與年齡相關(guān)的隨機(jī)種群模型解的均方散逸性

張啟敏, 李西寧, 楊 莉

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,銀川 750021)

與年齡相關(guān)的隨機(jī)種群模型解的均方散逸性

張啟敏*, 李西寧, 楊 莉

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,銀川 750021)

討論了一類與年齡相關(guān)的隨機(jī)種群模型數(shù)值解的均方散逸性: 基于步長h受限制和無限制的2種條件, 利用倒向歐拉法和補(bǔ)償?shù)牡瓜驓W拉法分析了該隨機(jī)種群模型數(shù)值解的均方散逸性并加以證明, 結(jié)論證明補(bǔ)償?shù)牡瓜驓W拉法更適合解決與年齡相關(guān)的隨機(jī)種群模型數(shù)值解的均方散逸性問題.

隨機(jī)種群模型; 倒向歐拉法; 補(bǔ)償?shù)牡瓜驓W拉法; 均方散逸性

微分方程數(shù)值解的均方散逸性已引起了諸多學(xué)者的關(guān)注[1-9]，本文考慮如下與年齡相關(guān)的隨機(jī)種群模型[10]:

(1)

由于與年齡相關(guān)的隨機(jī)種群模型的精確解很難得到,使得模型(1)的數(shù)值解十分重要. 因此,模型(1)數(shù)值方法的建立在計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域中顯得尤為重要. 近幾年,TAN等[11]利用Split-stepθ方法討論了模型(1)的數(shù)值收斂性;金小薇和張啟敏[12]運(yùn)用逐次逼近法研究了模型(1)系統(tǒng)解的存在性及唯一性;張彥山和張啟敏[13]采用同時(shí)逼近年齡和時(shí)間的方法,探究了在固定時(shí)間內(nèi)模型(1)種群數(shù)量的收斂問題;李西寧和張啟敏[14]分析了模型(1)強(qiáng)解的存在性與唯一性;楊莉和張啟敏[15]討論了模型(1)數(shù)值解的全局穩(wěn)定性. 然而關(guān)于模型(1)解的均方散逸性的研究并未見到. 因此,本文分別利用倒向歐拉法和補(bǔ)償?shù)牡瓜驓W拉法討論了模型(1)數(shù)值解的均方散逸性.

1 預(yù)備知識(shí)

令V=H1([0,A])≡{φ|φL2([0,A]),L2([0,A])},其中是偏導(dǎo)數(shù),V是Sobolev空間,V′是V的對(duì)偶空間,H=L2[0,A]滿足

|x|≤m‖x‖,?xV.

B(K,H)是K到H的有界線性算子,‖B‖2是Hilbert-Schmidt范數(shù),即

其中W是完備空間(Ω,,P)取值在可分的Hilbert空間上的Brown運(yùn)動(dòng)ωt的增量協(xié)方差算子. 令N(t)為強(qiáng)度的泊松過程，(t)∶=N(t)-t是泊松過程的補(bǔ)償過程.

為了研究模型(1)數(shù)值解的均方散逸性問題,我們做出如下假設(shè):

(i)存在常數(shù)ψ≥0,υ<0,ω≥0,η≥0，滿足

(2)

(ii)模型(1)中的μ(t,a),β(t,a)滿足

(3)

其中(t,a)Q,μ0和β是常數(shù).

2 隨機(jī)種群模型數(shù)值解的均方散逸性

(i)對(duì)任意給定的ε>0,存在正數(shù)t*,滿足

(ii)對(duì)任意給定的ε>0,模型(1)的數(shù)值解是均方散逸的,其中=(0,-2ψ/m+ε)是均方吸引集.

首先,利用倒向歐拉法討論模型(1)數(shù)值解的均方散逸性:

g(tn,Yn)ΔBn+h(tn,Yn)ΔNn,

(4)

其中初始值Y(0,a)=P(0,a),步長h=T/N>0,Yn表示當(dāng)tn=nh時(shí)精確解P(tn,a)的近似解.ΔBn=B(tn+1)-B(tn)和ΔNn=N(tn+1)-N(tn)分別表示布朗運(yùn)動(dòng)的增量和泊松過程的增量.

其中η>0時(shí)，h0=-m/(2η)；η=0時(shí),h0=+.

證明 根據(jù)式(4)有

|Yn+g(tn,Yn)ΔBn+h(tn,Yn)ΔNn|2.

(5)

從而有

f(tn+1,Yn+1))〉+|Yn|2+|g(tn,Yn)|2|ΔBn|2+

|h(tn,Yn)|2|ΔNn|2+2〈Yn,g(tn,Yn)ΔBn〉+

2〈Yn,h(tn,Yn)ΔNn〉+2〈g(tn,Yn)ΔBn,h(tn,Yn)ΔNn〉.

(6)

由于E(ΔBn)=0,E(ΔBn)2=h,E(ΔNn)=h,E(ΔNn)2=h+2h2成立[11],則E|Yn+1|2≤E|Yn|2+hE|g(tn,Yn)|2+

(7)

(8)

則結(jié)合式(2)及式(3),推出

E|Yn+1|2≤[1+(ω+2+η)h+2ηh2]E|Yn|2+

(9)

即

[1+(ω+2+η)h+2ηh2]E|Yn|2+2ψh.

(10)

(11)

通過Cauchy-Schwarz不等式[12]有

E|Yn+1|2≤C1E|Yn|2+D1,

(12)

其中

通過遞推算法推出

最后,利用補(bǔ)償?shù)牡瓜驓W拉法討論模型(1)數(shù)值解的均方散逸性:

(13)

證明 根據(jù)式(2)推出

〈P(t,a), f(t,P)〉=〈P(t,a), f(t,P)〉+

(14)

類似地,由式(13)可得

(15)

f(tn+1,Yn+1))〉+E|Yn|2+hE|g(tn,Yn)|2+

(16)

結(jié)合式(2)、(3)及式(8)可推出

2ψh[1+(ω+η)h]E|Yn|2,

(17)

即

(18)

(19)

其中

通過遞推算法可知

對(duì)任意的h>0有0

定理2得證.

3 數(shù)值算例

利用下面的例子驗(yàn)證本文所得結(jié)論.

例1 考慮以下與年齡相關(guān)的種群模型:

(20)

其中ωt是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng),Nt是泊松過程.

圖1 模型(20)的倒向歐拉法的數(shù)值模擬

圖2 模型(20)的補(bǔ)償?shù)牡瓜驓W拉法的數(shù)值模擬

4 結(jié)論

本文引入了一類與年齡相關(guān)的隨機(jī)種群模型系統(tǒng),利用倒向歐拉法和補(bǔ)償?shù)牡瓜驓W拉法討論了這類與年齡相關(guān)的隨機(jī)種群模型數(shù)值解的均方散逸性問題，發(fā)現(xiàn)倒向歐拉法適合解決步長受限制的隨機(jī)種群模型數(shù)值解的均方散逸性,而補(bǔ)償?shù)牡瓜驓W拉法適合解決步長無限制的隨機(jī)種群模型數(shù)值解的均方散逸性. 因此,補(bǔ)償?shù)牡瓜驓W拉法比倒向歐拉法更適合解決與年齡相關(guān)的隨機(jī)種群模型數(shù)值解的均方散逸性問題.

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【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文審校:肖菁】

Mean-SquareDissipativityofTwoNumericalMethodsforStochasticAge-DependentPopulationEquationswithJumps

ZHANGQimin*,LIXining,YANGLi

(SchoolofMathematicsandStatistics,NingxiaUniversity,Yinchan750021,China)

The mean-square dissipativity of the numerical solution for a class of stochastic age-dependent population equations with jumps is discussed. Based on the step length under the condition of limited and unlimited, it is essential for studying the mean-square dissipativity to use backward Euler method and compensated backward Euler method for stochastic age-dependent population equations with jumps. The results show that the compensated backward Euler method is more suitable for solving the mean-square dissipativity about stochastic age-dependent population equations with jumps.

age-dependent population models; backward Euler method; compensated backward Euler method; mean-square dissipativity

2016-01-21 《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11461053,11261043)

O

A

1000-5463(2017)04-0106-05

*通訊作者:張啟敏,教授,Email:zhangqimin64@sina.com.