J—可逆環(huán)的概念與特點研究

李東方??

摘 要 引進了J—可逆環(huán)的概念，證明了與一些其它環(huán)的關(guān)系，得出結(jié)論若R是J—可逆環(huán)，e∈E（R），則eRe是J—可逆環(huán)，環(huán)的J—可逆性不是Morita不變性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：可逆環(huán)；Jacabson根；J—可逆環(huán)

中圖分類號：TB 文獻標識碼：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.21.111

1 引言

交換理論是代數(shù)學的重要分支，其理論和方法在代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論等數(shù)學分支有著重要的應用，為了將交換環(huán)的性質(zhì)推廣到非交換環(huán)上，代數(shù)工作者對交換性進行推廣。文[1]定義了可逆環(huán)，R稱為可逆環(huán)，如果任意ab=0蘊含ba=0，顯然，對稱環(huán)是可逆環(huán)，文[2]定義了弱可逆環(huán)，R稱為弱可逆的，如果任意a，b，r∈R蘊含Rbra（等價地，braR）是R的詣零理想.為了更好的研究環(huán)的交換性，本文引進了J—可逆環(huán)，如果對任意a，b∈R， ab=0蘊含bRaJ（R）； R稱為中心可逆環(huán)，如果任意的ab∈R，ab=0，蘊含bRa∈Z（R）。

2 基本性質(zhì)

設R是環(huán)，J（R）表示R的Jacabson根，Z（R）表示R的中心，N（R）表示R的冪零元的集合，R稱為中心對稱的，如果任意a，b，c∈R，abc=0蘊含bac∈Z（R）， R稱為弱對稱的，如果任意a，b，c∈R，ab=0蘊含bac∈N（R）。

定義1環(huán)R稱為J—可逆環(huán)，如果對任意a，b∈R，ab=0蘊含bRaJ（R）； R稱為中心可逆環(huán)，如果任意的ab∈R，ab=0，蘊含bRa∈Z（R）。

命題1

（1）對稱環(huán)和可逆環(huán)是J—可逆的。

（2） R是可逆環(huán)當且僅當它是1一可逆環(huán)。

（3）弱對稱環(huán)是J—可逆的。

（4）中心可逆環(huán)是J—可逆的。

證明：（1）與（2）是顯然的，下證（3）與（4）成立。

（3）假設R是弱對稱環(huán)，a，b∈R，滿足ab=0，則任意r，t∈R有rabt=0，因為R是弱對稱的，于是brat∈N（R），從而braR∈N（R），這說明。braR是R的詣零右理想，故bra∈J（R），由r的任意性知bRaJ（R），R是J—可逆環(huán)。

（4）假設R是中心可逆環(huán)，a，b∈R滿足ab=0.則任意r∈R，bra∈Z（R）。

因為（bra）2=0， braR是R的冪零理想，所以bra∈J（R），R是J—可逆環(huán)。

命題2

（1） R是J—可逆環(huán)，當且僅當對任意a，b∈R，ab=0蘊含ba∈J（R）。

（2）局部環(huán)是J—可逆環(huán)。

（3）如果R/J是可逆環(huán)，則R是J—可逆環(huán)。

證明：（1）僅證充分性.假設a，b∈R，滿足ab=0，于是任意r∈R有rab=0.據(jù)條件得bra∈J（R），因r是任意的，從而bRaJ（R）。

（2）

設R是局部環(huán)，則J（R）是由R的所有不可逆元組成的。任意a，b∈R，滿足ab=0，則（ba）2=0，如果ba=0，則ba∈J（R）；如果ba≠0，則ba不是可逆元，從而ba∈J（R），所以，據(jù)（1）知R是J—可逆的。

（3）令=x+J（R），設a，b∈R，滿足ab=0，則=0，R/J（R）是可逆環(huán)，從而=0，ba∈J（R），據(jù)（1）知R是J—可逆環(huán)。

環(huán)R稱為擬正規(guī)的，如果任意e∈E（R）；eR（1-e）Re=0（這等價于（eae）（ebe）=eabe，a，b∈R）；R稱為弱擬正規(guī)的，如果任意e∈E（R）， eR（1-eR）ReJ（R）。

引理1 設R是J—可逆環(huán)，Maxl（R）表示R極大左理想的集合。

（1） R是弱擬正規(guī)環(huán)，即任意e∈E（R），eR（1-e）ReJ（R）。

（2）設e∈E（R），若ReR=R，則e=1。

（3）任意e∈E（R）， M∈Maxl（R），有e∈M或1-e∈M。

證明：（1）設e∈E（R），因為（1-e）e=0，R是CJ—可逆環(huán)，故eR（1-e）J（R），從而

eR（1-e）ReJ（R）。

（2）設e∈E（R）滿足ReR=R則（1-e）R（1-e）=（1-e）ReR（1-e）據(jù)（1）知1-e∈J（R），由于J（R）不含非零的冪等元，從而e=1。

（3）對于e∈E（R）， Maxl（R），若eM.因為M是極大左理想，從而R=M+Re，從而（1-e）R=（1-e）M+（1-e）Re，而R是J—可逆環(huán)，（1-e）Re∈J（R）M，故1-e∈（1-e）RM。

設R為環(huán)，e∈E（R），稱e為極小左冪等元，如果Re是極小左理想。R稱

為極小左Abel環(huán)，如果任意的極小左冪等元e，有（1-e）Re=0；R稱為直有限環(huán)，如果任意a，b∈R，ab=1，蘊含ba=1，

定理1 設R是J—可逆環(huán)，則

（1）任意e∈E（R），a∈R，有Ra+R（ae-1）=R。

（2）任意M∈Maxl（R），有M=∪e∈E（R）Me。

（3）R是極小左Abel環(huán)。

（4）R是直有限環(huán)。

證明：

（1）假設Ra+R（ae-1）≠R，則有R的極大左理想M使得Ra+R（ae-1）M。若e∈M，則ae∈M，從而1∈M這與M的極大性矛盾，所以eM。據(jù)引理1（3）知1-e∈M，從而a-ae=a（1-e）∈M。因為a∈M，故ae∈M，注意到ae-1∈M，于是1∈M，這又與M的極大性矛盾，所以，Ra+R（ae-1）=R。

（2）設M∈Maxl（R），e∈E（R），若MeM，則M+Me=R.令m1+m2e=1，其中m1，m2∈M，據(jù)（1）知Rm2+R（m2e-1）=R，從而R=Rm2+Rm1M，這與M的極大性矛盾，故MeM，從而M=∪e∈E（R）Me。endprint

（3）設e∈E（R）且Re為R的極小左理想，假設（1-e）Re≠0，則R（1-e）Re為含于R的非零左理想，從而R（1-e）Re=Re。由于R是J—可逆的，（1-e）ReJ（R），從而，e∈J（R），e=0，這與（1-e）Re≠0矛盾。所以，（1-e）Re=0， R為極小Abel環(huán)。

（4）設x，y∈R，滿足xy=1，令e=yx則e∈E（R）。因為ReR=RyxR=RR=R，根據(jù)引理1知e=1。所以，R是直有限環(huán)。

3 主要結(jié)果

推論1 設R是J—可逆環(huán)，則

（1）任意a∈R，e，f∈E（R）滿足a+e=aef，有aR=eR。

（2）任意a，k∈R使Rk為R的極小左理想，有Rk+R（ka-1）=R。

證明：（1）設a∈R，e，f∈E（R），滿足a+e=aef則e=a（ef-1），據(jù)定理1（1）知R=Re+R（ef-1）=Ra（ef-1）+R（ef-1）從而R（ef-1）=R，據(jù)定理1（2）知ef-1為R的可逆元，從而eR=a（ef-1）R=aR。

（2）設Rk+R（ka-1）≠R，則ka≠0，且存在R的極大左理想M，使Rk+R（ka-1）M，因為Rka為Rk的非零同態(tài)像，故Rka為極小左理想。如果M是本質(zhì)左理想，則RkaM，從而1∈M，這與M的極大性矛盾，故M不是本質(zhì)的。于是，存在R的非零左理想L使M∩L=0，因為M是極大左理想，從而有R=M⊕L，所以，存在e∈E（R）使M=R（1-e），L=Re，因Re為極小左理想，據(jù)定理1（3）知（1-e）Re=0，于是MR=R（1-e）[R（1-e）+Re]=R（1-e）R（1-e）R（1-e）=M。這表明M為R的理想，由于k∈M，所以ka∈M，從而1∈M，這又與M之極大性矛盾。所以Rk+R（ka-1）=R。

命題2 設R是J—可逆環(huán)，e∈E（R），則eRe是J—可逆環(huán)。

證明：設a，b∈eRe，ab=0.因為R是J—可逆環(huán)，bRa∈J（R），任意r∈eRe，bra∈J（R），從而bra=ebrae∈eJ（R）e，但eJ（R）e=J（eRe），故beReaJ（eRe），則表明eRe是J—可逆環(huán)。

例：J—可逆環(huán)上的n階方陣環(huán)未必是J—可逆環(huán).設D為除環(huán)，R={abcda，b，c，d∈D}則R不是J—可逆環(huán)。

事實上，假設R是J—可逆的，因為J（R）=0，則R是可逆的。

令A=0101，B=1010，易驗AB=0，BA≠0所以R不是可逆環(huán)。

例2表明環(huán)的J—可逆性不是Morita不變性質(zhì)。

參考文獻

[1]Cohn，P.M.，Reversible rings[J]. Bull Landon Math Soc，1999：641648.

[2]Zhang，L.，Yang，G.，On weakly reversible rings[J].Acta Math.Univ.Comenianae，2007：189192.

[3]Wei，J.C.，Li，L.R.，Quasi-normal rings[J].Comm.in Algebra，2010.endprint