波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率分析*

冀 偉，藺鵬臻，鄧 露，劉世忠，李?lèi)?ài)軍

(1．蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院 蘭州，730070)(2．湖南大學(xué)土木工程學(xué)院 長(zhǎng)沙，410082)

波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率分析*

冀 偉1，藺鵬臻1，鄧 露2，劉世忠1，李?lèi)?ài)軍1

(1．蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院 蘭州，730070)(2．湖南大學(xué)土木工程學(xué)院 長(zhǎng)沙，410082)

為精確計(jì)算波形鋼腹板預(yù)應(yīng)力混凝土(prestressed concrete,簡(jiǎn)稱(chēng)PC)簡(jiǎn)支箱梁橋的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率，在考慮箱梁自由扭轉(zhuǎn)扭矩與約束扭轉(zhuǎn)扭矩的基礎(chǔ)上，運(yùn)用D′Alembert 原理推導(dǎo)了波形鋼腹板PC箱梁橋的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率方程，給出了與該橋型扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率求解相關(guān)的極慣性矩、扭轉(zhuǎn)常數(shù)及扇形慣性矩的計(jì)算方法，并根據(jù)簡(jiǎn)支梁的邊界條件求得了該橋型扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的計(jì)算公式。制作了波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支試驗(yàn)梁，對(duì)其進(jìn)行了動(dòng)力特性測(cè)試獲得自振頻率和振型，在建立試驗(yàn)梁的ANSYS有限元模型時(shí)提出波形鋼腹板與混凝土翼板實(shí)現(xiàn)剛性連接的方法，結(jié)合試驗(yàn)梁的實(shí)測(cè)值和有限元計(jì)算值驗(yàn)證了波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率計(jì)算公式的正確性。分析了自由扭轉(zhuǎn)扭矩和約束扭轉(zhuǎn)扭矩單獨(dú)作用時(shí)對(duì)波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響，研究表明，約束扭轉(zhuǎn)扭矩對(duì)其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響較大，而自由扭轉(zhuǎn)扭矩對(duì)其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響很小。

波形鋼腹板；組合箱梁；扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率；模型試驗(yàn)；有限元分析

引 言

波形鋼腹板PC箱梁橋是一種新型的鋼-混組合橋梁結(jié)構(gòu)，其特點(diǎn)是以10mm左右厚的波形鋼腹板取代30～80mm厚的混凝土腹板[1]，通過(guò)體內(nèi)和體外預(yù)應(yīng)力筋對(duì)梁體施加預(yù)應(yīng)力。該橋型大幅度減輕了梁體的自重，提高了梁體的預(yù)應(yīng)力施加效率。由于波形鋼腹板的特殊構(gòu)造，其抗剪強(qiáng)度較平腹鋼板有較大提高。由于該橋型具有諸多優(yōu)點(diǎn)，在國(guó)內(nèi)外橋梁建設(shè)中得到了廣泛應(yīng)用。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)波形鋼腹板I型鋼梁和波形鋼腹板PC箱梁橋靜力學(xué)性能方面的研究較多。Hassanein等[2]研究了波形鋼腹板I型鋼梁的剪切屈曲性能。Oh等[3]研究了波形鋼腹板的手風(fēng)琴效應(yīng)對(duì)其力學(xué)性能的影響。Jáger等[4]研究了波形鋼腹板I型鋼梁在彎矩、剪力及局部荷載作用下的力學(xué)行為。K?vesdi等[5]研究了波形鋼腹板I型鋼梁翼緣板的應(yīng)力分布。Lee等[6]研究了體外預(yù)應(yīng)力筋的布置、焊接方式及剪力連接件對(duì)波形鋼腹板I型組合梁結(jié)構(gòu)性能的影響。江克斌等[7]研究了波形鋼腹板PC箱梁在扭轉(zhuǎn)作用下的力學(xué)行為。劉保東等[8]對(duì)波形鋼腹板PC箱梁橋的撓度計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行了分析。聶建國(guó)等[9]研究了波形鋼腹板剪切變形對(duì)波形鋼腹板組合梁力學(xué)行為的影響。文獻(xiàn)[10-11]雖然在波形鋼腹板PC箱梁橋動(dòng)力特性方面取得一些研究成果，但主要針對(duì)其彎曲振動(dòng)特性，對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性方面的研究相對(duì)滯后[12]。文獻(xiàn)[12]并未給出與波形鋼腹板PC箱梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率計(jì)算相關(guān)的極慣性矩、扭轉(zhuǎn)常數(shù)及扇形慣性矩的計(jì)算方法。波形鋼腹板PC箱梁橋以波形鋼板作為其腹板，相對(duì)傳統(tǒng)的PC箱梁其腹板較薄，抗扭剛度受到較大削弱，使得該橋型在動(dòng)力荷載作用下的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)處于不利狀態(tài)。因此，對(duì)波形鋼腹板PC箱梁橋的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行研究具有現(xiàn)實(shí)意義。

為精確計(jì)算波形鋼腹板PC箱梁橋的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率，筆者給出了與其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率計(jì)算相關(guān)的極慣性矩、扭轉(zhuǎn)常數(shù)及扇形慣性矩的計(jì)算方法。在考慮箱梁自由扭轉(zhuǎn)扭矩和約束扭轉(zhuǎn)扭矩的基礎(chǔ)上，運(yùn)用D′Alembert原理推導(dǎo)了波形鋼腹板PC箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的頻率方程。為求得波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率方程的解，根據(jù)其邊界條件得到扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率方程的特解，將特解代入扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率方程，獲得波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的計(jì)算公式，模型試驗(yàn)和有限元方法也驗(yàn)證了計(jì)算公式的正確性。

1 箱梁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)理論

為分析箱梁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，取如圖1所示的箱梁和坐標(biāo)系，箱梁的壁厚為t，在扭矩T作用下，距離梁端x處的箱梁截面發(fā)生扭轉(zhuǎn)角φ時(shí)，得到其微元體dx的受力圖[13]，如圖2所示。

圖1 梁的坐標(biāo)系及扭轉(zhuǎn)角示意圖Fig.1 Coordinate system and torsion rotation angle of the girder

圖2 梁的微元體受力示意圖Fig.2 Force acting on the element

根據(jù)微元體受力圖，運(yùn)用D′Alembert原理得到箱梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的平衡方程為

(1)

其中：T為梁所受的扭矩；φ為梁截面的扭轉(zhuǎn)角；ρ為梁的質(zhì)量密度；Ip為梁截面的極慣性矩。

化簡(jiǎn)式(1)可得

(2)

在一般情況下，薄壁桿件受扭后，桿件輪廓線上各點(diǎn)不僅在平面內(nèi)產(chǎn)生相對(duì)位移，而且出平面產(chǎn)生翹曲(凹凸)。使桿件輪廓線上各點(diǎn)自由翹曲的扭轉(zhuǎn)稱(chēng)作自由扭轉(zhuǎn)或圣維南扭轉(zhuǎn)，若其橫截面的縱向翹曲受到約束(或阻礙)，此類(lèi)扭轉(zhuǎn)稱(chēng)為約束扭轉(zhuǎn)[14]。如圖3所示的簡(jiǎn)支箱梁，邊界條件一端為固定鉸支座，另一端為活動(dòng)鉸支座。

圖3 簡(jiǎn)支梁的邊界條件Fig.3 Boundary conditions of simply supported beam

當(dāng)簡(jiǎn)支箱梁發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，其橫截面的縱向翹曲受到約束，會(huì)同時(shí)產(chǎn)生自由扭轉(zhuǎn)扭矩Mt和約束扭轉(zhuǎn)扭矩Mω[14]，計(jì)算公式分別為

(3)

(4)

其中：E和G分別為材料的彈性模量和剪切模量；It和Iw分別為截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)和扇形慣性矩。

總扭矩T為自由扭轉(zhuǎn)扭矩Mt和約束扭轉(zhuǎn)扭矩Mω的代數(shù)和[14]，可表示為

(5)

將式(5)代入式(2)，得到箱梁考慮自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)的振動(dòng)方程為

(6)

設(shè)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)曲線φ(x,t)為

(7)

將式(7)代入式(6)，可得

(8)

振型函數(shù)的解[15]可表達(dá)為

C3sinh(λx)+C4cosh(λx)

(9)

其中：C1，C2，C3，C4和特征值λ(相應(yīng)于自振頻率ω)由梁的邊界條件確定。

簡(jiǎn)支梁的邊界條件為

(10)

滿(mǎn)足邊界條件的一個(gè)特解為

(11)

將式(11)代入式(8)，得到簡(jiǎn)支箱梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的計(jì)算公式為

(12)

2 波形鋼腹板PC箱梁扭轉(zhuǎn)截面特性

2.1 波形鋼腹板的構(gòu)造與剪切模量修正

波形鋼腹板的構(gòu)造如圖4所示，波形鋼腹板剪切模量的計(jì)算值與其波形的幾何形狀有關(guān)[16]，其剪切模量Gs的計(jì)算公式為

(13)

其中：α=(L1+L2)/(L1+L3)為剪切模量的修正系數(shù)；Es與vs分別為鋼材的彈性模量和泊松比；L1，L2與L3分別為平板長(zhǎng)度、斜板投影長(zhǎng)度及斜板長(zhǎng)度。

圖4 波形鋼腹板的尺寸示意圖Fig.4 Dimension of corrugation profile

2.2 波形鋼腹板PC箱梁扭轉(zhuǎn)常數(shù)計(jì)算

波形鋼腹板PC箱梁由波形鋼腹板與混凝土上、下翼板構(gòu)成，其扭轉(zhuǎn)常數(shù)的計(jì)算需要同時(shí)考慮兩種不同性質(zhì)材料的組合，如圖5所示。文獻(xiàn)[1]給出波形鋼腹板PC箱梁扭轉(zhuǎn)常數(shù)的計(jì)算公式，分別為

(14)

α=0.400h1/b1-0.060

(15)

圖5 波形鋼腹板PC箱梁扭轉(zhuǎn)常數(shù)的計(jì)算參數(shù)Fig.5 Calculation parameters of torsion constant for the PC box girder with corrugated steel webs

文獻(xiàn)[1]計(jì)算波形鋼腹板PC箱梁扭轉(zhuǎn)常數(shù)時(shí)，未考慮箱梁上翼板懸臂段對(duì)扭轉(zhuǎn)常數(shù)的貢獻(xiàn)(如圖5所示的b2)。筆者對(duì)文獻(xiàn)[1]提出的扭轉(zhuǎn)常數(shù)計(jì)算公式進(jìn)行了修正，考慮了箱梁懸臂段對(duì)扭轉(zhuǎn)常數(shù)的貢獻(xiàn)，即

(16)

2.3 波形鋼腹板PC箱梁的極慣性計(jì)算

波形鋼腹板PC箱梁的極慣性矩Ip的計(jì)算需要同時(shí)考慮兩種不同性質(zhì)材料的組合，計(jì)算方法如式(17)所示。式(18)，(19)分別為混凝土翼板和波形鋼腹板的極慣性矩Ipc，Ips的計(jì)算公式

其中：Ec為混凝土的彈性模量；Ixc和Ixs分別為混凝土翼板和波形鋼腹板的對(duì)x軸的慣性矩；Iyc和Iys分別為混凝土翼板和波形鋼腹板的對(duì)y軸的慣性矩。

2.4 波形鋼腹板組合箱梁的扇形慣性矩計(jì)算

波形鋼腹板PC箱梁的扇形慣性矩Iw的計(jì)算考慮了兩種不同性質(zhì)材料的組合，計(jì)算方法為

(20)

其中：Iwc和Iws分別為混凝土翼板和波形鋼腹板對(duì)波形鋼腹板PC箱梁扭轉(zhuǎn)中心的扇形慣性矩。

至此，波形鋼腹板PC箱梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率計(jì)算公式中所需要的截面特性已全部給出了計(jì)算方法。

3 模型試驗(yàn)梁的制作與動(dòng)力特性測(cè)試

3.1 試驗(yàn)梁的制作

為驗(yàn)證筆者求解波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率計(jì)算公式的正確性，以所建的波形鋼腹板PC連續(xù)箱梁橋-鄄城黃河公路大橋的跨中箱梁截面設(shè)計(jì)尺寸為依據(jù)，按照1/10的比例縮尺制作 了6 m波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋的模型試驗(yàn)梁。試驗(yàn)梁的截面尺寸如圖6所示，試驗(yàn)梁邊界條件為梁的一端為活動(dòng)鉸支座，另一端為固定鉸支座。試驗(yàn)梁所用混凝土材料28天齡期測(cè)得的抗壓強(qiáng)度平均值為51.2MPa，按JTG D62-2004《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》的規(guī)定為C50混凝土，其彈性模量和泊松比按規(guī)范規(guī)定取值。

圖6 箱梁截面的基本尺寸(單位:mm)Fig.6 Main dimensions of model (unit:mm)

采用Q235鋼板在工廠制作完成試驗(yàn)梁的波形鋼腹板，截面尺寸示意圖如圖7所示。彈性模量和泊松比分別為206GPa和0.3。制作好的室內(nèi)試驗(yàn)梁模型如圖8所示。

圖7 波形鋼腹板尺寸(單位:mm)Fig.7 Dimensions of corrugated steel web (unit:mm)

圖8 模型試驗(yàn)梁Fig.8 Test girder model

3.2 動(dòng)力測(cè)試

選用自振法測(cè)試試驗(yàn)梁的自振頻率和振型，使用突然加載與突然卸載的方式使梁體產(chǎn)生自由振動(dòng)。本試驗(yàn)采取力錘敲擊的方式進(jìn)行突然加載，激振點(diǎn)和測(cè)點(diǎn)的布置如圖9所示，采樣頻率為512Hz。實(shí)際敲擊時(shí)敲擊點(diǎn)位置不動(dòng)，把傳感器放置在指定測(cè)點(diǎn)上，對(duì)每個(gè)位置記錄激勵(lì)信號(hào)(力錘沖擊力)和梁體響應(yīng)信號(hào)，將測(cè)試得到的信號(hào)輸入東華DHDAS信號(hào)測(cè)試分析系統(tǒng)軟件進(jìn)行分析，完成室內(nèi)模型試驗(yàn)梁的自振頻率測(cè)試和振型識(shí)別。

圖9 頂板傳感器布置圖(單位:mm)Fig.9 Measurement locations on the bridge deck in the modal test (unit:mm)

4 波形鋼腹板PC箱梁橋的三維有限元模型

采用ANSYS 14.0有限元分析軟件建立了波形鋼腹板PC箱梁橋的有限元模型。根據(jù)波形鋼腹板PC箱梁橋的特點(diǎn)，采用實(shí)體單元、殼單元及桿單元3種不同的單元模擬其空間結(jié)構(gòu)。波形鋼腹板PC組合箱梁的上、下翼板及橫隔板均為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，采用實(shí)體單元Solid45來(lái)建立；采用殼單元Shell63模擬波形鋼腹板；采用Link8單元模擬波形鋼腹板PC箱梁橋的體外預(yù)應(yīng)力筋，通過(guò)設(shè)置初應(yīng)變的方法施加預(yù)應(yīng)力。波形鋼腹板與混凝土上、下翼板的連接處采用剛性連接，即波形鋼腹板的節(jié)點(diǎn)與翼板的節(jié)點(diǎn)在相應(yīng)位置處耦合豎向、橫向及縱向自由度，形成剛性連接，如圖10所示。

圖10 波形鋼腹板與混凝土翼板的連接Fig.10 Connection between the corrugated steel webs and concrete flange

波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋的邊界條件為梁端一端為活動(dòng)鉸支座，約束梁體的豎向和橫向兩個(gè)方向的位移；另一端為固定鉸支座，約束梁體的豎向、縱向和橫向3個(gè)方向的位移。建立完成的波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋的有限元模型如圖11所示。

圖11 波形鋼腹板PC箱梁橋的有限元模型Fig.11 Finite element model of the PC box girder bridge with corrugated steel webs

5 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

將試驗(yàn)梁動(dòng)力特性測(cè)試獲得的實(shí)測(cè)頻率值和振型采用ANSYS有限元軟件計(jì)算所得的試驗(yàn)梁頻率值和振型與本研究所得的試驗(yàn)梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率值進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如表1所示。

表1 模型試驗(yàn)梁的自振頻率和振型對(duì)比Tab.1 Comparison of natural frequencies and mode shapes for the test girder

由表1可以看出，本計(jì)算公式所得的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率值與實(shí)測(cè)值及有限元值吻合良好，可以用于實(shí)際工程中波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的計(jì)算。

為了對(duì)比分析自由扭轉(zhuǎn)扭矩和約束扭轉(zhuǎn)扭矩各自對(duì)波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響，在式(12)中計(jì)算了兩種扭矩單獨(dú)作用下產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率值，如表2所示。可以看出，在約束扭轉(zhuǎn)扭矩單獨(dú)作用下，計(jì)算所得的波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率值與總頻率值較為接近，而在自由扭轉(zhuǎn)扭矩單獨(dú)作用下得到的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率值與總頻率值相差較大，說(shuō)明約束扭轉(zhuǎn)扭矩對(duì)波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響較大，而自由扭轉(zhuǎn)扭矩對(duì)其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響很小。

表2 自由扭轉(zhuǎn)扭矩與約束扭轉(zhuǎn)扭矩產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率對(duì)比Tab.2 Comparison of torsional vibration frequencies between the Saint-Venant torque and warping torque

6 結(jié) 論

1) 本研究所得的波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率計(jì)算公式的正確性得到了實(shí)測(cè)值和有限元計(jì)算值的驗(yàn)證，可以用于實(shí)際工程中波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的計(jì)算。

2) 提出的波形鋼腹板PC箱梁的極慣性矩、扭轉(zhuǎn)常數(shù)及扇形慣性矩的計(jì)算方法可以用于該橋型箱梁扭轉(zhuǎn)截面特性的計(jì)算。

3) 在建立波形鋼腹板PC箱梁橋的ANSYS有限元模型時(shí)，筆者提出的在波形鋼腹板與混凝土翼板的交界處耦合豎向、橫向及縱向自由度，形成剛性連接的方法更符合實(shí)際情況，計(jì)算所得的頻率值與實(shí)測(cè)值吻合良好。

4) 約束扭轉(zhuǎn)扭矩對(duì)波形鋼腹板PC簡(jiǎn)支箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響較大，而自由扭轉(zhuǎn)扭矩對(duì)其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的影響很小，可忽略不計(jì)。

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* 國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51368032);中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014M562103);甘肅省高等學(xué)校科研資助項(xiàng)目(2015A-053);蘭州交通大學(xué)優(yōu)秀平臺(tái)資助項(xiàng)目(201601)

2015-12-16；

2016-04-06

U448.21+6；TH113.1

冀偉，男，1982年6月生，博士、副教授。主要研究方向?yàn)闃蛄航Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論。曾發(fā)表《波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁豎向頻率的影響因素分析》(《振動(dòng)、測(cè)試與診斷》2013年第33卷第6期)等論文。 E-mail:jiwei1668@163.com