基于滑移線場(chǎng)理論的臨坡地基承載力簡(jiǎn)化分析方法*

胡衛(wèi)東，曹文貴

(1.湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2.湖南理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，湖南 岳陽(yáng) 414000)

基于滑移線場(chǎng)理論的臨坡地基承載力簡(jiǎn)化分析方法*

胡衛(wèi)東1, 2?，曹文貴1

(1.湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2.湖南理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，湖南 岳陽(yáng) 414000)

在現(xiàn)有相關(guān)研究基礎(chǔ)上，探討了無(wú)重土平地基Hill破壞模型及其承載力滑移線解和斜坡地基Hill破壞模型及其承載力滑移線解，提出臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞模式應(yīng)是介于平地基破壞模式和斜坡地基破壞模式兩種臨界狀態(tài)之間的一種連續(xù)變化模式，在相同邊界條件下，改變坡頂距的臨坡地基極限承載力滑移線解答則是介于這兩種地基狀態(tài)間的一個(gè)連續(xù)函數(shù)解，并據(jù)此構(gòu)建出臨坡條形基礎(chǔ)無(wú)重土地基的雙側(cè)不對(duì)稱Hill滑動(dòng)破壞模式.在此研究基礎(chǔ)上，通過(guò)引入寬度比系數(shù)將基底分為兩個(gè)均布受壓區(qū)，采用“等代自由面”簡(jiǎn)化邊坡面上滑塊的應(yīng)力影響作用，使臨坡一側(cè)受壓區(qū)極限壓力可直接用已有斜坡地基滑移線解表示.通過(guò)分析寬度比系數(shù)、坡頂距和破壞模式之間的關(guān)系，設(shè)定了寬度比系數(shù)函數(shù)，建立出基于滑移線場(chǎng)理論的臨坡地基極限承載力確定方法.通過(guò)與現(xiàn)有研究成果的對(duì)比分析，表明了本文研究方法的可行性與合理性.

臨坡地基；條形基礎(chǔ)；承載力；滑移線；Hill破壞模式

隨著臨坡地基廣泛應(yīng)用在各類(lèi)巖土工程結(jié)構(gòu)中，臨坡地基承載力研究已成為這一領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).近年來(lái)，不少學(xué)者采用極限平衡法、滑移線法、極限分析法及數(shù)值分析法[1-8]等方法對(duì)臨坡地基破壞模式和承載能力進(jìn)行深入研究，使得臨坡地基承載力理論研究取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步.

理論研究表明，基礎(chǔ)距坡頂距離、坡角、土體力學(xué)性質(zhì)、基礎(chǔ)型式、基礎(chǔ)寬度及基礎(chǔ)埋深等因素對(duì)臨坡地基破壞模式和承載能力都有著一定影響，特別是基礎(chǔ)距坡頂距離的不同，將顯著影響和改變臨坡地基的破壞模式，使水平地基、臨坡地基、斜坡地基在破壞模式和承載力分析方法上存在明顯區(qū)別，其承載能力自然也有較大差異.基礎(chǔ)距坡頂距離這一關(guān)鍵因素如何影響臨坡地基破壞模式和承載能力正是本文研究的重點(diǎn)內(nèi)容.

考慮基礎(chǔ)距坡頂距離的不同，現(xiàn)有臨坡地基承載力研究普遍采用單側(cè)滑動(dòng)和雙側(cè)滑動(dòng)兩種破壞模式.已有的采用單側(cè)滑動(dòng)破壞的研究成果：如Mizuno[9]等將基底下土體分為3個(gè)破壞區(qū)域，利用極限靜力平衡法進(jìn)行分析研究；Kusakabe等[10]根據(jù)極限分析上限法求解坡頂作用垂直荷載的地基承載力；Castelli等[11]建立了圓弧狀滑動(dòng)破壞面，利用極限平衡方法求解靜力和動(dòng)力荷載下的地基極限承載力；楊峰等[12]、趙煉恒等[13]基于極限分析理論有效考慮了單側(cè)多滑塊組合破壞機(jī)構(gòu)的滑塊速度和變形協(xié)調(diào)相容問(wèn)題.在基礎(chǔ)距坡頂距離不為零時(shí)，采用單側(cè)滑動(dòng)破壞模式的計(jì)算方法往往偏于安全和保守，但單側(cè)滑動(dòng)破壞模式無(wú)法準(zhǔn)確反映不同臨坡距離情況下地基的變形機(jī)制和破壞形態(tài)，也難以正確反映由于坡頂距離不同而導(dǎo)致的破壞模式的變化和不對(duì)稱性.另外一種采用雙側(cè)非對(duì)稱破壞模式進(jìn)行臨坡地基承載能力分析研究：如Swami等[1]提出用土體抗剪強(qiáng)度系數(shù)來(lái)分析坡后土體的受力情況，并利用極限平衡分析方法和極限分析上限法進(jìn)行臨坡地基承載力的比較，但對(duì)于基礎(chǔ)距坡頂距離如何影響臨坡地基破壞模式和地基承載力并沒(méi)有進(jìn)行深入分析；Graham等[14]基于滑移線場(chǎng)理論建立了臨近無(wú)黏性土坡地基的非對(duì)稱雙側(cè)破壞模式，并提出隨著坡頂距離變化破壞模型尺寸和基底楔體尺寸呈線性變化，提出了相應(yīng)的幾何破壞模式確定方法，但其方法未能適用黏性土地基；胡衛(wèi)東等[15]基于剛體極限平衡理論建立了雙側(cè)非對(duì)稱模式下臨坡地基極限承載力確定方法，通過(guò)對(duì)多個(gè)角度變量進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算來(lái)反映坡頂距離不同時(shí)破壞模型的變化，但仍未能準(zhǔn)確表達(dá)基礎(chǔ)距坡頂距離的影響作用.基于以上分析可知，采用雙側(cè)非對(duì)稱破壞模式更有利于反映基礎(chǔ)距坡頂距離對(duì)臨坡地基破壞模式的影響，但現(xiàn)有研究建立基礎(chǔ)距坡頂距離與臨坡地基破壞模式及承載力間的準(zhǔn)確關(guān)系仍存在很大不足，有待進(jìn)一步深入研究.

綜合上面所述，本文將從臨坡條形基礎(chǔ)地基非對(duì)稱破壞模式研究入手，分析探討無(wú)重土平地基Hill破壞模型及其承載力滑移線解和斜坡地基Hill破壞模型及其承載力滑移線解，利用已有研究承載力滑移線解的成果，建立考慮基礎(chǔ)距坡頂距離影響和非對(duì)稱性特點(diǎn)的臨坡地基合理破壞模式，基于滑移線場(chǎng)理論建立臨坡地基承載力簡(jiǎn)化分析模型與方法，以期完善臨坡地基承載力分析的理論與方法.

1 臨坡地基破壞機(jī)理與破壞模式

利用滑移線解法可以求得松散介質(zhì)極限平衡狀態(tài)的應(yīng)力場(chǎng)、變形速度場(chǎng)及相應(yīng)極限荷載，是一種建立在嚴(yán)格極限平衡理論基礎(chǔ)上的精確解法，但是只有在很簡(jiǎn)單的情況下能獲得精確解答，一般情況需采用數(shù)值方法得到近似解[16].為了避免繁雜的數(shù)值計(jì)算,建立基于滑移線場(chǎng)理論臨坡地基極限承載力分析方法，利用已有研究地基極限承載力滑移線精確解答是一種很好的途徑，考慮到地基極限承載力的滑移線精確解通常都應(yīng)用于無(wú)重土地基上，本文首先考慮無(wú)重土地基進(jìn)行深入研究，提出一種新的臨坡地基極限承載力簡(jiǎn)化分析方法.為此，先作如下基本假定：

1)地基材料為無(wú)重的理想剛塑性體，地基發(fā)生剪切破壞形成連續(xù)滑動(dòng)面；

2)臨坡條形基礎(chǔ)地基承載力問(wèn)題可視為平面問(wèn)題；

3)滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)土體在達(dá)到塑性極限平衡狀態(tài)時(shí)服從Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則；

4)基礎(chǔ)表面光滑，即基底摩擦力為零.

1.1 平地基Hill破壞機(jī)制及其承載力滑移線解

平地基光滑條形基礎(chǔ)Hill機(jī)構(gòu)為對(duì)稱破壞機(jī)構(gòu)，可以看作臨坡地基當(dāng)中條形基礎(chǔ)距坡頂距離較大時(shí)，地基變形和破壞不受坡頂距離影響的一種臨界狀態(tài)破壞模式，如圖1所示.基底剛性三角形楔體具有相同底角α1=π/4+φ/2，對(duì)數(shù)螺線區(qū)的中心角θ0相同，均為π/2，被動(dòng)區(qū)剛性楔體有相同底角α2=π/4-φ/2.

圖1 平地基條形基礎(chǔ)地基Hill破壞模式Fig.1 The failure mechanism for strip footing

Hill破壞機(jī)構(gòu)其對(duì)應(yīng)滑移線場(chǎng)、速度場(chǎng)如圖2所示，圖左半部分為Hill對(duì)稱破壞機(jī)構(gòu)的滑移線場(chǎng)，其中Ⅳ區(qū)和Ⅵ區(qū)為均勻應(yīng)力場(chǎng)，介質(zhì)內(nèi)滑移線場(chǎng)是兩簇直線，Ⅴ區(qū)為簡(jiǎn)單應(yīng)力場(chǎng)，其α滑移線為直線，β滑移線為對(duì)數(shù)螺線；右半部分表示其相應(yīng)容許速度場(chǎng).

圖2 平地基Hill機(jī)構(gòu)滑移線場(chǎng)與速度場(chǎng)Fig.2 Corresponding slip-line field and velocity field for the Hill failure mechanism

根據(jù)已有研究成果，平地基無(wú)重土條形基礎(chǔ)Hill破壞機(jī)構(gòu)的滑移線解與極限分析上限解一致[17].其平地基無(wú)重土的極限承載力滑移線解也一直被認(rèn)為是嚴(yán)格解，表示為：

ccotφ=qNq0+cNc0

(1)

式中：φ為地基土內(nèi)摩擦角；c為地基土黏聚力；q為條形基礎(chǔ)兩側(cè)埋深內(nèi)土的影響作用，其大小可表示為：

q=γD

(2)

其中：γ為土體重度；D為基礎(chǔ)埋深.Nq0，Nc0為平地基承載力影響系數(shù)，可表示為：

(3)

Nc0=(Nq0-1)cotφ

(4)

地基影響破壞區(qū)域?yàn)闂l形基礎(chǔ)兩側(cè)L0范圍.L0的大小可表示為：

(5)

1.2 斜坡地基Hill破壞機(jī)制及其承載力滑移線解

基礎(chǔ)作用在坡頂邊緣，距坡頂距離為0的臨坡地基，即斜坡地基，可以看作臨坡地基當(dāng)中受距離影響和承載力減損最大的又一種臨界狀態(tài)破壞模式，條形基礎(chǔ)地基在豎直均布荷載作用下斜向下運(yùn)動(dòng)，臨坡地基破壞模式蛻化為斜坡地基單側(cè)滑動(dòng)Hill破壞模式，如圖3所示.基礎(chǔ)埋深內(nèi)的影響可以考慮為斜坡上作用的均布垂直荷載q，基礎(chǔ)以下滑動(dòng)破壞區(qū)域可劃分為主動(dòng)區(qū)Ⅰ，過(guò)渡區(qū)Ⅱ和被動(dòng)區(qū)Ⅲ，其中α1=π/4+φ/2，μ=π/4-φ/2，θ1=π/2-η.

圖3 斜坡地基(邊坡距為0)破壞模式Fig.3 The failure mechanism for strip footing near slope

條形基礎(chǔ)斜坡地基的滑移線場(chǎng)及相應(yīng)容許速度場(chǎng)如圖4所示.圖4(a)中Ⅰ區(qū)和Ⅲ區(qū)為均勻應(yīng)力場(chǎng)，其α及β滑移線均為直線；Ⅱ區(qū)為簡(jiǎn)單應(yīng)力場(chǎng)，其α滑移線為直線，β滑移線為對(duì)數(shù)螺線.

圖4 斜坡地基(邊坡距為0)滑移線場(chǎng)與速度場(chǎng)Fig.4 Corresponding slip-line field and velocity field for the failure mechanism

根據(jù)已有研究，條形基礎(chǔ)無(wú)重土斜坡地基相應(yīng)極限承載力滑移線解與極限分析上限解相同[18]，其極限承載力滑移線解為嚴(yán)格解，表示為：

(6)

式中：η為斜坡坡角；Nq2，Nc2為斜坡地基承載力影響系數(shù)，可分別表示為：

(7)

Nc2=(Nq2-1)cotφ

(8)

1.3 臨坡地基的Hill破壞模式

前面已探討了無(wú)重土條形基礎(chǔ)平地基和斜坡地基Hill機(jī)構(gòu)的破壞模式及其極限承載力滑移線解，這兩種地基的破壞模式為臨坡地基的兩種臨界狀態(tài)破壞模式.當(dāng)坡角η一定，基礎(chǔ)距坡頂距離為0時(shí)，臨坡地基破壞模式蛻化為斜坡地基破壞模式，即單側(cè)滑動(dòng)破壞模式；坡角η保持不變,當(dāng)基礎(chǔ)距坡頂距離大于L0時(shí)，臨坡地基破壞模式蛻化為平地基破壞模式，即雙側(cè)對(duì)稱破壞模式.于是，在相同坡角情況下，基礎(chǔ)距坡頂距離∈(0,L0)之間的臨坡地基破壞模式應(yīng)是介于平地基和斜坡地基兩種臨界狀態(tài)破壞模式之間的一種連續(xù)變化狀態(tài)，即雙側(cè)非對(duì)稱破壞模式.因此，對(duì)于新構(gòu)建的臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞模式，須同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：①基礎(chǔ)距坡頂距離變化時(shí)破壞模式是可以連續(xù)變化的；②基礎(chǔ)距坡頂距離為0或者大于L0時(shí)，破壞模式能蛻化為斜坡地基或平地基破壞模式.

根據(jù)松散介質(zhì)滑移線場(chǎng)理論構(gòu)建臨坡條形基礎(chǔ)地基Hill破壞機(jī)構(gòu)[19]，將破壞機(jī)構(gòu)劃分為7個(gè)滑塊或分區(qū)，如圖5所示，具體分析情況如下：

1)受邊坡存在的影響，臨坡條形基礎(chǔ)地基Hill破壞機(jī)構(gòu)為雙側(cè)非對(duì)稱破壞模式，地基土向兩側(cè)均發(fā)生剪切滑動(dòng)破壞，整個(gè)滑動(dòng)破壞區(qū)域大小及形狀呈現(xiàn)明顯不對(duì)稱性.

2)臨近邊坡一側(cè)滑動(dòng)破壞區(qū)域可劃分為主動(dòng)區(qū)Ⅰ、塑性剪切區(qū)Ⅱ、被動(dòng)區(qū)Ⅲ和松動(dòng)區(qū)Ⅳ.隨著基礎(chǔ)至坡頂距離L1由L0不斷減小至0，三角形滑塊Ⅰ兩個(gè)底角α1=π/4+φ/2不變，基底長(zhǎng)度b1由b/2不斷增大至b，破壞區(qū)域的大小也相應(yīng)增大；對(duì)數(shù)螺線區(qū)滑塊Ⅱ，中心角θr≤π/2；滑塊Ⅲ的兩個(gè)三角形底角μ=π/4-φ/2；滑塊Ⅳ隨著坡頂距不斷減小，開(kāi)始出現(xiàn)并不斷增大至最后消失，β角自0°不斷增大至η.根據(jù)滑移線場(chǎng)理論可知，作用均布?jí)毫的BF和EF邊界及作用均布極限壓力Qur的GB基底面均會(huì)形成不同的兩簇直線滑移線，滑塊Ⅲ與Ⅳ組成的BDEF區(qū)域和滑塊Ⅰ所在GBC區(qū)域?yàn)榫鶆驊?yīng)力場(chǎng)；夾在兩個(gè)均勻應(yīng)力場(chǎng)中間的滑塊Ⅱ則形成簡(jiǎn)單應(yīng)力場(chǎng)，其中α應(yīng)力滑移線為直線并相交于中心點(diǎn)B點(diǎn)，β應(yīng)力滑移線為對(duì)數(shù)螺線.

圖5 臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞模式Fig.5 The failure mechanism for strip footing near slope

3)條形基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)地基滑動(dòng)破壞區(qū)域與平地基Hill機(jī)構(gòu)左半部分破壞模型一致，可劃分為主動(dòng)區(qū)Ⅴ、塑性剪切區(qū)Ⅵ、被動(dòng)區(qū)Ⅶ.隨著坡頂距L1由L0不斷減小至0，三角形滑塊Ⅴ基底長(zhǎng)度b2由b/2不斷減小至0，破壞區(qū)域的大小也相應(yīng)減小.同樣，根據(jù)滑移線場(chǎng)理論，作用均布?jí)毫的邊界AJ和作用均布極限壓力Qul的基底面GA均會(huì)形成不同的兩簇直線滑移線，即滑塊Ⅴ和滑塊Ⅶ內(nèi)為均勻應(yīng)力場(chǎng)，夾在兩個(gè)均勻應(yīng)力場(chǎng)中間的滑塊Ⅵ則形成簡(jiǎn)單應(yīng)力場(chǎng).

基礎(chǔ)外側(cè)邊緣至坡頂距離L1可以用距離比系數(shù)a來(lái)表示，設(shè)條形基礎(chǔ)寬度為b，則有L1=ab.當(dāng)坡角η一定，a=0時(shí)，破壞模式蛻化為斜坡地基破壞模式；當(dāng)坡角η一定，a=L0/b時(shí)，破壞模式蛻化為平地基破壞模式.

上述多滑塊破壞模式即構(gòu)成臨坡條形基礎(chǔ)地基雙側(cè)非對(duì)稱Hill機(jī)構(gòu)破壞模式，是介于兩種臨界狀態(tài)間連續(xù)變化的破壞模型，下面將在此基礎(chǔ)上探討其極限承載力的滑移線求解方法.

2 臨坡地基極限承載力的滑移線求解方法

綜合上面的分析，坡頂距離變化時(shí)L1∈(0,L0)，條形基礎(chǔ)臨坡地基雙側(cè)非對(duì)稱破壞模式介于平地基和斜坡地基兩種臨界狀態(tài)之間，并且是連續(xù)變化的.考察這兩種臨界狀態(tài)破壞模式的極限承載力滑移線解，即式(1)和式(6)，其解答式具有很大相似性和連續(xù)性，基于此，在相同地基與邊界條件下，平地基的滑移線解為最大值，斜坡地基滑移線解為最小值，改變坡頂距L1∈(0,L0)的臨坡地基極限承載力的滑移線解則是介于平地基和斜坡地基滑移線解的一個(gè)連續(xù)函數(shù)解.

為了計(jì)算方便，基底連續(xù)分布極限壓力可以簡(jiǎn)化為兩個(gè)大小不同均布受壓區(qū)(圖5)，當(dāng)坡頂距L1由L0不斷減小至0，臨坡一側(cè)地基的應(yīng)力場(chǎng)和速度場(chǎng)發(fā)生很大變化，其破壞模式由平地基破壞模式發(fā)展為斜坡地基破壞模式，極限承載力減損也逐步增大，與此相應(yīng)滑塊Ⅰ基底極限壓力Qur的大小由平地基破壞狀態(tài)的Qu0逐漸減小至斜坡地基破壞狀態(tài)的Qu2.同時(shí)坡頂距變小，滑塊Ⅴ的大小雖然受到影響，但內(nèi)側(cè)地基Hill機(jī)構(gòu)幾何模型形式依然保持平地基對(duì)稱的Hill機(jī)構(gòu)模型形式，這一側(cè)的應(yīng)力滑移線場(chǎng)和相容速度場(chǎng)的分布形式也沒(méi)有變化，因此，滑塊Ⅴ基底極限壓力Qul的大小保持不變，其值仍為平地基極限承載力值Qu0.于是臨坡地基極限承載力可表示為：

Qu=(b1Qur+b2Qul)/b

(9)

條形基礎(chǔ)基底兩個(gè)均布受壓區(qū)的寬度可以用寬度比系數(shù)g來(lái)表示：

b1=gb

(10)

b2=(1-g)b

(11)

于是，臨坡一側(cè)極限壓力Qur的確定就成為本文臨坡條形基礎(chǔ)地基極限承載力研究的關(guān)鍵問(wèn)題，為了簡(jiǎn)化分析，首先引入“等代自由面”來(lái)處理和計(jì)算滑塊Ⅳ的應(yīng)力作用.

2.1 “等代自由面”簡(jiǎn)化方法

為了簡(jiǎn)化分析，對(duì)于臨坡條形基礎(chǔ)地基，取滑塊Ⅳ(即BEF)為隔離體進(jìn)行受力分析，如圖6所示，在基礎(chǔ)一側(cè)坡頂面BF和斜坡面EF上作用有均勻分布的超載q；“等代自由面”BE面上作用有法向分布應(yīng)力σ0和切向分布剪應(yīng)力τ0，并假設(shè)應(yīng)力σ0和τ0為均勻分布；于是，水平面BF和斜坡面EF上作用的均勻分布的q可由滑動(dòng)平面BE上的等代應(yīng)力σ0和τ0來(lái)代替，這樣，就可以將滑塊體BEF移去，用“等代自由面”BE面來(lái)代替[20].

圖6 滑塊Ⅳ受力分析圖Fig.6 Static analysis for the slider body Ⅳ diagram

設(shè)定滑動(dòng)BE面與水平面的夾角為β，β可看作是與坡頂距和坡角有關(guān)的參數(shù).于是，根據(jù)BE面在法線方向和切線方向上的靜力平衡條件可分別得到：

(12)

(13)

ξ=η-β

(14)

根據(jù)三角形BEF中正弦關(guān)系有

(15)

(16)

將式(15)代入式(12)和(13)，可得“等代自由面”上法向分布應(yīng)力σ0和切向分布剪應(yīng)力τ0，其大小分別表示為：

τ0=0

(17)

(18)

由式(17)和式(18)可知，“等代自由面”BD面上沒(méi)有切向均布應(yīng)力，只有法向均布應(yīng)力q，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)之后的等代BD面相當(dāng)于斜坡地基的斜坡面，于是，臨坡一側(cè)地基極限承載力即可由斜坡地基極限承載力解來(lái)表示：

ccotφ

(19)

化簡(jiǎn)之后的臨坡一側(cè)地基極限承載力相應(yīng)于坡角為β的斜坡地基極限承載力，隨著臨坡距L1由L0減小至0，β其大小則逐漸由0增大至η.

由于BD滑動(dòng)面上土體處于塑性極限平衡狀態(tài)，假設(shè)BD面上作用有法向均布應(yīng)力σb和切向均布應(yīng)力τb，BD面上應(yīng)力即對(duì)應(yīng)摩爾應(yīng)力圓中d點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)力；BE面上的分布應(yīng)力σ0和τ0則對(duì)應(yīng)摩爾應(yīng)力圓中e點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)力；應(yīng)力圓中的bd線與be線形成的夾角∠dbe為BD面與BE面夾角μ的2倍，∠dbe=2μ=π/2-φ，如圖7所示.

圖7 極限平衡狀態(tài)下的摩爾應(yīng)力圓Fig.7 Limit equilibrium Mohr stress circle

(20)

2.2 臨坡地基極限承載力求解

根據(jù)三角形BDE中正弦關(guān)系有：

(21)

(22)

將式(22)和式(21)代入式(16)，可得

(23)

于是，上式可以寫(xiě)成

(24)

式中：對(duì)數(shù)螺線區(qū)中心角θr=π/2-β.

坡頂距L1由L0減小至0，距離比系數(shù)a自初始坡頂距a0減小至0，a0可表示為：

(25)

相應(yīng)地，寬度比系數(shù)g則從0.5增大至1.0，如圖8所示.圖8中橫坐標(biāo)a在[0,a0]區(qū)間上，g的函數(shù)應(yīng)為單調(diào)遞減連續(xù)函數(shù)，同時(shí)還需滿足邊界要求.

a=0,β=η,g=1

(26)

a=a0,β=0,g=0.5

(27)

為簡(jiǎn)化計(jì)算，將g的函數(shù)表示為線性函數(shù)：

(28)

顯然，式(28)滿足邊界要求即式(26)和(27).將式(28)代入式(24)，通過(guò)迭代的方法即可確定不同坡頂距對(duì)應(yīng)的β，于是可得到對(duì)應(yīng)臨坡一側(cè)地基的極限承載力Qur.將式(10)和式(11)代入式(9)，可得：

Qu=gQur+(1-g)Qul

(29)

總極限承載力Qu亦可寫(xiě)成：

Qu=qNq+cNc

(30)

式中：

(31)

(1-g)]-cotφ

(32)

即

Nc=(Nq-1)cotφ

(33)

圖8 寬度比系數(shù)g與距離比系數(shù)a的關(guān)系圖Fig.8 The diagram of width ratio coefficient with distance ratio coefficient

2.3 有重土臨坡地基極限承載力求解

有重土基礎(chǔ)下的地基滑移線網(wǎng)發(fā)生較大變化，主動(dòng)區(qū)兩族滑移線及塑性剪切區(qū)射線滑移線都變成了曲線[21]，地基的極限荷載也有了相應(yīng)變化，然而，由于目前還沒(méi)有重土地基的極限荷載的解析解，為了計(jì)算有重土地基的極限承載力，一般可以將無(wú)重土，即γ=0，φ≠0，而c≠0,q≠0的地基極限承載力與有重土，即γ≠0，φ≠0，而c=0,q=0的地基極限承載力線性疊加而得到.故臨坡地基極限承載力式(30)即可寫(xiě)成：

(34)

式中：Nγ表示自重引起的地基承載力系數(shù)，可采用極限平衡法、上限法和滑移線場(chǎng)數(shù)值解法等計(jì)算分析方法近似確定.本文采用Hensen滑移線法數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)化得到的Nγ計(jì)算式為：

Nγ=1.8(Nq-1)tanφ

(35)

3 驗(yàn)證與對(duì)比分析

3.1 理論計(jì)算與比較

為了驗(yàn)證本文提出的分析模型與求解方法的正確性與合理性，與已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)及理論研究方法進(jìn)行有效比較，對(duì)于無(wú)黏性土地基，將式(34)轉(zhuǎn)化成下式：

(36)

(37)

根據(jù)計(jì)算所得無(wú)黏性臨坡地基承載力系數(shù)Nγq與Shields等[22]的大尺寸試驗(yàn)結(jié)果、Graham等[14]的理論解及文獻(xiàn)[23]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如表1所示.表1中，內(nèi)摩擦角采用三軸試驗(yàn)測(cè)得的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)，壓密砂土內(nèi)摩擦角φtx=37°，密實(shí)砂土內(nèi)摩擦角φtx=41°.通過(guò)比較分析，可以得到以下結(jié)論.

表1 本文方法與Shields試驗(yàn)結(jié)果、Graham理論解及文獻(xiàn)[23]的Nγq比較Tab.1 Comparison of calculated with experiment and theoretical values ofNγq

注：*考慮平面應(yīng)變影響因素的數(shù)值模擬結(jié)果(φ=1.1φtx)，φtx為三軸試驗(yàn)測(cè)得的抗剪強(qiáng)度指標(biāo).

1)本文計(jì)算壓密砂土結(jié)果與Shields的大尺寸試驗(yàn)結(jié)果較接近，而對(duì)于密實(shí)砂土，利用平面應(yīng)變與三軸試驗(yàn)換算關(guān)系得到內(nèi)摩擦角φ=1.1φtx進(jìn)行求解，計(jì)算結(jié)果與Shields試驗(yàn)結(jié)果較接近，這也驗(yàn)證了本文方法的正確性.雖然存在一定誤差，但這與模型試驗(yàn)尺寸效應(yīng)和力學(xué)參數(shù)選取有關(guān)系，也是難以避免的.

2)本文計(jì)算壓密砂土和密實(shí)砂土結(jié)果與文獻(xiàn)[23]采用數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果大部分較為接近，并且與其他方法數(shù)據(jù)結(jié)果的總體趨勢(shì)是一致的，這也說(shuō)明了本文方法的合理性與可行性.

3)相比Graham的理論解，本文方法計(jì)算結(jié)果更接近于試驗(yàn)結(jié)果，這與本文采用承載力線性疊加得到臨坡地基極限承載力滑移線解有著一定關(guān)系，而且，文中采用Hensen方法簡(jiǎn)化Nγ值偏于保守.

3.2 工程實(shí)例

某臨坡條形基礎(chǔ)地基中基礎(chǔ)兩側(cè)埋深相同D=1 m，基礎(chǔ)寬度b=2 m，c=10 kPa，φ=30°，γ=18 kN/m3，按邊坡坡角η=30°，基礎(chǔ)外側(cè)邊緣距坡頂距離與基礎(chǔ)寬度之比a=1～a0，進(jìn)行計(jì)算.采用本文方法及文獻(xiàn)[23]方法進(jìn)行比較分析，計(jì)算分析結(jié)果見(jiàn)表2.

由表2可知，距離比系數(shù)a對(duì)臨坡地基承載力影響較大，一般來(lái)說(shuō)，隨著坡頂距的增大，邊坡對(duì)地基承載力的影響會(huì)不斷減小，臨坡地基承載力逐漸增大并收斂于平地地基時(shí)的承載力值.如表2所示，文獻(xiàn)[23]方法以a=4為控制上限得到最終極限承載力Qu=1 020.04 kPa，本文方法以a=a0時(shí)收斂與平地地基破壞模式，得到極限承載力Qu=958.12 kPa，兩種方法計(jì)算結(jié)果隨坡頂距離變化規(guī)律一致，且最終收斂于平地地基的極限承載力值差距較小，這也進(jìn)一步表明本文方法的可行性與適用性.

表2 坡頂距離比變化時(shí)地基極限承載力計(jì)算值(η=30°)

Tab.2 Calculated values of ultimate bearing capacityfor various footing locations(η=30°)

4 結(jié) 語(yǔ)

1)本文利用已有研究無(wú)重土平地基和斜坡地基破壞模型及其承載力滑移線解，提出臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞模式應(yīng)是介于平地基破壞模式和斜坡地基破壞模式兩種臨界狀態(tài)之間的一種連續(xù)變化模式，構(gòu)建出考慮基礎(chǔ)距坡頂距離影響和非對(duì)稱性特點(diǎn)的臨坡地基合理破壞模式，為臨坡地基承載力確定奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).

2)引入滑移線場(chǎng)理論進(jìn)行分析，臨坡地基極限承載力滑移線解是介于平地基和斜坡地基滑移線解后的一個(gè)連續(xù)函數(shù)解，利用“等代自由面”簡(jiǎn)化邊坡面上滑塊的應(yīng)力影響作用，通過(guò)設(shè)定寬度比系數(shù)函數(shù)，建立出臨坡地基極限承載力分析模型及計(jì)算方法.

3)結(jié)合工程算例，通過(guò)與大型試驗(yàn)數(shù)據(jù)及其他理論方法和數(shù)值分析方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文基于滑移線場(chǎng)理論的臨坡地基極限承載力的簡(jiǎn)化計(jì)算方法的可行性與合理性.

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Simplified Analysis Method of Ultimate Bearing Capacityfor Footings Near Slope Based on Slip Line Theory

HU Weidong1, 2?，CAO Wengui1

(1.Geotechnical Engineering Institute, Hunan University, Changsha 410082, China;2.College of Civil Engineering & Architecture, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414000, China)

On the basis of the existing researches，Hill failure mechanism and its slip line solution for the ultimate bearing capacity of flat ground foundation and slope foundation were put forward without considering the foundation soil gravity.The failure mechanism of the strip footings near slope was a continuous variation mode.It should be between failure modes of the flat ground foundation and slope foundation.In the same boundary conditions，the bearing capacity of the slip line solution was a continuous function between the two critical foundation states，as the distance from the top of slope was variable.The bilateral asymmetric Hill failure mode of the strip footing near slope was thus put forward.Then，on the basis of the study，the basal pressure zone was divided into two uniform compressive areas by introducing the width ratio.The stress influence on the slope slider was simplified by using the equivalent free surface.The limit pressure on the slope slide can be then calculated by slip line solution for the slope foundation.The function of the width ratio was set by analyzing the relationship among the width ratio，the distance from the top of slope and failure mode.A new method to determine the ultimate bearing capacity of the strip footing adjacent to slope was then put forward based on the theory of slip line.Finally，the feasibility and rationality of the proposed approach were verified through the comparison with current research results.

foundation near slope; strip footings; bearing capacity；slip line; Hill failure mechanism

1674-2974(2017)07-0162-08

10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2017.07.021

2016-03-29

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378198), National Natural Science Foundation of China(51378198); 高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20130161110017), Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China(20130161110017)

胡衛(wèi)東(1976—)，男，湖南岳陽(yáng)人，湖南大學(xué)博士研究生，湖南理工學(xué)院副教授?通訊聯(lián)系人，E-mail: huweidong506@163.com

TU44

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