一種融合技術面廣、應用領域多元化的方法[6]。本文從置亂算法的原理、置亂效果等方面對幾種數(shù)字圖像置亂算法進行分析和改進，同時通過實驗實現(xiàn)和比較置亂效果,最后歸納總結了不同算法的優(yōu)缺點。

1 數(shù)字圖像置亂的基本概念

圖像是外界事物在大腦中形成的實體映像，如靜態(tài)圖像、動畫照片以及視頻圖畫等，是當今信息傳播的最主要載體[7]。在日常生活中傳輸隱私度較高的信息時，當然不希望圖像信息被他人輕易獲取。在當前各種圖像加密隱藏技術中，數(shù)字圖像置亂技術越來越引起廣泛關注和研究。數(shù)字圖像置亂技術用途廣泛，在用來加密的前提下，也能用于其他技術的預處理以及后續(xù)處理，如常用的圖像水印、數(shù)字圖像分存、版權保護技術等[8]。

數(shù)字圖像置亂算法的本質就是利用數(shù)學變換以及各種算法對圖像進行處理，通過移動像素點的位置或改變像素值，將圖像的顯示信息完全打亂而達到保密的效果。在實現(xiàn)算法的同時常引入密鑰，能最大限度保證圖像的安全性。對于大部分加密算法及技術，數(shù)學變換是這些技術方法的基礎。對于數(shù)字圖像置亂，有如下定義。

定義1[9]給定變換矩陣T，表達式為T=L[t(i,j)]m×n，即1,2,…,m×n的一種排列方式，圖像A表達式為：A=[a(i,j)]m×n，將圖像A依據(jù)變換矩陣T作圖像置亂變換后即可得到圖像B。其變換方式如下：

將圖像A中位置1的像素灰度值或RGB分量值挪動到位置2，同理可將位置2的像素灰度值或RGB分量值挪動到位置3，以此類推，對圖像A和矩陣T做逐一變換。在置亂變換的最后，將位置的像素灰度值挪動到位置1，就能得到置亂后圖像B，該過程可記為B=TA。

定義2[9]給定圖像A=[a(i,j)]m×n，設變換T是{(x，y):1≤x≤n，1≤y≤m，且x，y均為整數(shù)}到自身的一對一映射，即：將圖像A中位置(x，y)處的元素變換到位置(x',y')處即可得到圖像B，則稱變換T是圖像A的置亂變換，仍記為B=TA。

對比定義1與定義2，發(fā)現(xiàn)其實并沒有本質的區(qū)別，但從使用的場合來說是有區(qū)別的。不同的置亂變換，其置亂矩陣T也是不同的，因此構造置亂矩陣T就是構造置亂變換。由定義2可以看出，構造置亂變換就是構造{(x，y):1≤x≤n，1≤y≤m，且x，y均為整數(shù)}到自身的一對一映射。

定義3[10]若存在一個大于1的正整數(shù)N能夠滿足表達式TNA=A，就稱最小的正整數(shù)N為置亂變換T的周期。

圖像處理時，陣列能以圖像顯示，圖像以陣列存儲。置亂程度是指數(shù)字圖像被打亂的程度，一般而言，圖像表現(xiàn)得越亂，置亂的效果就越好。數(shù)字圖像置亂算法是置亂效果以及安全性的直接影響因素，好的算法更能保障圖像信息的安全性以及保密性。根據(jù)置亂算法的易實現(xiàn)性和高效性，本文討論和研究的置亂算法有Arnold變換、Hilbert曲線變換、Fibonacci變換及基于相鄰像素間位異或的圖像置亂算法。

2 常見的數(shù)字圖像置亂算法及其實現(xiàn)

2.1 Arnold變換置亂算法

Arnold置亂變換是Arnold提出的一種置亂方法[11]，該方法最初是對貓臉圖像進行操作，因此俗稱為貓臉變換，對數(shù)字圖像作如下操作：

(1)

式(1)中x,y∈{0,1,2,…,N-1}，表示的是置亂變換前像素點位置，而(x',y')表示的是像素經(jīng)過置亂變換之后的位置，mod為模運算。數(shù)字圖像可視為一個二維的矩陣，矩陣經(jīng)變換后對應圖像像素的位置發(fā)生變化，從而生成新的圖像。該變換在遵循一定變換規(guī)律的條件下可持續(xù)執(zhí)行，因此不僅能實現(xiàn)圖像加密，而且能達到圖像置亂的目的。

數(shù)字圖像進行Arnold置亂時，置亂次數(shù)可人為控制且無上限，置亂后的圖像難以辨識。在重復一定的迭代變換后，數(shù)字圖形能夠實現(xiàn)完美的還原，也就是說Arnold置亂變換具有周期性，因而得以廣泛的應用。還原出原始圖像信息的最少迭代次數(shù)即為置亂周期T。不同的像素N值與Arnold置亂變換的周期T之間存在一定關系。

Arnold置亂算法的周期與圖像像素值之間的關系見表1。由表1可得，N與T并不是嚴格的正比例關系，對于給定的正整數(shù)N，當N>2時，它們滿足如下不等式：

(2)

本研究采用圖像處理中最常見的Lena圖像為原始圖像，利用MATLAB軟件進行置亂處理，迭代10次的Arnold置亂圖像及反置亂圖像如圖1所示。

表1 Arnold置亂算法的周期與圖像像素值之間的關系

圖1 Arnold置亂圖像及反置亂圖像

2.2 Hilbert曲線變換置亂算法

Hilbert曲線是德國科學家Peano在1891年發(fā)現(xiàn)的一種曲線，該算法是對正方形的邊進行等分，將正方形一分為四。通過曲線的走向對原始圖像中的每一個像素點實現(xiàn)遍歷而生成一幅雜亂無章的新圖像，這就是Hilbert曲線置亂變換[12]。對于最簡單的四元素矩陣，元素的排列順序為1，2，3，4。不同階Hilbert曲線的遍歷如圖2所示，其二階的Hilbert曲線如圖2(a)所示，四階Hilbert曲線及256階Hilbert曲線分別如圖2(b)、(c)所示。圖像中元素的遍歷從左下角的元素開始，遍歷的次序為3,1,2,4，一直到右下角結束。對一個任意的N階圖像進行Hilbert曲線遍歷操作，一定能將該N階圖像劃分為4個N/2階的曲線遍歷，而每一個N/2階曲線遍歷又可以繼續(xù)被劃分為4個N/4階的Hilbert曲線遍歷，以此類推，直到劃分成2×2的最小遍歷像素矩陣。同為二階的4個最基本的Hilbert曲線遍歷，其形狀是完全相同的，只是曲線的走向略有不同而已， 因而劃分后的曲線遍歷可直接依據(jù)二階Hilbert曲線遍歷的順序依次完成。

圖2 不同階Hilbert曲線的遍歷

將Lena圖像按Hilbert曲線進行賦值，拉成一條一維數(shù)組，再reshape成一幅圖像即為置亂圖像。Hilbert曲線變換置亂圖像及恢復圖像如圖3所示。

圖3 Hilbert曲線變換置亂圖像及恢復圖像

為增強圖像置亂的復雜性與安全性，先將Lena圖像reshape成一維數(shù)組，然后再按Hilbert曲線進行賦值，且對其旋轉90°生成一幅圖像即為置亂圖像。改進的 Hilbert曲線變換置亂圖像及恢復圖像如圖4所示。

圖4 改進的 Hilbert曲線變換置亂圖像及恢復圖像

2.3 Fibonacci變換圖像置亂

公元1200年，由意大利著名數(shù)學家Leonardo Fibonacci研究提出的一個非常重要的數(shù)列，即Fibonacci數(shù)列，因其具有一些較為特別的性質而被廣泛使用[13]。

定義4[14]設邊長為N的方形數(shù)字圖像的坐標分別為(x,y)和(x',y')，若(x,y)與(x',y')存在的映射滿足公式(3)，同時有(x',y')∈[0,N]×[0,N]，且該數(shù)字圖像具有周期性，就稱其為二維等長圖像，其中a，b，c，d為正整數(shù)或0；N代表圖像矩陣的維度參數(shù)。

(3)

將式(3)中的參數(shù)分別取值為a=b=c=1，d=0,就稱為二維等長Fibonacci圖像置亂變換，即:

(4)

根據(jù)Fibonacci數(shù)列和矩陣的性質[13]，F(xiàn)ibonacci變換矩陣Q可由3個初等矩陣組合而成：

(5)

由式(5)可以得出，F(xiàn)ibonacci變換改變了像素點的位置，而圖像像素點的灰度值變化不大。3個初等矩陣分別對圖像進行了對稱變換、錯切變換及切割回填處理。在變換的過程中，2個區(qū)域內的像素的相對位置沒有發(fā)生變化，圖像局部聯(lián)系也沒有發(fā)生變化，也就是說，圖像在經(jīng)過置亂后其灰度值并沒有改變。Fibonacci置亂也是具有周期性。Fibonacci變換圖像像素大小與置亂周期的關系見表2。

表2 Fibonacci變換圖像像素大小與置亂周期的關系

對Lena圖像進行Fibonacci變換，不同迭代次數(shù)Fibonacci變換置亂圖像如圖5所示。圖5(a)、 (b)分別為迭代次數(shù)為8,32的置亂圖像，采用矩陣的逆運算可得反置亂圖像。

圖5 不同迭代次數(shù)Fibonacci變換置亂圖像

由圖5容易發(fā)現(xiàn)，隨著置亂迭代次數(shù)增加，置亂圖像變得更為零亂，與此同時，圖像紋理也變得更均勻，波動性變得更小，充分反映了Fibonacci置亂變換是一種基于空間位置上的圖像置亂算法。

2.4基于相鄰像素間位異或的圖像置亂算法

位異或是一種應用于邏輯操作的二進制數(shù)學運算，符號表示為“∧”，其運算的過程可以表示為：a∧b=a'b+ab'(a'、b'分別表示非a、非b)，當真異或假、假異或真時，其最后結果都為真；而當真異或真、假異或假時，其結果都為假[15]。通過分析總結即為：當運算符兩端的2個值不相等時，則異或結果為真，反之則為假。將數(shù)字a與同一個數(shù)字b進行2次異或運算，其結果仍為原數(shù)值a，這就是異或運算符的特點，表達式為a=a∧b∧b。

置亂變換必須是可逆變換，這樣才能準確無誤地恢復原始圖像。而異或運算是可逆的，同時異或運算簡單靈活，方便高效，運用到數(shù)字圖像置亂能取得較為理想的置亂效果。

以M×N像素圖像為例，為了便于敘述，取M=256,N=256,即8 bit位圖像，基于相鄰像素間位異或的圖像置亂算法的實現(xiàn)步驟描述如下：

1)記原始圖像A，A(i,j) 表示圖像中第i行、第j列元素的灰度值，置亂后得到的圖像記為B,大小不變,也為M×N。

2)將原始圖像的第一個像素的灰度值A(1,1)與M-1做異或運算，得到像素點A'(1,1)，然后對其進行交叉換位操作，即令A'(1,1)的第1 bit位與第8 bit位互換位置，第2 bit位與第4 bit位互換，第3 bit位與第7 bit位互換，第5 bit位與第6 bit位互換，最后得到B(1,1)，交叉換位操作示意圖如圖6所示。

圖6 交叉換位操作示意圖

3)將A(1,2)與它前一位B(1,1)做異或運算得到A'(1,2)，再按圖6換位規(guī)則進行交叉換位操作得到B(1,2)。

4)依次對每一個元素A(i,j)與B元素(i,j-1)做異或運算得A'(i,j)，再對A'(i,j)進行交叉換位操作可得B(i,j)，以此類推，直到遍歷A的整個像素點，即得到置亂后的圖像B。

通過置亂算法的逆操作可還原原圖像，具體操作是從置亂圖像的最后一個像素的灰度值B(M,N)開始，依次向前分別進行位異或運算且進行交叉換位操作，重復操作直到B(1,1)，還原操作就算結束。逆過程的步驟描述與置亂實現(xiàn)步驟完全相反，最后得到A即為還原圖像。基于相鄰像素間位異或的置亂圖像及還原圖像如圖7所示。

圖7 基于相鄰像素間位異或的置亂圖像及還原圖像

2.5置亂算法的分析與比較

不同圖像置亂算法的比較見表3。

表3 不同圖像置亂算法的比較

Arnold變換、Hilbert曲線變換以及Fibonacci變換置亂算法都是基于位置空間的圖像置亂算法，從本質上來說，它們都是通過矩陣變換改變數(shù)字圖像中各個像素點的位置和順序，進而能夠達到置亂的效果。置亂圖像只是像素位置發(fā)生改變，而圖像的像素總數(shù)、灰度值以及直方圖并未發(fā)生變化，原理簡單，算法高效。但重排置亂圖像總能還原出原始圖像，因此該類算法存在明顯的缺陷，即安全性有待提高?；谙噜徬袼亻g位異或運算的圖像置亂方法與基于位置空間的圖像置亂方法的區(qū)別在于，該算法并不改變像素的位置和順序，而是在色彩空間上對像素的灰度值進行處理，進而達到置亂的目的。與基于位置空間上的算法相比而言，安全性更強，效果也更優(yōu)。不同方法產生的置亂效果不盡相同，一般來說，迭代次數(shù)越多，置亂效果越好。

3 結束語

圖像置亂算法能較好地保證圖像攜帶信息的安全性和保密性。本文從Arnold變換，Hilbert曲線變換，F(xiàn)ibonacci變換及基于相鄰像素間位異或的圖像置亂算法的原理、優(yōu)缺點、置亂效果等方面進行分析比較及改進，同時給出置亂算法的實現(xiàn)及還原過程，為信息安全提供了理論和實踐的保證。由于不同置亂算法效果不盡相同，今后將進一步探討多種置亂算法的融合，且考慮與密碼學、數(shù)字水印技術等相結合。

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(責任編輯吳鴻霞)

Research and Comparison of Digital Image Scrambling Algorithm

WangTaiyue，DaiYanqing

(School of Mathematics and Physics,Hubei Polytechnic University,Huangshi Hubei 435003)

With the development of information technology and the Internet,Digital images gradually has become the main carrier of the transmission and receiving of information.Digital image scrambling technology can play a more and more important role in the protection of image information and achieve the purpose of real-time use.With the theory and concept of digital image scrambling,this paper analyzes,compares and summarizes the principles of several representative digital image scrambling algorithms,and their respective merits and demerits are elaborated,at last,the experimental results indicate the effect of different scrambling methods.

image scrambling;scrambling transformation;algorithm implementation;analysis and comparison

2017-06-15

國家自然科學基金項目(項目編號：61302138);湖北省教育廳科研基金項目(項目編號：B2015095)；湖北理工學院創(chuàng)新人才項目(項目編號：14xjz02C)；湖北理工學院重大教研項目(項目編號：2015A08)。

汪太月,副教授,博士,研究方向：廣義高斯信號處理及圖像處理、信息安全。

10.3969/j.issn.2095-4565.2017.04.006

TP391.9

：A

：2095-4565(2017)04-0025-06