特殊多邊形在尺規(guī)作圖中的運(yùn)用

許武榮

在許多尺規(guī)作圖中運(yùn)用了三角形全等的性質(zhì)、特殊多邊形的性質(zhì)等進(jìn)行作圖，其中利用某些特殊多邊形的性質(zhì)作圖將對在作特殊度數(shù)的角方面有所幫助，又能使一些經(jīng)典作圖得以簡化，進(jìn)而提高作圖的效率和精度。以下從幾方面列舉一些特殊多邊形在尺規(guī)作圖中的運(yùn)用。

一、特殊三角形在尺規(guī)作圖中的運(yùn)用

1、利用正三角形的特殊性質(zhì)作圖

正三角形有一個(gè)重要性質(zhì)，即它的三個(gè)內(nèi)角都是60°，且利用尺規(guī)作圖可以很容易得到正三角形。于是我們利用尺規(guī)作圖作一個(gè)正三角形就可得到60°的角。

2、利用兩直角邊比為1∶2的直角三角形的特殊性質(zhì)作圖

如圖2，在Rt△ABC中∠ABC=90°，AB=2BC，DC=BC，AE=AD，于是E為線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AE∶EB=1∶。

利用這個(gè)直角三角形也可作正五邊形，如圖3，在圓B中，∠ABC=90°，，， ， ，則△BCE是一個(gè)邊長比為1∶1∶的三角形，其頂角∠CBE=72°，這樣繼續(xù)以CE為半徑截圓就可以得到此圓的五等分點(diǎn)，進(jìn)而作出正五邊形。

利用這個(gè)直角三角形還可以作出底角為72°的三角形，如圖4，在黃金分割作圖的基礎(chǔ)上，作△AEF，使，，

則AE∶AF∶EF=1∶1∶，

∠AEF=72°，∠EAF=36°.

至此，我們已用尺規(guī)作圖的方法先后得到60°和72°，于是對于整數(shù)度數(shù)的角，我們可利用尺規(guī)作圖的方法得到°（∈N）的角。

二、特殊四邊形在尺規(guī)作圖中的運(yùn)用

1、利用平行四邊形的對邊互相平行的性質(zhì)作平行線

已知：直線l和l外一點(diǎn)A.

求作：過A與直線l平行的直線.

作法：

1、在直線l上任意取兩點(diǎn)B，C.（實(shí)踐中可使BC>AB，以減小作圖誤差。）

2、以A點(diǎn)為圓心，BC長為半徑作弧.

3、以C點(diǎn)為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D.

4、作直線AD.

則直線AD即為所求，其中由作法知四邊形ABCD是平行四邊形，如圖5.

此法與平行線經(jīng)典作圖（利用同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）相比，作圖步驟較少，精簡易行，我們知道當(dāng)作圖步驟過多時(shí)，誤差被多次逐級放大，作圖結(jié)果將存在較大誤差。所以，此法減少了作圖步驟，可以明顯地提高作圖效率和作圖精度，建議以此法替代平行線經(jīng)典作圖。

2、利用等腰梯形的上下底邊互相平行的性質(zhì)作平行線

已知：直線l和l外一點(diǎn)A.

求作：過A與直線l平行的直線.

作法：

1、在直線l上任意取兩點(diǎn)B，C.（實(shí)踐中可使AC>AB，以減小作圖誤差。）

2、以B點(diǎn)為圓心，AC長為半徑作弧.

3、以C點(diǎn)為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D.

4、作直線AD.

則直線AD即為所求，其中由作法知△ABC≌△DBC（SSS），于是四邊形ABCD是等腰梯形，如圖6.

3、利用菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，求作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)

已知：直線l和l外一點(diǎn)A.

求作：點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn).

作法：

1、在直線l的另一側(cè)任意取一點(diǎn)K，以A點(diǎn)為圓心，AK長為半徑作弧. 交直線l于兩點(diǎn)B，C.（實(shí)踐中可使BC≈AB，以減小作圖誤差。）

2、以B點(diǎn)為圓心，AK長為半徑作弧.

3、以C點(diǎn)為圓心，AK長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D.

則點(diǎn)D即為所求，其中由作法知四邊形ABDC是菱形，直線l垂直平分線段AD，如圖7.

從上面的例子我們可以看到特殊多邊形的性質(zhì)在作特殊度數(shù)的角、簡化作圖和提高作圖的效率和精度方面有所幫助，特殊多邊形的性質(zhì)在尺規(guī)作圖中的運(yùn)用還有很多，本文僅舉寥寥數(shù)例，希望它能起到拋磚引玉的作用，以探索更多的運(yùn)用實(shí)例。endprint