高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題分析

摘 要：通過(guò)對(duì)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的分析，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練，側(cè)重多角度問(wèn)題的綜合求解，將與專業(yè)有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)競(jìng)賽；洛必達(dá)法則；極限；創(chuàng)新

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.18.235

1 高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題方法總結(jié)

為了強(qiáng)化高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我校每年將舉辦一次校內(nèi)的高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽，一方面激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情，一方面為數(shù)學(xué)建模等國(guó)家級(jí)競(jìng)賽選拔人才，賽前授課教師大力宣傳，有長(zhǎng)春工程學(xué)院理學(xué)院及教務(wù)處共同承辦，對(duì)成績(jī)優(yōu)異的同學(xué)給予獎(jiǎng)勵(lì)。作為一名高數(shù)教師，需要從數(shù)學(xué)競(jìng)賽的舉辦中了解學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)，從而很好的總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，為日常的教學(xué)工作做好準(zhǔn)備，為此，我就長(zhǎng)春工程學(xué)院近幾屆高數(shù)競(jìng)賽的試題作以分析，總結(jié)學(xué)生答題情況，對(duì)試題中存在的問(wèn)題加以指正，并對(duì)試題的改進(jìn)加以說(shuō)明。

在歷屆的高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，賽題的分布主要包含以下幾部分：極限的應(yīng)用，一元，多元微積分的求解，空間解析幾何，級(jí)數(shù)等幾部分，其中極限的求解，一元多元微積分的求解最為重要。

常用求極限的方法有：約去零因子法，對(duì)于有理式型，直接約去零因式，對(duì)于含根式型，應(yīng)先有理化，再約去零因式，含三角函數(shù)式的未定式，首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變換，常用的手法有有理化，和差化積，變量替換等。其他方法有等價(jià)無(wú)窮小代換法，導(dǎo)數(shù)定義法，洛必達(dá)法則和泰勒公式等。

（1）（2016年長(zhǎng)春工程學(xué)院高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷（一）（4），選擇題，4分）

難度分析：利用有界函數(shù)和無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小，很多同學(xué)出現(xiàn)錯(cuò)誤誤認(rèn)為是特殊極限而選擇1，在應(yīng)用特殊極限解題時(shí)要注意應(yīng)用的條件。

（2）（2016年長(zhǎng)春工程學(xué)院高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷（三）（1），計(jì)算題，7分）

難度分析：很多同學(xué)沒(méi)有掌握等價(jià)無(wú)窮小代換的條件，人為的將式子錯(cuò)誤簡(jiǎn)化了，進(jìn)而導(dǎo)致錯(cuò)誤。本題將分母通分后應(yīng)用幾次洛必達(dá)法則來(lái)求解，洛必達(dá)法則是計(jì)算函數(shù)極限的主要方法。

我們總結(jié)一下求未定式函數(shù)極限的一般方法：

考查所求極限是否為未定式，如果不是未定式，則按通常極限的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算求出極限，如果是未定式：將分子，分母乘積因子中無(wú)窮小量用等價(jià)無(wú)窮小代替。檢查函數(shù)表達(dá)式中是否有非零極限的乘積因子，如果有的話，應(yīng)將其從求極限的函數(shù)中分離出來(lái)，使極限分成二個(gè)極限乘積，其中一個(gè)有確定極限，另一個(gè)是未定式。如留下的未定式不能確定極限值，則用洛必達(dá)法則使分子，分母的無(wú)窮小階數(shù)降低，然后再求極限。即總結(jié)起來(lái)，先用等價(jià)無(wú)窮小替換，否則再用洛必達(dá)法則，直接求得答案。

（3）（2016年長(zhǎng)春工程學(xué)院高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷（二）（1），填空題，4分）

難度分析：此題是洛必達(dá)法應(yīng)用的問(wèn)題，為滿足應(yīng)用洛必達(dá)法則的條件，分子分母極限同時(shí)為零，分子分母分別求導(dǎo)再求極限求解。

微積分的計(jì)算和應(yīng)用也是考查的重點(diǎn)，其中利用定積分性質(zhì)證明不等式問(wèn)題，利用積分中值定理證明不等式，利用柯西不等式證明定積分不等式，利用介值定理，積分中值定理或微分中值定理來(lái)證明方程的根問(wèn)題。在試卷中積分上限函數(shù)與證明函數(shù)的單調(diào)性，求極限相結(jié)合的綜合題也是考查的重點(diǎn)。

（4）（2016年長(zhǎng)春工程學(xué)院高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷（四）（1），證明題，11分）

難度分析：此題是一道綜合證明問(wèn)題，將積分上限函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性結(jié)合起來(lái)，與積分上限函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題在歷屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽甚至研究生入學(xué)試卷中都有體現(xiàn)，此種類型題計(jì)算不難，但技巧性較強(qiáng)，很容易與其他相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合起來(lái)出些綜合題目。比如將積分上限函數(shù)與洛必達(dá)法則求極限聯(lián)系起來(lái)，根據(jù)洛必達(dá)法則計(jì)算出極限來(lái)，關(guān)鍵在于積分上限函數(shù)的求導(dǎo)。此外還有帶有變限積分函數(shù)的積分方程的求解，當(dāng)函數(shù)滿足帶變限積分的方程時(shí)，要解出函數(shù)，通常是對(duì)方程兩端求導(dǎo)，下限積分，從而得到關(guān)于函數(shù)的微分方程，用微分方程的解法可解出函數(shù)。還有很多與積分上限函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，變上限函數(shù)作為一個(gè)函數(shù)，具有單調(diào)性，有界性，奇偶性，凹凸性，最值問(wèn)題和零點(diǎn)問(wèn)題等，解題方法同普通函數(shù)求解這些性質(zhì)所用的方法是一樣的。

此外對(duì)于第二類曲線積分計(jì)算題目，在競(jìng)賽試卷中也有所體現(xiàn)，也是考查學(xué)生綜合性解題的一個(gè)方面。對(duì)于這類問(wèn)題，先分析其是否滿足格林公式，1）閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，2）函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。如果這兩個(gè)均滿足，若曲線取正向，則利用格林公式，若曲線取負(fù)方向，格林公式前要加負(fù)號(hào)。若曲線不是閉曲線，則可引入輔助線，使成為取正向的封閉曲線，進(jìn)而采用格林公式，然后再減去輔助曲線上的曲線積分。若曲線為閉曲線，但函數(shù)不具有一階連續(xù)性質(zhì)，則可采用“挖洞”法來(lái)利用格林公式求解。格林公式的應(yīng)用非常的廣泛，它解釋了二重積分和曲線積分的聯(lián)系。

2 對(duì)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽提出的建議

對(duì)于高等數(shù)學(xué)的競(jìng)賽試題，可以適當(dāng)?shù)募尤胍恍┡c數(shù)學(xué)建模，與各專業(yè)的學(xué)習(xí)相結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，我們倡導(dǎo)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要為專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)服務(wù)，為專業(yè)的學(xué)習(xí)保駕護(hù)航，將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用與各專業(yè)的學(xué)習(xí)中，例如在工程力學(xué)專業(yè)，可以利用微分，定積分的計(jì)算來(lái)解決圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度，利用導(dǎo)數(shù)求極值及二階導(dǎo)計(jì)算來(lái)解決剪力圖與彎矩圖問(wèn)題，利用定積分求慣性矩合力，利用二階常系數(shù)線性微分方程來(lái)求解梁的變形的計(jì)算，壓桿的臨界載荷等問(wèn)題，還可以應(yīng)用二階常系數(shù)線性微分方程來(lái)研究機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象。

通過(guò)對(duì)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的分析，一方面要加強(qiáng)學(xué)生基本知識(shí)，基本技巧的訓(xùn)練，另一方面將數(shù)學(xué)知識(shí)與各專業(yè)的學(xué)習(xí)相結(jié)合起來(lái)，使得將高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)用于實(shí)踐中去，真正做到為生產(chǎn)生活服務(wù)，使高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)真正做到實(shí)用化，趣味化，將高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和教學(xué)工作提上一個(gè)新的臺(tái)階！

參考文獻(xiàn)：

[1]張林，羅來(lái)珍.大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的教學(xué)實(shí)踐與探索[J].教育教學(xué)論壇，2016（26）.

基金項(xiàng)目：2016年長(zhǎng)春工程學(xué)院校級(jí)教學(xué)改革立項(xiàng)“數(shù)學(xué)競(jìng)賽模式下高等數(shù)學(xué)教學(xué)的改革與實(shí)踐”

2016年長(zhǎng)春工程學(xué)院校級(jí)教研立項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)競(jìng)賽模式下高等數(shù)學(xué)教學(xué)的改革與實(shí)踐”

作者簡(jiǎn)介：付向南（1983-），女，吉林長(zhǎng)春人，碩士，講師，主要研究方向：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的教學(xué)與實(shí)踐理論。endprint