非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)階段的邊界位移與黏性能量耗散

閆 彥

(中國(guó)石油化工集團(tuán)公司發(fā)展計(jì)劃部，北京100728)

非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)階段的邊界位移與黏性能量耗散

閆 彥1)

(中國(guó)石油化工集團(tuán)公司發(fā)展計(jì)劃部，北京100728)

本文研究了牛頓流體非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)階段的邊界位移與流體黏性摩擦能耗.在上邊界始終保持靜止，下邊界以恒定速度或恒定內(nèi)壁剪切應(yīng)力突然運(yùn)動(dòng)的情況下,建立了 Couette非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型.求解定解問(wèn)題，獲得流體速度分布函數(shù)；通過(guò)漸近分析，獲得不同邊界條件下流動(dòng)充分發(fā)展的臨界時(shí)間，進(jìn)而獲得非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中的邊界位移量.利用邊界剪切應(yīng)力和位移量的結(jié)果，計(jì)算非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中移動(dòng)平板做功;再結(jié)合流體動(dòng)能增加量，計(jì)算得出不同邊界條件下非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段流體黏性摩擦能耗.

邊界位移,能量耗散,非穩(wěn)態(tài)階段,Couette流動(dòng)

Couette流動(dòng)是流體力學(xué)的經(jīng)典問(wèn)題，是指黏性流體在相對(duì)運(yùn)動(dòng)著的兩平行平板之間的層流流動(dòng).流體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，平板突然運(yùn)動(dòng)會(huì)引起非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng).對(duì)于平板速度恒定的非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)，已經(jīng)有學(xué)者開(kāi)展了大量研究，并得出了速度分布隨時(shí)間變化的解析解[12].基于經(jīng)典黏性流體非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)研究結(jié)果，許多學(xué)者針對(duì)特殊流體或特殊工況開(kāi)展了進(jìn)一步研究，如考慮壓力梯度的非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)[3]，非牛頓流體的非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)[45]以及電磁場(chǎng)[6]或多孔介質(zhì)空間內(nèi)的非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)[7].但上述研究中，均將Couette流動(dòng)中移動(dòng)邊界定為控制速度邊界.也有學(xué)者針對(duì)其他類型的邊界條件開(kāi)展了相應(yīng)研究，Ting[8]通過(guò)控制恒定的壁面剪切應(yīng)力，研究了二階流體非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)；Bernardin等[9]則通過(guò)控制 Taylor-Couette系統(tǒng)的扭矩，開(kāi)展了內(nèi)部流體非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)過(guò)程研究.

上述關(guān)于非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)的研究，通常更關(guān)注流體速度分布函數(shù)的求解.Muzychka等[10]則對(duì)牛頓流體非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)中的非定常參數(shù)開(kāi)展研究，通過(guò)尋求非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)與Stokes第一問(wèn)題間的關(guān)聯(lián)，建立了描述移動(dòng)邊界內(nèi)表面剪切應(yīng)力隨時(shí)間變化的簡(jiǎn)易模型，對(duì)非定常剪切應(yīng)力進(jìn)行了漸近分析.然而文獻(xiàn)[10-11]在進(jìn)行漸進(jìn)分析時(shí)，通常只針對(duì)恒定速度邊界條件，并未考慮其它邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)發(fā)展過(guò)程.

Couette流動(dòng)被認(rèn)為是流變測(cè)試的理論基礎(chǔ)[10].對(duì)于與時(shí)間相關(guān)的黏性流體，例如膠凝原油，流變學(xué)中常通過(guò)連續(xù)記錄應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系分析其力學(xué)特性[1213].然而，在初始非穩(wěn)態(tài)階段，速度分布的非線性，會(huì)造成測(cè)試結(jié)果出現(xiàn)偏差.兩平板邊界的相對(duì)位移是用來(lái)計(jì)算剪切應(yīng)變的核心參數(shù)，非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，兩平行板間的相對(duì)位移越大，表明測(cè)試過(guò)程處于非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的應(yīng)變范圍越大.另外，流體黏性摩擦能耗會(huì)造成體系熵增，文獻(xiàn)[13-14]以剪切能量耗散為指標(biāo)衡量材料物性變化，非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)階段的能量耗散過(guò)程明顯不同于穩(wěn)態(tài)階段，同樣值得關(guān)注.

對(duì)于類似膠凝原油的材料，常采用控制恒定剪切應(yīng)力[1516]或恒定剪切速率[12]的方式開(kāi)展流變測(cè)試.對(duì)于流變測(cè)試系統(tǒng)，恒定剪切速率即是恒定邊界移動(dòng)速度.所以，本文將針對(duì)相同穩(wěn)定狀態(tài)的Couette流動(dòng)，分別在恒定速度邊界、恒定剪切應(yīng)力邊界條件下研究非穩(wěn)態(tài)階段邊界位移，尋求位移的函數(shù)表達(dá)式，分析影響位移大小的相關(guān)參數(shù)，對(duì)比不同邊界條件下非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)階段的邊界位移量；并基于非穩(wěn)態(tài)階段的邊界位移研究結(jié)果，進(jìn)一步計(jì)算非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中的體系輸入功，再結(jié)合流體動(dòng)能增加量，獲得不同邊界條件下非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)階段的流體黏性摩擦能量耗散.

1 問(wèn)題描述

如圖 1所示，初始時(shí)刻兩平板及中間液體靜止，平板間距為d，下平板突然運(yùn)動(dòng)，其邊界條件分為恒定速度邊界與恒定剪切應(yīng)力邊界.控制恒定速度邊界時(shí)，下平板突然以速度u0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)；控制恒定應(yīng)力邊界時(shí)，下平板內(nèi)表面突然施加剪切應(yīng)力τ0.上平板始終保持靜止.當(dāng)t≥td，Couette流動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).此時(shí)，兩種邊界條件下流動(dòng)狀態(tài)一致，故剪切應(yīng)力τ0與速度u0滿足

式中,td為 Couette流動(dòng)達(dá)到充分發(fā)展的時(shí)刻,μ為流體的動(dòng)力黏度.本文在對(duì)不同邊界條件下，對(duì)0≤t≤td時(shí)間段內(nèi)下平板位移、流體黏性摩擦能量耗散分別進(jìn)行求解.

圖1 Couette流動(dòng)示意圖

2 問(wèn)題求解

2.1 恒定剪切應(yīng)力邊界條件下的邊界位移

控制方程

其中，u表示流體流速，為空間x與時(shí)間t的函數(shù)，ν為流體的運(yùn)動(dòng)黏度.

(1)初始條件

初始狀態(tài)，流體與平板均保持靜止

(2)邊界條件

本文研究的Couette流動(dòng)，兩平行板中，上板始終保持靜止，故

對(duì)于控制恒定應(yīng)力邊界，下平行板內(nèi)表面剪應(yīng)力τ滿足

根據(jù)式(2)～式(5)，可求解出速度函數(shù)為

其中

利用式(1)，下平板速度可以描述為

式(8)關(guān)于時(shí)間t積分，即為邊界位移量.結(jié)合式(7)，可獲得位移表達(dá)式為

式中，l1表示恒定剪切應(yīng)力τ0時(shí)不同時(shí)刻的平板位移；t?=d2/ν為特征時(shí)間.下平板任意時(shí)刻速度與穩(wěn)態(tài)速度的比值可以表示為

圖2 恒定應(yīng)力邊界條件下無(wú)量綱速度的變化

從圖中可以看出，恒剪切應(yīng)力邊界條件下，Couette流動(dòng)移動(dòng)邊界處速度隨時(shí)間從 0開(kāi)始增大，并逐漸趨于穩(wěn)定.本文認(rèn)為，恒定剪切應(yīng)力邊界條件下，當(dāng)邊界速度u(0,t)與穩(wěn)定流動(dòng)狀態(tài)速度u0的相對(duì)差值為0.01時(shí)，Couette流動(dòng)充分發(fā)展[17]，即

式中，td1為恒定剪切應(yīng)力條件下Couette流動(dòng)達(dá)到充分發(fā)展的時(shí)刻.根據(jù)式(10)、式(11)，可以計(jì)算出td1=1.785t?時(shí)，速度充分發(fā)展.結(jié)合式(9)，可以計(jì)算出非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中下平板位移為

從式(12)可以看出：恒定剪切應(yīng)力邊界條件下，在Couette流動(dòng)的初始非穩(wěn)態(tài)階段，平板邊界的移動(dòng)距離l1(td1)與穩(wěn)態(tài)平板速度u0、特征時(shí)間t?相關(guān),即平板間距d、流體運(yùn)動(dòng)黏度ν與穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)平板速度u0決定非穩(wěn)態(tài)階段的平板位移l1(td1).

2.2 恒定速度邊界條件下的邊界位移

對(duì)于恒定邊界速度u0的情況，不同時(shí)刻邊界位移可以描述為

式中，l2表示恒定速度 u0時(shí)不同時(shí)刻的平板位移.對(duì)于控制恒定速度邊界的非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)，文獻(xiàn)[1]已開(kāi)展了相關(guān)研究，并給出了流體速度分布函數(shù)

其中

壁面處剪切速率可以表述為

式中，τ(0,∞)表征非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定后移動(dòng)邊界處的剪切應(yīng)力；τ(0,t)為任意時(shí)刻移動(dòng)邊界處的剪切應(yīng)力.參數(shù)τ(0,t)/τ(0,∞)隨t/t?的變化規(guī)律，如圖3所示.

圖3 恒定速度邊界條件下的無(wú)量綱剪切應(yīng)力變化

從圖3可知，恒速度邊界條件下，移動(dòng)邊界處的剪切應(yīng)力隨時(shí)間逐漸減小，并最終趨于穩(wěn)定值.由于流體粘度 μ恒定，(0,t)可以直接反映移動(dòng)邊界處的剪切應(yīng)力變化，本文認(rèn)為當(dāng)下平板內(nèi)壁剪切速率(0,t)與穩(wěn)態(tài)剪切速率(0,∞)相對(duì)差值為0.01時(shí)，Couette流動(dòng)充分發(fā)展[17]，即

式中,td2為恒定速度邊界條件下Couette流動(dòng)達(dá)到充分發(fā)展的時(shí)刻.根據(jù)式 (16)與式 (18)，可以計(jì)算出td2=0.537t?時(shí)相應(yīng)的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中平板移動(dòng)的距離,表示為

可以看出：與l1(td1)一致，在恒定速度邊界條件下，非穩(wěn)態(tài)階段的平板位移l2(t=td2)同樣由平板間距d、流體運(yùn)動(dòng)粘度ν與穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)平板速度u0決定.

2.3 不同邊界條件下的平板位移對(duì)比

根據(jù)式(12)、式(19)，可得

所以，相同穩(wěn)定流動(dòng)狀態(tài)的 Couette流動(dòng)，控制恒定剪切應(yīng)力條件下非穩(wěn)態(tài)階段邊界位移l1(td1)要明顯大于恒定速度邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)階段邊界位移l2(td2).l1(td1)大約是l2(td2)的2.71倍.

3 流體黏性流動(dòng)能量耗散

非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，下平板對(duì)流體介質(zhì)做功，一方面增加流體的動(dòng)能，另一方面轉(zhuǎn)換為流體黏性摩擦產(chǎn)生的熱能.兩種邊界條件具有相同的穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，流體速度分布相同，動(dòng)能增加量也一致，所以本文將對(duì)比兩種邊界條件下非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中流體黏性摩擦能耗的差別.

3.1 動(dòng)能增量的計(jì)算

Couette流動(dòng)充分穩(wěn)定后，流體速度分布滿足

理想的Couette流動(dòng)平板面積認(rèn)為無(wú)窮大，單位平板面積上，穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)流體動(dòng)能可以描述為

3.2 恒定剪切應(yīng)力條件下的能量耗散

單位面積上，下平板拖動(dòng)力在位移上的積分即為功，可以表達(dá)為

結(jié)合式(1)，式(23)可以轉(zhuǎn)換為

式中，Wτ為恒定剪切應(yīng)力條件下，非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，單位面積平板施加總功，ρ為流體密度.減掉動(dòng)能增加量，即為摩擦能耗

式中，Wf1為恒定應(yīng)力邊界條件下，非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，單位平板面積上的流體黏性摩擦能耗.可以看出：控制恒定剪切應(yīng)力邊界時(shí)，單位平板面積上，非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)過(guò)程中，流體黏性摩擦能耗與流體密度ρ,Couette平板間距d以及穩(wěn)態(tài)平板速度u0相關(guān)，而與流體黏度無(wú)關(guān).

3.3 恒定速度邊界條件下的能量耗散

恒定速度邊界條件下，非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，下平板壁面剪切應(yīng)力隨時(shí)間不斷變化，非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中平板做功總量為拖動(dòng)力在位移上的積分.根據(jù)式 (16)，可以獲得下平板壁面剪切應(yīng)力為

非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，單位面積的下平板做功為

式中，Wu為恒定邊界速度條件下，非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，單位面積平板施加總功.由于邊界速度恒定，所以

結(jié)合式(26)～式(28)可得

轉(zhuǎn)換為

根據(jù)上文可知，td2=0.537d2/ν，所以可以求出式(30)為

相應(yīng)的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，單位平板面積上的流體黏性摩擦能耗為

與恒定剪切應(yīng)力情況一致：恒定速度邊界條件下，單位平板面積上，非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)過(guò)程中，流體黏性摩擦能耗與流體密度ρ,Couette平板間距d以及穩(wěn)態(tài)平板速度u0相關(guān)，與流體黏度無(wú)關(guān).

3.4 不同邊界條件下非穩(wěn)態(tài)階段的流體黏性摩擦能耗

根據(jù)式(25)與式(32)，不同邊界條件下，非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，單位平板面積的流體黏性摩擦能耗比值為可以看出，對(duì)于相同穩(wěn)定流動(dòng)狀態(tài)的Couette流動(dòng)，控制恒定剪切應(yīng)力條件下非穩(wěn)態(tài)階段流體黏性摩擦能耗Wf1明顯大于恒定速度邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)階段流體黏性摩擦能耗Wf2.Wf1大約是Wf2的1.84倍.

4 結(jié)論

(1)對(duì)于邊界速度為u0的Couette穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，無(wú)論采用恒定速度邊界還是恒定剪切應(yīng)力邊界，非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中的邊界位移 l均由平板間距 d、流體運(yùn)動(dòng)黏度ν與穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)平板速度u0決定.恒定剪切應(yīng)力邊界條件下，非穩(wěn)態(tài)過(guò)程邊界位移l1(td1)顯著大于恒定速度邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程邊界位移l2(td2)，且前者大約是后者的2.71倍.

(2)對(duì)于同一穩(wěn)態(tài) Couette流動(dòng)，無(wú)論采用恒定速度邊界還是恒定剪切應(yīng)力邊界，非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段，單位平板面積上的流體黏性摩擦能耗都僅與流體密度 ρ、Couette平板間距 d以及穩(wěn)態(tài)平板速度u0相關(guān)，而與流體黏度無(wú)關(guān).恒定剪切應(yīng)力邊界條件下，單位平板面積上的流體黏性摩擦能耗Wf1大于恒定速度邊界條件下單位平板面積上的流體黏性摩擦能耗Wf2，且Wf1大約是Wf2的1.84倍.

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(責(zé)任編輯:劉希國(guó))

BOUNDARY DISPLACEMENT AND ENERGY DISSIPATION IN UNSTEADY COUETTE FLOW STAGE

YAN Yan1)
(SINOPEC Planning and Development Department,Beijing 100728,China)

The boundary displacement in the unsteady Couette f l ow stage of Newtonian f l uid is investigated in this paper.The top wall is always kept stationary and a constant velocity or a sudden constant tangential surface force is imposed on the bottom wall.The f l uid velocity distributions are obtained by solving the problems.The time periods for the f l ow to reach the steady state under dif f erent situations are obtained by using the asymptotic analytic method.Then the boundary displacements in the unsteady stage are obtained from the time periods and the boundary velocities.With the shear stress on the inner surface of the bottom wall and the boundary displacements,the work done by the Couette system under dif f erent situations is obtained.From the increase of the f l uid kinetic energy,the energy dissipations caused by the viscous friction in the unsteady Couette stage are obtained.

boundary displacement,energy dissipation,unsteady state,couette f l ow

TE81

：Adoi：10.6052/1000-0879-16-393

2016–12–05收到第1稿,2017–04–24收到修改稿.

1)閆彥,高級(jí)工程師.E-mail：dayanxiaoli@163.com

閆彥.非穩(wěn)態(tài)Couette流動(dòng)階段的邊界位移與黏性能量耗散.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(4):354-358

Yan Yan.Boundary displacement and energy dissipation in unsteady Couette f l ow stage.Mechanics in Engineering, 2017,39(4):354-358