長波單項傳播模型BBM方程精確解的研究

范慧玲

（黑龍江八一農(nóng)墾大學理學院，大慶 163319）

長波單項傳播模型BBM方程精確解的研究

范慧玲

（黑龍江八一農(nóng)墾大學理學院，大慶 163319）

廣義的BBM方程在物理上被用來研究長波單項傳播情形。通過研究廣義的BBM方程中的參數(shù)p取不同值時，根據(jù)方程的具體特點來尋找恰當?shù)脑囂阶臃匠?，當p=1時，根據(jù)試探方程法得到子方程是一個二次多項式，應用二階多項式完全判別系統(tǒng)法求得了它的精確解；當p=2時，我們得到的子方程是一個四次多項式，應用四階多項式完全判別系統(tǒng)法求得了它的精確解并進行了分類；當p=4時，此時的子方程是一個三次多項式，應用三階多項式完全判別系統(tǒng)法求得了它的精確解；用試探方程法對于不能化為初等積分形式的方程來求它的可能的精確行波解還是很有效的。

精確行波解；試探方程法；BBM方程；完全判別式法

非線性偏微分方程經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學物理和工程領域中，它們的精確解的求得是非線性科學領域的核心問題之一。多年來國內外數(shù)學物理學家都在研究求解偏微分方程精確解的方法[1-9]。精確解的求得也是實際數(shù)學物理力學模型方程的需要，實際問題如果能夠求得精確解，尤其求出全部的精確解，有著重大的理論價值和實踐意義。由于非線性微分方程的復雜性，求解的方法也靈活多變。試探方程法是當非線性偏微分方程經(jīng)過行波變換為常微分方程后，仍不能化為初等積分形式時，根據(jù)方程的特點，應用試探方程法來尋找恰當?shù)目煞e子方程，從而求得其可能的精確解。

廣義的BBM方程是不同物理系統(tǒng)中出現(xiàn)的弱非線性色散介子中長波單項傳播的重要模型方程。很多科研工作者們應用了一些方法求得了BBM方程的若干精確解，例如在文獻[10]中應用齊次平衡原理得到了廣義的Burgers-BBM方程的一些孤波解和周期解[10]；在文獻[11]中應用Tanh函數(shù)法求得了BBM方程的一些精確解和周期解[11]。先研究學習試探方程法的理論，然后根據(jù)BBM方程的特點，給出適當?shù)淖臃匠虂砬蠼鈴V義的Burgers-BBM的所有可能的精確解的分類。

1 試探方程法概述

設非線性偏微分方程為

其中P是關于u，ut，ux，uxx，utt，uxt，…的多項式。

通過如下的行波變換，

方程（1）被約化成如下的常微分方程，

根據(jù)方程（3）的特點我們可以取試探子方程為

其中ai為常系數(shù)，

其中ai為常系數(shù)。

由方程（4）可導出

這里d是積分常數(shù)。

通過平衡分析可以確定（5）式和（6）式中m的取值。

對（6）式左右兩端同時積分，可以得到以下形式

對（5）式進行同樣的計算，可以得到

根據(jù)（7）和（8）中F（u）的階數(shù)，根據(jù)相應的多項式完全判別系統(tǒng)法求出（7）和（8）的全部行波解的分類。

2 廣義的Burgers-BBM方程精確解

廣義的Burgers-BBM方程如下

當參數(shù)p取不同數(shù)值時，我們根據(jù)此時方程的特點，找出恰當?shù)淖臃匠蹋瑥亩玫椒匠蹋?）的精確行波解。

行波變換u=u（ξ），ξ=x-ct，方程（9）可化為

2.1 p=1時的情形

當參數(shù)p=1時，方程（12）變?yōu)?/p>

令w=φ′，方程（15）變?yōu)?/p>

把（17）帶入到（16）中，我們得到

2.2 p=2的情形

p=2時，方程（12）變?yōu)?/p>

把（24）代入到（23）式中，通過討論得到m=2。

從而得到下列兩個等式：

把（25）和（26）代入到（23）中，再根據(jù)平衡原理我們得到以下方程組

利用四階完全判別系統(tǒng)，可以得到（30）的所有精確解及分類。

2.2.1 D4=0，D3=0，D2＜0。F（w）有一對二重共軛復根，設F（w）=［（w-l）2+s2］2，其中l(wèi)，s是實數(shù)，s＞0。（30）的精確解為

2.2.2 D4=0，D3=0，D2=0。F（w）有四重零實根，設F（w）=w4。（30）的精確解為

2.2.3 D4=0，D3=0，D2＞0，E2=0。F（w）有兩個不同的二重實根，設

F（w）=（w-α）2（w-β）2，α，β是實數(shù)，α＞β。當w＞α或w＜β，（30）的精確解為

當β＜w＜α，（30）的精確解為

2.2.4 D4=0，D3＞0，D2＞0。設F（w）=（w-α）2（w-β）（wγ），其中α，β，γ為實數(shù)，β＞γ。

當α＞β，w＞β，或α＜γ，w＜γ，（30）的精確解為

2.2.5 D4=0，D3=0，D2＞0，E2=0。設F（w）=（w-α）3（wβ），其中α，β都是實數(shù)。當w＞α，w＞β，或w＜α，w＜β，（30）的精確解為

2.2.6 D4=0，D2D3＜0，設F（w）=（w-α）2［（w-l）2+s2］，這里α，l和s是實數(shù)。（30）的精確解為

2.2.7 D4＞0，D3＞0，D2＞0。F（w）=0有四個實根，設

F（w）=（w-α1）（w-α2）（w-α3）（w-α4），其中α1，α2，α3，α4是實數(shù)，并且α1＞α2＞α3＞α4。作變換

當w＞α1或者w＜α4時取

當α2＞w＞α3時取

由方程可得

根據(jù)雅可比橢圓正弦函數(shù)定義，我們可得上述方程的解為

2.2.8 D4＜0，D2D3≥0。F（w）=0有兩個不同的實根和一對共軛復根，設

其中α1，α2，l1和s1都是實數(shù)，且α1＞α2，s1＞0，假設

根據(jù)雅可比橢圓余弦函數(shù)的定義，我們可得方程的解為

2.2.9 D4＞0，D2D3≤0。F（w）=0有兩對共軛復根，設

其中l(wèi)1，l2，s1和s1是實數(shù)，且s1＞s2＞0。假設

根據(jù)雅可比正弦和余弦函數(shù)的定義，我們得到方程（30）的解為

2.3 p=4的情形

p=4時，方程（12）變?yōu)?/p>

由（39）和（40）我們得到以下方程組

把（56）帶入到（53）中并積分，我們有

我們得到積分式（52）相應的解為

3 結論

根據(jù)BBM方程在參數(shù)p=1、p=2和p=4時的特點，應用試探方程法我們找到了適合方程的子方程，根據(jù)自方程的階數(shù)我們應用多項式完全判別系統(tǒng)法求得了原方程在參數(shù)p=1、p=2和p=4時的所有可能精確行波解的分類，這里面包含了一些之前沒有得到的新解。我們通過BBM方程來推廣尋找子方程的方法，可以進行拓展應用到類似的方程上來求解更多偏微分方程的精確解。所求得的廣義的BBM方程所有的精確解，可以更好的進行物理系統(tǒng)的研究。

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Research on Exact Solutions to Long-wave Single Spread Model Equation

Fan Huiling
（College of Science，Heilongjiang Bayi Agriculture University，Daqing 163319）

The regularized Burgers-BBM equation was researched on the long-wave single spread.Applying the trial equation method to discuss the regularized Burgers-BBM equation，when the parameter p took 1，2 and 4，it obtained the corresponding subequation，then it gave the classification of the exact traveling wave solutions to the corresponding sub-equation by the complete discrimination system for polynomial method.The trial equation method was very effective to the equations which could not reduce elementary integral form.

exact traveling wave solution；the trial equation method；BBM equation；the complete discrimination system for polynomial method

O0175.29

A

1002-2090（2017）04-0128-05

10.3969/j.issn.1002-2090.2017.04.029

2016-10-09

黑龍江省教育廳科研項目（12531475）；黑龍江八一農(nóng)墾大學校培育課題（XZR2016-13）。

范慧玲（1982-），女，東北石油大學畢業(yè)，現(xiàn)主要從事數(shù)學教育方面的研究工作。