基于市場(chǎng)價(jià)格沖擊的最優(yōu)執(zhí)行問(wèn)題研究

諸葛丹++宋斌

[摘要]文章在隨機(jī)控制理論以及動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理的框架下，用瞬時(shí)沖擊以及永久沖擊對(duì)價(jià)格沖擊過(guò)程進(jìn)行建模，然后利用隨機(jī)控制的相關(guān)理論，應(yīng)用Hamilton-Jacobi-Bellman方程以及求解常微分方程的方法，得到了最優(yōu)執(zhí)行策略的解析解。結(jié)果顯示，適當(dāng)?shù)拇尕洃土P有利于加強(qiáng)金融市場(chǎng)的穩(wěn)定性，有利于減少集中買(mǎi)賣(mài)情況的發(fā)生。但懲罰的力度不能過(guò)大，否則會(huì)起到反作用，使得投資者在期初就集中大量賣(mài)出。而終端懲罰的設(shè)定有利于投資者在交易時(shí)間內(nèi)有計(jì)劃地買(mǎi)賣(mài)股票，減少了集中買(mǎi)賣(mài)的發(fā)生。文章的研究對(duì)市場(chǎng)的機(jī)構(gòu)投資者以及監(jiān)管機(jī)構(gòu)都有著重要的理論指導(dǎo)意義。

[關(guān)鍵詞]隨機(jī)控制；HJB方程；最優(yōu)執(zhí)行策略；價(jià)格沖擊

[DOI]1013939/jcnkizgsc201723015

1引言

在傳統(tǒng)的金融理論中，我們通常假設(shè)市場(chǎng)的流動(dòng)性是無(wú)限的，任何訂單都能夠無(wú)須額外成本地立刻被執(zhí)行，然而在現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)中，機(jī)構(gòu)投資者的大額交易，往往能夠?qū)善笔袌?chǎng)產(chǎn)生巨大的沖擊，以致股票價(jià)格劇烈波動(dòng)，因此導(dǎo)致了執(zhí)行成本的產(chǎn)生，甚至執(zhí)行成本一般會(huì)很高。由此可見(jiàn)，價(jià)格沖擊是影響金融市場(chǎng)流動(dòng)性和穩(wěn)定性的重要因素，對(duì)價(jià)格沖擊成本的研究有助于筆者在指導(dǎo)交易的過(guò)程中降低交易執(zhí)行成本。在這個(gè)高頻交易的時(shí)代，無(wú)疑對(duì)機(jī)構(gòu)投資者有重要的意義，有助于投資者通過(guò)最優(yōu)化方式最大化自己的利潤(rùn)，也有利于在監(jiān)管者在高頻交易的時(shí)代制定有效的政策措施。

在金融市場(chǎng)中，價(jià)格沖擊主要是指市場(chǎng)參與者買(mǎi)賣(mài)資產(chǎn)導(dǎo)致的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)。例如，在投資者大量買(mǎi)入股票時(shí)會(huì)導(dǎo)致股票價(jià)格快速上漲。市場(chǎng)價(jià)格沖擊往往與市場(chǎng)流動(dòng)性密切相關(guān)，流動(dòng)性越差，交易導(dǎo)致的價(jià)格沖擊也就越大。我們總是假設(shè)市場(chǎng)具有無(wú)限的流動(dòng)性。然而，實(shí)際情況卻并非這么理想。當(dāng)交易量很大時(shí)，因?yàn)榱鲃?dòng)性有限，就會(huì)對(duì)市場(chǎng)價(jià)格造成明顯沖擊。由此可見(jiàn)，傳統(tǒng)的金融模型將流動(dòng)性假設(shè)為無(wú)限具有一定的局限性。由于流動(dòng)性的限制，在價(jià)格沖擊領(lǐng)域中，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始研究最優(yōu)執(zhí)行問(wèn)題，即投資者如何將大單進(jìn)行分割，才能在一定時(shí)間段內(nèi)執(zhí)行以達(dá)到價(jià)格沖擊成本最小化，從而實(shí)現(xiàn)最大收益。

2模型假設(shè)

對(duì)價(jià)格沖擊的建模過(guò)程將采用瞬時(shí)性以及永久性價(jià)格沖擊的方法。這種建模方法的好處在于將沖擊過(guò)程分解為兩部分，在一定程度上簡(jiǎn)化了優(yōu)化過(guò)程中的計(jì)算，使得建模求解過(guò)程更加簡(jiǎn)便。

首先，在研究最優(yōu)執(zhí)行問(wèn)題的過(guò)程中，我們需要對(duì)存貨過(guò)程、股票價(jià)格過(guò)程、交易價(jià)格過(guò)程以及持有現(xiàn)金流過(guò)程進(jìn)行建模。主要變量如下。

ν=（νt）{0≤t≤T}指交易速率，是投資者單位時(shí)間內(nèi)買(mǎi)賣(mài)股票的數(shù)量。

Qν=（Qtν）{0≤t≤T}指存貨，是投資者手中在特定時(shí)刻持有的股票數(shù)量。

Sν=（Stν）{0≤t≤T}指價(jià)格，是兩次交易價(jià)格的平均值，主要用來(lái)衡量?jī)r(jià)格波動(dòng)過(guò)程。

S^ν=（S^tν）{0≤t≤T}指交易價(jià)格，是投資者買(mǎi)賣(mài)股票的實(shí)際價(jià)格。

Xν=（Xtν）{0≤t≤T}指持有現(xiàn)金，主要用來(lái)描述投資者買(mǎi)賣(mài)股票而導(dǎo)致的持有現(xiàn)金流的變化過(guò)程。

根據(jù)以上定義，筆者可以這樣描述以上幾個(gè)過(guò)程。

（1）存貨過(guò)程：隨著不斷交易導(dǎo)致的持有股票數(shù)量的變化

dQtν=±νt dtQ0ν=q（1）

（2）股票價(jià)格過(guò)程：

dStν=±g（νt）dt+σdWtS0ν=S（2）

其中，W=（Wt）{0≤t≤T}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，σ為波動(dòng)率；

g：R+R+表示交易行為對(duì)中間價(jià)格的永久性價(jià)格沖擊。

（3）交易價(jià)格過(guò)程：

S^tν=Stν±f（νt）S^0ν=S^（3）

其中，f：R+R+表示交易行為對(duì)執(zhí)行價(jià)格的瞬時(shí)性價(jià)格沖擊。

（4）持有現(xiàn)金流過(guò)程：

dXtν=±S^tν νt dtX0ν=x（4）

在股權(quán)市場(chǎng)上，一只股票的基礎(chǔ)價(jià)格主要是由市場(chǎng)對(duì)公司業(yè)績(jī)以及未來(lái)發(fā)展?jié)摿Φ然久嫘畔?lái)確定的，未來(lái)的信息會(huì)直接反映到股價(jià)上，而導(dǎo)致了一個(gè)基礎(chǔ)價(jià)格的變動(dòng)。因此筆者在式（2）引入一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述這個(gè)隨機(jī)波動(dòng)部分，寫(xiě)出沒(méi)有價(jià)格沖擊影響下的股價(jià)的變動(dòng)過(guò)程。

3最優(yōu)執(zhí)行問(wèn)題

31模型描述

假設(shè)這樣一個(gè)場(chǎng)景，在初始時(shí)刻t=0時(shí)，投資者持有股票Q0ν=R，他需要在終端時(shí)刻T將這些股票出清，否則將必須在T時(shí)刻以市價(jià)單賣(mài)出其余股票，因此最終必然會(huì)擊穿訂單簿上的多檔價(jià)格，使得最終交易的平均價(jià)格比T時(shí)刻小。我們假定價(jià)格變化是連續(xù)的，α為每單位股票賣(mài)出在T時(shí)刻帶來(lái)的價(jià)格變動(dòng)，從而只能得到QTν（STv-αQTν）的收入。而且，在交易過(guò)程中始終存在著一個(gè)與持有頭寸的二次方成正比的存貨懲罰，比例系數(shù)為β。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們?nèi)匀患僭O(shè)瞬時(shí)性以及永久性價(jià)格沖擊都是線性的，分別是f（ν）=kν，k>0以及g（ν）=bν，b>0。因此，該出清策略的期望成本：

ECν=RS0-E[XTν+QTν（STv-αQTν）-β∫0T（Quν）2du]（5）

在此基礎(chǔ)上，需要求出期望成本最小化時(shí)的最優(yōu)執(zhí)行策略ν*。

首先我們可以定義對(duì)于任意一個(gè)策略v，可以得到一個(gè)價(jià)值函數(shù)有如下形式：

Hv（t，x，S，q）=Et，x，S，q[XTν+QTν（STv-αQTν）-β∫tT（Quν）2du]

因此最優(yōu)策略下的價(jià)值函數(shù)H（t，x，S，q）應(yīng)當(dāng)滿足H（t，x，S，q）=supν Hv（t，x，S，q），根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理以及隨機(jī)控制理論，由Hamilton-Jacobi-Bellman方程可得：

t H+12 σ2 ss H-βq2+

supν {（S-f（v））νx H-νq H}=0endprint

H（T，x，S，q）=x+qS-αq2（6）

解這個(gè)方程，使得（S-f（v））νx H-νq H最小，即一階導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，求得：

ν*=12k（Sx-bS-q）Hx H

將ν*代入（6）式，得到一個(gè)確定性的Hamilton-Jacobi-Bellman方程：

t H+12σ2 ss H-βq2+14k[（Sx-bS-q）H]2x H=0（7）

因?yàn)镠（T，x，S，q）=x+qS-αq2，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，我們不妨將價(jià)值函數(shù)做如下近似變換，使得求解過(guò)程中未知函數(shù)部分h的維度降低：

H（t，x，S，q）=x+qS+h（t）q2

h（T）=-α（8）

因此，將變換之后的（8）式代入ν*以及（7）式中，得到如下結(jié)果：

0=th-β+1k 12b+h（t）2（9）

ν*=-12k（bq+2h（t）q）（10）

由此我們就將求解H的偏微分方程簡(jiǎn)化為求解h（t）的常微分方程，即（9）式。在求解h（t）的過(guò)程中，我們首先假設(shè)h（t）=-12b+χ（t），相應(yīng)地，νt*=-χ（t）k Qtν*。所以（9）式可以寫(xiě)成：

t χkβ-χ2）=1k

χ（T）=12b-α

解得：

lnkβ+χ（T）kβ-χ（T）-lnkβ+χ（t）kβ-χ（t）=2βk（T-t）

即，h（t）=-12b+kβ1+ζe2βk（T-t）1-ζe2βk（T-t）

其中，ζ=α-12b+kβα-12b-kβ

又因?yàn)閐Qtν=-νt dt，所以dQtν*=χ（t）Qtν*k） dt，積分可得：

Qtν*=R×exp∫t0χ（s）k ds=

R×explnζeβk（T-t）+e-βk（T-t）ζeβkT-e-βkT=

ζeβk（T-t）+e-βk（T-t）ζeβkT-e-βkTR

νt*=βkζeβk（T-t）+e-βk（T-t）ζeβkT-e-βkTR

以上的Qtν*、ν*t即為最優(yōu)策略下的持有頭寸以及交易速率的表達(dá)式。

32數(shù)值實(shí)例

為了能夠更加清晰直觀地表現(xiàn)最優(yōu)執(zhí)行策略對(duì)各個(gè)不同參數(shù)的敏感性，我們引入以下數(shù)值算例。

（1）存貨懲罰β力度不同時(shí)，最優(yōu)執(zhí)行策略的趨勢(shì)會(huì)如何變化

由圖1（a）可以看出，當(dāng)存貨懲罰力度非常小時(shí)，交易速率的變化非常平緩，且一直維持在一個(gè)較低水平，而交際者手中持有的存貨幾乎是呈現(xiàn)線性下降的趨勢(shì)，但到交易時(shí)間結(jié)束，投資者仍然沒(méi)有完全賣(mài)出持有股票，將要集中的以市價(jià)單賣(mài)出。反之，當(dāng)存貨懲罰變得很大時(shí)，投資者都傾向于立刻賣(mài)出股票，因此交易速率在初始時(shí)刻非常大，并且急速下降，持有頭寸的變化趨勢(shì)也和交易速率一樣，顯得極為陡峭，以減少交易過(guò)程中支付的存貨懲罰，由圖1（b）可以看出，面臨存貨懲罰力度大的投資者在中間時(shí)刻已經(jīng)賣(mài)出了大部分的股票。由此我們可以看出，存貨懲罰的力度過(guò)大或者過(guò)小都是不合適的，存在一個(gè)適中的最優(yōu)的存貨懲罰系數(shù)，使得交易速率較為平緩，且滿足期末出清。

（2）持有存貨的終端懲罰α不同時(shí)，最優(yōu)執(zhí)行策略的趨勢(shì)會(huì)如何變化

根據(jù)之前對(duì)模型假設(shè)的定義，我們知道α為每單位股票在終端時(shí)刻賣(mài)出時(shí)帶來(lái)的價(jià)格變動(dòng)，我們也可將其視為持有存貨的終端懲罰。由圖2（a）和圖2（b）可以看出，隨著終端懲罰不斷加大，即α的增大，持有頭寸下降的速度越來(lái)越快，投資者傾向于在T時(shí)間段內(nèi)較為有計(jì)劃地將股票出清，而不會(huì)選擇留下一部分股票在最后以市價(jià)單賣(mài)出。

4結(jié)論與展望

本文在隨機(jī)控制理論的框架下，研究了金融市場(chǎng)的最優(yōu)執(zhí)行策略。為了避免集中性的大單交易會(huì)對(duì)市場(chǎng)價(jià)格造成過(guò)大的沖擊進(jìn)而使投資者承擔(dān)更多的執(zhí)行成本，投資者都會(huì)更加愿意將大額訂單拆分成較小規(guī)模的子單進(jìn)行下單交易。本文的策略主要通過(guò)求解HJB方程，并通過(guò)數(shù)值方法以圖像的形式直觀地展現(xiàn)，對(duì)金融市場(chǎng)以及金融機(jī)構(gòu)投資者有著重要的理論指導(dǎo)意義。

研究結(jié)果表明，適當(dāng)?shù)匾氪尕洃土P以及終端懲罰，有利于投資者在一定的交易時(shí)間內(nèi)更加有計(jì)劃地逐步交易股票，而減少了在期初或期末集中買(mǎi)賣(mài)的情況，進(jìn)一步增加了金融市場(chǎng)的穩(wěn)定性，大大減少了資本市場(chǎng)的波動(dòng)，使得股票市場(chǎng)更加平穩(wěn)健康地運(yùn)行。

隨著全球范圍內(nèi)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，大規(guī)?；鸩粩嘤楷F(xiàn)。但對(duì)于機(jī)構(gòu)投資者來(lái)說(shuō)，由于證券市場(chǎng)流動(dòng)性有限的原因，大額訂單的交易會(huì)在短時(shí)間內(nèi)帶來(lái)股票價(jià)格的劇烈波動(dòng)，從而使得他們承擔(dān)太大的執(zhí)行成本與價(jià)格沖擊。因此，研究基于價(jià)格沖擊的最優(yōu)執(zhí)行問(wèn)題有著極為重要的意義。而計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，也給我們開(kāi)發(fā)高頻交易策略帶來(lái)了可能性。

參考文獻(xiàn)：

[1] Schied A，Schneborn TRisk Aversion and the Dynamics of Optimal Liquidation Strategies in Illiquid Markets[J].Finance and Stochastics，2009，13（2）：181-204

[2] Gatheral J，Schied ADynamical Models of Market Impact and Algorithms for Order Execution[J].Social Science Electronic Publishing，2012

[3] 儲(chǔ)小俊，劉思峰在隨機(jī)非線性價(jià)格沖擊下的最優(yōu)變現(xiàn)策略研究[J].中國(guó)管理科學(xué)，2007，15（5）：137-142

[4] 胡小平，何建敏，呂宏生非線性價(jià)格沖擊函數(shù)下的最優(yōu)變現(xiàn)策略[J].控制工程，2008，15（1）：22-24endprint