2+1維非線性KDV方程組的單行波解分類

代冬巖，朱桂英，李艷鳳

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）

2+1維非線性KDV方程組的單行波解分類

代冬巖，朱桂英，李艷鳳

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）

應(yīng)用多項(xiàng)式的完全判別系統(tǒng)，以分類的形式給出2+1維非線性KDV方程組的單行波解，這個(gè)方法能夠獲得方程組的全部精確解，其中一部分是新解。同時(shí)通過(guò)賦予方程中參數(shù)具體數(shù)值，構(gòu)造出單行波解的具體結(jié)構(gòu)和波形圖。

多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)；2+1維非線性KDV方程組；單行波解

KDV型方程是數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域中的一個(gè)常見非線性模型，可用來(lái)描述很多實(shí)際物理現(xiàn)象。它是由Korteweg和Devries在1985年研究不能收縮且無(wú)黏滯液體表面機(jī)理時(shí)提出的[1]，KDV型方程在氣體動(dòng)力學(xué)、等離子體物理、流體力學(xué)等方面有重要的應(yīng)用。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者們開始關(guān)注于KDV型方程的求精確解研究，因?yàn)榫_解可以清楚地分析非線性系統(tǒng)的變化規(guī)律，細(xì)致描述系統(tǒng)的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確評(píng)估模型模擬的可靠性，因此，尋找非線性模型的精確解便成為非線性科學(xué)研究中的關(guān)鍵問(wèn)題。由于非線性方程自身的特點(diǎn)，不同類型要運(yùn)用不同的方法來(lái)求解，所以許多數(shù)學(xué)工作者致力于此方面的研究。Fan E[2]通過(guò)改進(jìn)的齊次平衡法得到一系列耦合KDV方程的精確解，Li XZ[3]提出了一個(gè)擴(kuò)展的F展開法找到了KDV方程的周期波解，Zhang DJ[4]運(yùn)用Hirota法討論出發(fā)生形變的KDV方程的N-孤立子解，Wazwaz[5]應(yīng)用擴(kuò)展的雙曲正切法獲得一些基于五階非線性KDV方程形式的新的孤波解等，這些求解方法雖然能夠求出方程的大量新解，但只能得到部分解。2004年劉提出一種求解方法—多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)法[6-7]，此法不僅簡(jiǎn)單直接，而且能夠有效地給出方程精確解的全部分類，獲得所有精確解，近些年有很多學(xué)者[8-10]應(yīng)用這個(gè)方法求出大量非線性發(fā)展方程的精確解。

多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)方法的概述：先用行波變換把非線性發(fā)展方程組化為常微分方程組，再通過(guò)變量代入將其化簡(jiǎn)成只含一個(gè)因變量的常微分方程，形式如下：

此時(shí)u是因變量，θ1，θ2，…θs是參數(shù)，將方程（1）變?yōu)榉e分形式：F（u，θ1，θ2…，θs）是一個(gè)n階的多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)不同階多項(xiàng)式的判別系統(tǒng)，通過(guò)積分法求出式（2）全部關(guān)于u的單行波解的分類。最后再根據(jù)相應(yīng)關(guān)系式求出其他因變量的單行波解。

將利用三階多項(xiàng)式的完全判別系統(tǒng)方法求解2+ 1維的非線性KDV方程組，以分類的形式求出2+1維非線性KDV方程組的所有單行波解，并且通過(guò)賦予參數(shù)具體數(shù)值，構(gòu)造出單行波解的具體結(jié)構(gòu)和波形圖。

1 方程形式的轉(zhuǎn)換

2+1維非線性KDV方程組：

首先，對(duì)方程（3）和（4）作單行波變換q=q（ξ），r=r（ξ），ξ=kx+ly+ωt，得到

再對(duì)方程（5）和（6）積分一次，得到

c1和c2為任意常數(shù)。

把式（9）代入方程（7）得到

對(duì)方程（10）再積分一次，形式如下

2 所有單行波解的分類

情況1：如果△=0，D1＜0，那么F（w）=（w-α）2（wβ），α≠β，原方程組q和r的解為

由于r的表達(dá)式可由q代入式（9）較容易求出，為了簡(jiǎn)便以下省略求r。

當(dāng)α＞β，t=0時(shí)，參數(shù)值可取k=1，l=2，ω=1，c1= -，c2=0，得到α=1，β=-1，則式（13）和式（15）相應(yīng)波形如圖1和圖2。當(dāng)α＜β，t=0時(shí)，參數(shù)值可取k=1，l=2，ω=-1，c1=-，c2=0，得到α=-1，β=1，則式（16）相應(yīng)的波形如圖3。

圖1 鐘形孤子解Fig.1Bell soliton solution

圖2 多峰孤子解Fig.2Multimodal soliton solution

圖3 周期解Fig.3Periodic solution

情況2：如果△=0，D1=0，那么F（w）=（w-α）3，原方程組q的解為

當(dāng)t=0時(shí)，參數(shù)值可取k=1，l=2，ω=3，c1=，c2= 0，得到α=1，則式（17）相應(yīng)的波形如圖4。

圖4 有理式解Fig.4Rational expression solution

情況3：如果△＞0，D1＜0，那么F（w）=（w-α）（wβ）（w-γ）。假設(shè)α＜β＜γ，當(dāng)α＜w＜β時(shí)，原方程組q的解為

情況3和4可用同樣方法畫出圖像，這里不一一描述。

3 結(jié)論

對(duì)2+1維的非線性KDV方程組應(yīng)用三階多項(xiàng)式的完全判別系統(tǒng)方法來(lái)求解，可得到方程組全部精確解的分類，其中需要大量積分運(yùn)算的數(shù)學(xué)技巧，以及借助合適的變量替換來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，并且獲得精確解的形式十分豐富，包括雙曲周期解、有理函數(shù)解、孤波解和橢圓函數(shù)解等，其中一些還是新解。最后，通過(guò)賦予具體參數(shù)值構(gòu)造出單行波解的波形圖，這有利于進(jìn)一步研究方程在物理等領(lǐng)域的應(yīng)用[11]。

目前非線性發(fā)展方程的求解方法主要是一些方法的移置或推廣，而多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)法并不是所有的方程都適用，所以對(duì)其適用范圍還有待深入研究。

［1］Korteweg D J，Devries G.On the change of form of longwaves advancing in a rectangular canal and on a new type of long sationary waves［J］.Philosophical Magazine Series，1985，39（240）：422-443.

［2］Fan E，Zhang H.New exact solutions to a system of coupled KdV equations［J］.Physics Letters A，1998，245（5）：389-392.

［3］Li XZ，Wang ML，Li XY.Applications of F-expansion to Periodic Wave Solutions for KdV Equation［J］.Chaos Sol itons and Fractals，2005，24（5）：1257-1268.

［4］Zhang D J.The N-soliton solutions for the modified KdV equation with self-consistent sources［J］.Journal of the Physical Society of Japan，2002，71（71）：2649-2656.

［5］Wazwaz A M.The extended tanh method for new solitons solutions for many forms of the fifth-order KdV equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，184（2）：1002-1014.

［6］Liu C S.Classification of All Single Travelling Wave Solutions to Calogero-Degasperis-Focas Equation［J］. CommunicationinTheoreticalPhysics，2007，48（10）：601-604.

［7］Liu C S.Solution of ODE u″+p（u）（u′）2+q（u）=0 and application Classifications of All Single Travelling wave Solutions to Some Nonlinear Mathematical Physics Equations［J］.Communication in Theoretical Physics，2008，49（2）：291-296.

［8］杜興華.Maccari’s方程組新的精確行波解［J］.數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40（13）：160-164.

［9］春玲，雙葉.協(xié)同s-凸函數(shù)的Herimite-Hadamard型積分不等式［J］.內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)，自然科學(xué)版，2013，28（6）：627-630.

［10］Dai D Y，Yuan Y P.The classification and representation of single traveling wave solutions to the generalized Fornberg-Whitham equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2014，242（8）：729-735.

［11］李欣.解非對(duì)稱線性方程組的一種方法［J］.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，15（1）：93-96.

Classifying Single Traveling Wave Solution to the（2+1）-dimensional Nonlinear KDV Equations

Dai Dongyan，Zhu Guiying，Li Yanfeng
（School of Science，Heilongjiang Bayi Agriculture University，Daqing 163319）

By the complete discrimination system for polynomials，the classification of single traveling wave solutions were given for the（2+1）-dimensional nonlinear KDV equations.The method could obtain all the exact solutions to the equations and some of them were new.Under the concrete parameters，the single traveling wave figures of solutions were constructed.

complete discrimination system for polynomials；the（2+1）-dimensional nonlinear KDV system；single traveling wave solution

O175

A

1002-2090（2017）04-0133-04

10.3969/j.issn.1002-2090.2017.04.030

2017-03-17

黑龍江省大慶市科技計(jì)劃指導(dǎo)項(xiàng)目（zd-2016-132）；黑龍江省大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目（201510223045）。

代冬巖（1980-），女，講師，東北石油大學(xué)畢業(yè)，現(xiàn)主要從事數(shù)學(xué)物理方向的研究工作。