由一道古題引發(fā)的新思考

賈蓓蓓

數(shù)學(xué)是思維的體操，初中數(shù)學(xué)教學(xué)，就要引領(lǐng)學(xué)生在思維領(lǐng)域里學(xué)習(xí)、磨練、提升。在數(shù)學(xué)學(xué)科課堂教學(xué)中，有一道古老而又有趣的題目在我心中留下很深的印象，帶給我許多思考與感悟。

我國(guó)古代許多數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（圖一）就是一例。楊輝，字謙光，南宋時(shí)期杭州人，在他所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，輯錄了一個(gè)如下圖所示的三角形數(shù)表，稱之為“開方法本源圖”。經(jīng)過觀察研究發(fā)現(xiàn)，兩腰上的數(shù)都是1的前提下，楊輝三角有許多重要的特點(diǎn)。例如每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和等等。

如圖二，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)楊輝三角給出了給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律.例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）2=a2+2ab+b2展開式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中的系數(shù).

（1）通過觀察，請(qǐng)你寫楚楊輝三角具有的任意兩個(gè)特點(diǎn)（閱讀材料中的特點(diǎn)除外）

（2）計(jì)算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1

（3）請(qǐng)你直接寫出（a+b）5的展開式。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方公式，學(xué)生的觀察分析邏輯推理能力，讀懂題意并根據(jù)所給的式子尋找規(guī)律，是快速解題的關(guān)鍵。

學(xué)生的做題結(jié)果：對(duì)于班級(jí)中前10名左右的同學(xué)解答基本沒有問題，而對(duì)于多數(shù)的同學(xué)（1）問還可以，后面的就不知道如何下手。但是老師講解后，好多學(xué)生說很簡(jiǎn)單啊。從中可以反映出學(xué)生的觀察分析能力在前面的學(xué)習(xí)中并沒有很好的培養(yǎng)起來，他們只會(huì)跟著老師的節(jié)奏，按照老師設(shè)計(jì)的思路去解決問題，沒有自己的想法。

那么，如何在平時(shí)的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力？我有三點(diǎn)思考：

第一、數(shù)學(xué)教師要重視數(shù)學(xué)文化的傳播

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》教材編寫建議指出：“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)該滲透在整套教材中?！崩缭跀?shù)學(xué)教材中有華羅庚、我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，以及“賈憲三角”“古建筑中的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形——從敦煌洞窟到歐洲教堂”等等。這些材料能幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類發(fā)展中重要作用，還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，欣賞數(shù)學(xué)的美。

而在以前在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我對(duì)于數(shù)學(xué)文化部分不夠重視，常常一筆帶過，導(dǎo)致學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)文化知識(shí)時(shí)十分棘手，感覺這些題目深?yuàn)W難懂，無從下手。這就啟示我們，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，充分引導(dǎo)學(xué)生感受古人智慧、繼承優(yōu)秀文化、陶冶自身心靈，以發(fā)揮數(shù)學(xué)課程的育人功能。教師要引導(dǎo)學(xué)生通過查閱資料、閱讀中外數(shù)學(xué)名著和數(shù)學(xué)家的故事、關(guān)注數(shù)學(xué)的發(fā)展等途徑，從歷史、現(xiàn)實(shí)、發(fā)展等多方面了解數(shù)學(xué)文化，讓數(shù)學(xué)課堂承載繼承與傳播數(shù)學(xué)文化的的大課堂，從而熱愛數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

第二、數(shù)學(xué)教師要重視數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建

在這道題目中，呈現(xiàn)的不僅是簡(jiǎn)單的數(shù)字，而是由圖形、數(shù)字到包含規(guī)律的綜合表達(dá)。對(duì)于第一問只要學(xué)生認(rèn)真觀察圖一就可以看到：首先是形狀來說幾何中的三角形，這時(shí)從三角形的角度出發(fā)，就可以找到它的特點(diǎn)；其次從代數(shù)的角度觀察數(shù)之間的關(guān)系，也可以很清楚的看到它的特點(diǎn)。而對(duì)于二、三問來說：（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各項(xiàng)展開式的系數(shù)除首尾兩項(xiàng)都是1外，其余各項(xiàng)系數(shù)都等于（a+b）n-1的相鄰兩個(gè)系數(shù)的和，由此可得（a+b）4的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、4、6、4、1；因此（a+b）5的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、5、10、10、5、1.還要特別注意兩個(gè)圖之間的聯(lián)系。

這就啟發(fā)我們，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，更是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建立；不僅是計(jì)算的演練，更是數(shù)學(xué)知識(shí)普遍聯(lián)系的運(yùn)用。

首先，要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)科內(nèi)部的知識(shí)聯(lián)系通融性。“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“課題學(xué)習(xí)”幾大領(lǐng)域不是割裂的條塊。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生知道知識(shí)是有可能以交織在一起的形式出現(xiàn)，如數(shù)形結(jié)合、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)建模等。隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的不斷增多，可在學(xué)生頭腦中形成完整的認(rèn)識(shí)體系與合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，也利于發(fā)展學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力。

其次，要關(guān)注新舊知識(shí)之間的聯(lián)系通融性。比如，逆向思維教學(xué)法就是聯(lián)系新舊知識(shí)的最有效的教學(xué)方法，對(duì)于幫助學(xué)生溝通知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的作用是非常顯著的。例如在教學(xué)切線長(zhǎng)定理時(shí)，就可以利用課本中切線長(zhǎng)定理推導(dǎo)的例圖，引導(dǎo)學(xué)生找出圖中所有的全等三角形，所有的相似三角形，所有的等腰三角形以及所有的垂直關(guān)系。這樣一面可以使學(xué)生深化切線長(zhǎng)定理，一面又可以讓學(xué)生與已學(xué)知識(shí)構(gòu)成聯(lián)系，形成知識(shí)鏈條。這種教學(xué)不僅能讓學(xué)生迅速理解消化剛接受的知識(shí)，更能有利于學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，真正理解和剖析知識(shí)與知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成細(xì)密的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

第三、教師要重視培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師設(shè)置問題，學(xué)生處于被動(dòng)應(yīng)答的地位。在教師指令性的提問中，學(xué)生按照老師設(shè)計(jì)好的路線，一步一步到達(dá)終點(diǎn)；如果在此過程中，學(xué)生有絲毫的偏差，老師會(huì)很快地把學(xué)生拉回到老師設(shè)計(jì)的既定軌道中，學(xué)生難以有充分展示自我的機(jī)會(huì)。然而，隨著課改的跟進(jìn)，考試中許多的新題型的出現(xiàn)，需要的是學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體去發(fā)現(xiàn)和解決問題，從而要求教師對(duì)傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式做出改變和突破。新的課堂設(shè)計(jì)應(yīng)該更好解放學(xué)生思維，給學(xué)生充分展示個(gè)性和主動(dòng)性的機(jī)會(huì)。所以，教師要轉(zhuǎn)變觀念，由重視教師“教”的角色，向重視學(xué)生“學(xué)”的角色轉(zhuǎn)變。由原來教師設(shè)計(jì)教學(xué)過程向?qū)W生參與課堂設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)變，由原來教師講學(xué)生聽向?qū)W生小組合作探究攻克疑難轉(zhuǎn)變。如：我們?cè)谥v解《平方差公式》的過程中，會(huì)有檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)于公式的特點(diǎn)的掌握情況，在此處可以讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)題型，教師提出假設(shè)性的問題：“如果你是一名老師，如何設(shè)計(jì)一個(gè)題來檢驗(yàn)同學(xué)們是否掌握平方差公式。”在學(xué)生出題的的過程中，既可以讓讓學(xué)生熟練的掌握公式，又可以引導(dǎo)學(xué)生自己感悟公式的特征，學(xué)會(huì)熟練應(yīng)用公式，給學(xué)生主動(dòng)思考的空間，數(shù)學(xué)思維得到發(fā)展，有利于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想去分析問題和解決問題。

由一道古老的數(shù)學(xué)問題，激起了我對(duì)自己數(shù)學(xué)教學(xué)的諸多反思和感悟。我想，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅是讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，更是要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決各種生活問題的能力。這是素質(zhì)教育的重要內(nèi)容，也是時(shí)代對(duì)我們的數(shù)學(xué)教師提出的要求。在課程改革的過程中，我們每一位老師要以課程標(biāo)準(zhǔn)為導(dǎo)航，把解決問題與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的發(fā)展融為一個(gè)過程，讓學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)解決問題能力與知識(shí)、技能的同步發(fā)展。師生要攜手，一起去探究數(shù)學(xué)之奧秘，去體驗(yàn)數(shù)學(xué)的博大精深之美。（作者單位：山西省臨汾市解放路學(xué)校041000）endprint