拋物線壁內(nèi)細(xì)桿的摩擦平衡分析

尤明慶

(河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南焦作454010)

拋物線壁內(nèi)細(xì)桿的摩擦平衡分析

尤明慶1)

(河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南焦作454010)

細(xì)桿在拋物線壁內(nèi)支承，平衡特性與桿長(zhǎng)、傾角和摩擦因子相關(guān).細(xì)桿在自身重力作用下可發(fā)生焦點(diǎn)下方的順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，焦點(diǎn)上方的逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)以及兩端同時(shí)下滑.基于端部支撐力達(dá)到摩擦錐邊界的條件，可確定細(xì)桿狀態(tài)為不平衡、穩(wěn)定或不穩(wěn)定的平衡和摩擦平衡.平衡集為具有寬度的叉式分岔.

拋物線，細(xì)桿，摩擦，穩(wěn)定平衡，分岔

均質(zhì)細(xì)桿支承于光滑圓錐曲線內(nèi)壁，通過焦點(diǎn)時(shí)穩(wěn)定平衡，重心軌跡為相同離心率 e的圓錐曲線，頂點(diǎn)在原曲線焦點(diǎn)而焦距變?yōu)閑/2倍.若細(xì)桿較短不能通過焦點(diǎn)，則水平位置即重心在對(duì)稱軸上為穩(wěn)定平衡條件.重心的平衡集在圓錐曲線焦點(diǎn)處發(fā)生叉式分岔[1-2].

壁面總是具有摩擦的.摩擦力作為支承反力具有不確定性.文獻(xiàn)[3-7]研究了不同傾角平面的兩端摩擦支承直桿問題；不過，對(duì)圓錐曲線壁面的摩擦支承問題，系統(tǒng)參數(shù)增加到3個(gè)，即摩擦因子、離心率以及桿長(zhǎng)與焦距的比值，使問題更復(fù)雜難解.本文僅研究離心率為1的圓錐曲線，即拋物線壁內(nèi)細(xì)桿的摩擦平衡問題.

1 拋物線的幾何特征

設(shè)拋物線焦距p為 1，相當(dāng)于幾何參數(shù)均以 p無量綱化，因而焦點(diǎn)至頂點(diǎn)距離為1/2，過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)為2；在直角坐標(biāo)系中方程為

其內(nèi)壁支承長(zhǎng)L的細(xì)桿AB，因?qū)ΨQ性而設(shè)細(xì)桿右側(cè)A不低于左側(cè)B；系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)為中點(diǎn)M或傾角θ，有

時(shí)達(dá)到極小值(圖1)

因拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn) P與到準(zhǔn)線的距離相等，細(xì)桿中點(diǎn)M 到準(zhǔn)線距離就是(PA+PB)/2，則APB為直線即細(xì)桿通過焦點(diǎn)時(shí)重心最低[2]，相應(yīng)的傾角為式(6)給出的θ0.

圖1 細(xì)桿的運(yùn)動(dòng)方式和中點(diǎn)軌跡以及平衡集

細(xì)桿在自身重力作用下的滑動(dòng)有3種情形：焦點(diǎn)下方的順時(shí)針運(yùn)動(dòng)①，焦點(diǎn)上方的逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)②或兩端同時(shí)下滑③(圖2).后者低端B處法線在細(xì)桿的下方，因而細(xì)桿與法線一致即垂直壁面是相應(yīng)區(qū)域的邊界H；由式(1)～式(4)得到其最小值為桿長(zhǎng)小于 L則不存在兩

h端同時(shí)向下滑動(dòng)的可能；而長(zhǎng)度大于Lh則θH有兩解.基于式(10)，以式(4)和式(5)計(jì)算相應(yīng)的中點(diǎn)軌跡(圖1)：細(xì)桿中點(diǎn)在表示H的該曲線上方則具有兩端同時(shí)下滑的趨勢(shì).

圖2給出長(zhǎng)度L=8細(xì)桿的位置.其通過焦點(diǎn)時(shí)傾角θ0為60°.傾角為θH=15.65°以及56.90°時(shí)低端B垂直于壁面，而右端A則達(dá)到最高和最低點(diǎn)，兩者之間即區(qū)域③內(nèi)細(xì)桿低端與下方壁面的夾角大于90°，即使摩擦平衡，擾動(dòng)也可使其失去支承而滑脫.

圖2 L=8的細(xì)桿在拋物線壁面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)

2 細(xì)桿摩擦支撐下的平衡

摩擦力具有不確定性，因而細(xì)桿可以在傾角一定的范圍內(nèi)平衡，即摩擦使平衡區(qū)域擴(kuò)大.細(xì)桿兩端支撐力的方向?yàn)閗A和kB，其交點(diǎn)(x,y)滿足

消去y求得x，平衡時(shí)應(yīng)與細(xì)桿重心即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)xM相等，利用式(1)化簡(jiǎn)可得

拋物線x2=2y的法線斜率為-1/x；設(shè)摩擦因子μ=tan?，?為摩擦角，則摩擦錐左、右界的斜率為

焦點(diǎn)下方重力滑動(dòng)趨勢(shì)總是逆時(shí)針 (圖 1中①)，兩端摩擦力達(dá)到摩擦錐右界即式 (15)時(shí)為臨界平衡狀態(tài)；將其代入式(13)可得

利用式(2)～式(4)可得細(xì)桿摩擦滑移發(fā)生的條件

細(xì)桿在焦點(diǎn)上方運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)若為逆時(shí)針(圖1中②)，則摩擦力達(dá)到摩擦錐左界即式 (14)時(shí)臨界平衡，有

給定摩擦因子μ，式(18)在

時(shí)長(zhǎng)度達(dá)到最小值 L?；若 L＞L?時(shí)式 (18)有兩解，對(duì)應(yīng)于細(xì)桿離開水平位置及接近穩(wěn)定平衡位置.實(shí)際計(jì)算時(shí)可先給定 θ?由式 (19)確定摩擦因子μ=tan?，再由式 (18)計(jì)算相應(yīng)的桿長(zhǎng) L?；該桿長(zhǎng)下的傾角θ0和θ1也在圖3給出.摩擦角增大時(shí)臨界桿長(zhǎng)從2平穩(wěn)增加，但3個(gè)特征傾角都從0°急速增加，如圖3所示?=2°時(shí)相應(yīng)的L?=2.444，θ1=28.9°.

圖3 臨界桿長(zhǎng)隨摩擦角的變化及相關(guān)角度參數(shù)

細(xì)桿位于圖1中區(qū)域③,具有整體向下運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，左右兩端支承力分別達(dá)到各自摩擦錐左右界時(shí)發(fā)生滑動(dòng)，基于式(13)～式 (15)，并利用式(2)～式(4)可得

而摩擦平衡時(shí)受擾動(dòng)可能失去支承而滑脫(圖2).

3 平衡位置的區(qū)劃

式(6)的穩(wěn)定平衡集θ0、式(10)的兩端下滑區(qū)邊界θH與摩擦因子無關(guān)––相應(yīng)的細(xì)桿中點(diǎn)軌跡已在圖1給出，而3個(gè)滑動(dòng)條件即式(17)、式(18)和式 (20)隨摩擦因子而變化.圖 4是摩擦角 ?為30°和15°時(shí)的結(jié)果.

圖4 細(xì)桿長(zhǎng)度和傾角對(duì)平衡狀態(tài)的影響

式 (20)確定的長(zhǎng)度是傾角 θ3的單調(diào)遞增函數(shù)，且隨摩擦角的增大而增加；若細(xì)桿處于可兩端同時(shí)向下運(yùn)動(dòng)的位置即圖1和圖2中③，且長(zhǎng)度和傾角處于式 (20)曲線 θ3右下方即圖 4的區(qū)域 V中，則摩擦平衡，否則重力可克服摩擦力而使桿下滑.記η=μcosθ，則

因而式(18)曲線θ2全部在式(20)曲線θ3的上方.

傾角相同且接近90°時(shí)，式(20)與式(6)對(duì)應(yīng)的桿長(zhǎng)差異，即圖4中曲線θH與曲線θ0的縱坐標(biāo)差異

逐漸減小而趨于 1.由式 (4)和式 (5)可知，傾角相同就是中點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，而中點(diǎn)縱坐標(biāo)的差異δM趨于1/2(圖1)；反之，長(zhǎng)度相同時(shí)，對(duì)應(yīng)角度θH與θ0的差異以及角度正切即中點(diǎn)橫坐標(biāo)的差異都會(huì)趨于0.

注意到θ趨于90°即cosθ趨于0時(shí)有

因而只要摩擦因子不為零，相同傾角θ且接近90°時(shí)式(10)一定小于式(20)，即曲線θH最終在曲線θ3的下方而趨于曲線θ0，兩者構(gòu)成摩擦平衡區(qū)域V.圖4(b)中?=15°的區(qū)域V在L=10.2后出現(xiàn).

由式(10),式(18)及式(20)可得曲線θH與曲線θ2及曲線θ3的交點(diǎn)

圖 5給出摩擦角對(duì)交點(diǎn)位置的影響.?=15°時(shí)，曲線θH與曲線θ2及曲線θ3在圖4(b)右上角之外的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的細(xì)桿長(zhǎng)度為8.05和10.2.顯然，θH趨于0和θ2趨于?都對(duì)應(yīng)于桿長(zhǎng)趨于無窮，因而桿長(zhǎng)充分大之后，圖4中曲線從左向右按θH,θ2, θ2,θ3,θH,θ0,θ1排列.

圖5 細(xì)桿長(zhǎng)度和傾角對(duì)平衡狀態(tài)的影響

4 穩(wěn)定性和極限狀態(tài)的討論

通常所說的系統(tǒng)穩(wěn)定是指所受擾動(dòng)消失之后仍能回復(fù)到原來的狀態(tài).不過，摩擦支承的細(xì)桿平衡狀態(tài)，受擾后的實(shí)際狀態(tài)卻與擾動(dòng)相關(guān)而具有不確定性.因此細(xì)桿穩(wěn)定只是意味著微小擾動(dòng)將引起狀態(tài)的微小改變；而引起突變的擾動(dòng)大小對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定性的高低.下面參照細(xì)桿中點(diǎn)位置對(duì)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定特征進(jìn)行具體說明.

4.1 ?＞??=19.5°

圖6給出?=30°時(shí)由細(xì)桿中點(diǎn)位置表征的平衡狀態(tài)，標(biāo)示符號(hào)與圖4(a)相對(duì)應(yīng).細(xì)桿處于焦點(diǎn)即曲線θ0右下側(cè)時(shí)，以曲線θ1分為不平衡區(qū)域Ⅰ或摩擦平衡區(qū)域Ⅱ.曲線θ2上方是不平衡區(qū)域Ⅵ；曲線θH整體在曲線θ2下方，其與θ0之間的區(qū)域Ⅲ是逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的摩擦平衡.摩擦角增大，不平衡區(qū)域Ⅰ和Ⅵ縮小，即圖6中不平衡的邊界①右移，邊界②上抬.

細(xì)桿在θ2,θH及θ3之間的區(qū)域Ⅳ，不能依靠摩擦而避免兩端同時(shí)下滑.不過，若先放置低端B并阻止滑動(dòng)后再放置高端 A(實(shí)際操作時(shí)可稍稍下壓)，細(xì)桿也可在 A端向下、B端向上的摩擦作用下平衡，如圖2中BPH，以下稱之為半平衡；但擾動(dòng)之后下端就會(huì)失去支承，即摩擦平衡是不穩(wěn)定的.又，這里不考慮細(xì)桿彈性壓縮而產(chǎn)生的附加正壓力以及摩擦力[6-8].

圖6 摩擦角?=30°時(shí)細(xì)桿中點(diǎn)位置的平衡狀態(tài)區(qū)劃

4.2 ?≤??=19.5°

摩擦角?減小時(shí)，摩擦平衡界限的曲線θ1向穩(wěn)定平衡集θ0靠近；曲線θ2和曲線θ3隨?減小而下移，在即摩擦角低于??=19.5°之后，曲線θ2達(dá)到曲線θH下方，如圖4(b)所示，不平衡區(qū)域Ⅵ擴(kuò)大而分割區(qū)域Ⅳ成左右兩部分；曲線θ3也隨之下降，其與曲線θH在L=10.2相交后構(gòu)成區(qū)域Ⅴ.

圖7給出?=15°時(shí)細(xì)桿平衡的中點(diǎn)位置區(qū)劃.右上部，細(xì)桿低端垂直于壁面的曲線H與曲線②、③相交，三者界定的是半平衡區(qū)域Ⅳ，曲線H與③之間是平衡區(qū)域V.兩者都是不穩(wěn)定的摩擦平衡.曲線 H與②界定的區(qū)域Ⅶ是細(xì)桿逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的不平衡，上方區(qū)域Ⅵ則是兩端下滑的不平衡區(qū)域.其余與圖6類似.

圖7 摩擦角?=15°時(shí)細(xì)桿中點(diǎn)位置的平衡狀態(tài)區(qū)劃

細(xì)桿在水平狀態(tài)附近摩擦平衡，擾動(dòng)較大則可能進(jìn)入不平衡區(qū)域，而穩(wěn)定平衡集附近的摩擦平衡總是穩(wěn)定的.此外，若擾動(dòng)具有周期性，如振動(dòng)或熱脹冷縮，將驅(qū)使細(xì)桿重心最終達(dá)到最低值，即無摩擦?xí)r的穩(wěn)定平衡位置.相關(guān)計(jì)算和分析可參閱文獻(xiàn)[7,9].

4.3 桿長(zhǎng)趨于無限

拋物線壁面光滑時(shí)，細(xì)桿中心的平衡集在焦點(diǎn)處發(fā)生叉式分岔，而摩擦使“叉”具有了寬度.給定摩擦因子 μ=tan?時(shí)，由式 (18)可知傾角 θ2趨于?即桿長(zhǎng)趨于無限時(shí),細(xì)桿中點(diǎn)xM=tanθ趨于摩擦因子μ.隨高度增加拋物線壁面趨陡，桿長(zhǎng)趨于無限時(shí)傾角 θH趨于 0.因此對(duì)稱軸處中叉寬度趨于2μ，但穩(wěn)定的摩擦平衡區(qū)域Ⅲ逐漸收窄變尖(圖6和圖7).

另一方面，θ1→90°時(shí)式(17)可寫為

式中δ=μ/tanθ1為小量；再利用式(6)，有

同樣，基于式(18)和式(20)可得到

如前所述，桿長(zhǎng) L趨于無窮時(shí) tanθH趨于tanθ0，因而穩(wěn)定的摩擦平衡區(qū)域Ⅲ將變尖，不穩(wěn)定的平衡區(qū)域Ⅴ則隨之增大(圖6和圖7).式(27)～式(29)意味著，桿長(zhǎng)趨于無窮時(shí)摩擦平衡邊界與過焦點(diǎn)穩(wěn)定平衡處的中點(diǎn)橫坐標(biāo)xM=tanθ的差異趨于±0.5μ，即平衡區(qū)域的外叉寬度趨于μ=tan?，且右側(cè)穩(wěn)定平衡區(qū)域Ⅱ和左側(cè)不穩(wěn)定平衡區(qū)域V各占其半.

4.4 摩擦因子趨于零

圖8給出摩擦角?為0.5°～15°的不平衡區(qū)域邊界①和②處細(xì)桿中點(diǎn)軌跡，兩端同時(shí)下滑的位置③未達(dá)到圖中范圍.顯然，?趨于零時(shí)不平衡區(qū)域的界限即式(17)的θ1曲線和式(18)的θ2曲線從兩側(cè)趨于無摩擦?xí)r穩(wěn)定和不穩(wěn)定的平衡位置；不過，?=0°時(shí)兩式及式(20)都蛻化為式(6)，即只有細(xì)桿過焦點(diǎn)而不含有水平姿態(tài)的平衡狀態(tài).

圖8 不同摩擦角下不平衡區(qū)域邊界處的細(xì)桿中點(diǎn)軌跡

細(xì)桿長(zhǎng)度趨于零時(shí)極限平衡處拋物線切線的斜率就是摩擦因子μ.?在5°以下，焦點(diǎn)下方的平衡邊界開始外凸，向穩(wěn)定平衡集趨近.?=0.5°時(shí)，圖8中的D點(diǎn)相應(yīng)于傾角θ=3?；若式(17)中保持θ=3?不變而?趨于0，則D點(diǎn)趨于對(duì)稱軸上y=1/4處，桿長(zhǎng)趨于.更為一般地說，摩擦角?為無窮小而非零時(shí)，式(17)中L在0～2之間、式(18)中L在2～∞之間的傾角θ都是無窮小，但?為零時(shí)式(17)、式(18)中根號(hào)項(xiàng)變?yōu)?就不再含有相關(guān)信息.

當(dāng)然，絕對(duì)光滑的界面實(shí)際上并不存在，而?= 2°即 μ=0.035已接近常見固體界面的下限[10]；基于圖3計(jì)算結(jié)果，長(zhǎng)度L?=2.444的細(xì)桿在傾角±28.9°之內(nèi)均可獲得穩(wěn)定的摩擦平衡.

5 結(jié)語

拋物線壁面光滑時(shí)，細(xì)桿中心的平衡集在焦點(diǎn)處發(fā)生叉式分岔，而摩擦使“叉”具有了寬度.因桿長(zhǎng)、傾角和摩擦系數(shù)不同，細(xì)桿可具有不平衡、穩(wěn)定或不穩(wěn)定的平衡和摩擦平衡等多種狀態(tài).

1徐康.圓錐曲線的靜力學(xué)性質(zhì).力學(xué)與實(shí)踐，2014,36(5):639-641

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3 Gonzalez AG,Gratton J.Reaction forces on a ladder leaning on a rough wall.American Journal of Physics,1996, 64(8):1001-1005

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10 https://en.wikipedia.org/wiki/Friction

(責(zé)任編輯:劉希國(guó))

STABLE EQUILIBRIUM OF A POLE ON A FRICTIONAL PARABOLA WALL

YOU Mingqing1)
(School of Energy Science and Engineering,Henan Polytechnic University,Jiaozuo,454010,China)

The equilibrium of a pole supported on a parabola wall is related to its length,slope angle and the frictional factor between them.Under the action of gravity,the pole can move clockwise under the focus of parabola,and move counterclockwise or slide down at two ends over the focus.The state of pole,i.e. disequilibrium,stable and unstable equilibrium with friction,is determined on the support force at the boundary of friction cone.The equilibrium set is a pitchfork bifurcation with width related to the frictional factor.

parabola wall,pole,friction,stable equilibrium,bifurcation

O317

：Adoi：10.6052/1000-0879-17-102

2017–03–27收到第1稿，2017–05–19收到修改稿.

1)E-mail:youmq@hpu.edu.cn

尤明慶.拋物線壁內(nèi)細(xì)桿的摩擦平衡分析.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(4):359-364

You Mingqing.Stable equilibrium of a pole on a frictional parabola wall.Mechanics in Engineering,2017,39(4): 359-364