一題多解之等線段的證明

胡宇+王宗海

【摘 要】等線段的證明在平面幾何學(xué)中非常常見，也是證明平面幾何問題的基礎(chǔ).本文通過幾何關(guān)系和代數(shù)關(guān)系兩個(gè)大方向，分析等線段證明的技巧和方法，挖掘“形”和“數(shù)”兩個(gè)方面數(shù)據(jù)，在復(fù)雜的現(xiàn)象中找到簡單的規(guī)律，從而將問題簡化，得出結(jié)論。

【關(guān)鍵詞】平面幾何；證明；幾何關(guān)系；代數(shù)關(guān)系

弄清數(shù)學(xué)概念、知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，是解決數(shù)學(xué)問題必不可少的前提[1]。幾何學(xué)是研究空間關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，而平面幾何是幾何學(xué)的一個(gè)重要組成部分，是人們認(rèn)識(shí)幾何學(xué)的基礎(chǔ).本文對平面幾何中一個(gè)具有代表性的問題給出不同的證法，總結(jié)平面幾何問題的解題方法，將這些方法抽象與概括，從而得到解決這類問題的方向。

一、問題

如圖1，在的兩條邊和上向外作正方形和，則邊上的高線平分線段[2]。

二、各類證法

證法一：如圖2所示.欲證AD平分FH，即證：FM=MH，由于圖1中看不出以FM和MH為對應(yīng)邊的全等三角形，所以我們從F，

∠QAH+∠HAC+∠CAD=180°H向AD作垂線FP、HQ。

∵在Rt△AQH和Rt△CDA中有AH=AC，∵且∠QHA+QAH=∠HAC=90°，∴∠QAH=∠DCA，∴△AQH≌△CDA，故HQ=AD；同理可得△APF≌△BDA，故FP=AD，∴HQ=FP，又∵∠FMP=∠HMQ，∴Rt△MQH≌Rt△MPF，故FM=MH 證畢

上述證明過程中主要運(yùn)用了全等三角形的思想，但其不能直接使用，所以這里是將欲證線段構(gòu)造在兩個(gè)不同的三角形中，這樣便可以聯(lián)想到用全等三角形證明. 在探求這兩個(gè)三角形中各要素之間的關(guān)系時(shí)，利用轉(zhuǎn)化的方法找到其對應(yīng)關(guān)系。

證法二：欲證AD平分FH，我們可以通過FA、AH為鄰邊構(gòu)造平行四邊形AHQF，那么平行四邊形的對角線相互平分，如圖3.故欲證AD平分FH，只需證QA和MD重合，所以，僅需證明D、A、Q三點(diǎn)共線即可。

∵QH=BA∠BAC=∠QHAHA=AC，∴△AHQ≌△CAB ，即∠QAH=∠BCA.又∵∠DAC+∠BCA=90°，∴∠DAC+∠QAH+∠HAC=180°，即D、A、Q在一條直線上，故DA的延長線平分FH. 證畢

證法2主要考慮到平行四邊形的對角邊互相平分，為了使對角線剛好是垂線AD，就要證明這兩條直線是重合的.用到了三點(diǎn)共線和全等三角形等知識(shí)，比證法1要簡潔一點(diǎn).

證法三：如圖4所示，以FH為邊，延長HA使AP=HA構(gòu)造△HFP.

∵∠BAC+∠FAH=180°，又∠PAF+∠FAH=180°，

∴∠PAF=∠BAC，∴FA=BAAP=AC∠PAF=∠BAC，

∴△FPA≌△BAC.即∠FPA=∠BCA，

又∵∠BCA+∠CAD=90°，∠MAH+∠CAD=90°，

∴∠BCA=∠MAH.

∴∠FPA=∠MAH，故FP//MA.又∵A為HP的中點(diǎn)，∴M為FH的中點(diǎn). 證畢

這一證法利用三角形中位線和三角形全等的知識(shí)，而三角形中位線與梯形中位線有相似的特性，所以本題也可以構(gòu)造梯形進(jìn)行證明.以上幾種方法主要從“形”的角度進(jìn)行思考，下面就“數(shù)”的方向給出兩種證明方法[3]。

證法四：如圖5所示，欲證AD平分線段FH，只需轉(zhuǎn)化為證■=1。

設(shè)AB=？琢，AC=b，∵■=■，■=■，∠FMA+∠HMA=180°，

∴■=■由題意∠1=∠3，∠2=∠4，故■=■=■=■=1，∴FM=HM 證畢

證法四應(yīng)用邊比定理：若D是△ABC的BC邊上任一點(diǎn)，則■=■.運(yùn)用比例式和轉(zhuǎn)化的思想，將所要求的線段最終化歸為一個(gè)圖形中的元素，達(dá)到證明的目的。

證法五：如圖6.以BC為X軸，AD為Y軸作直角坐標(biāo)系，只需證得FH的中點(diǎn)在Y軸上即可。

設(shè)AB=？琢，AC=b，∠ABC=？琢，∠ACB=？茁，則F點(diǎn)坐標(biāo)為：（-？琢sin？琢，？琢sin？琢+？琢cos？琢），H點(diǎn)坐標(biāo)為：（bsin？茁，bsin？茁+bcos？茁），所以FH的中點(diǎn)坐標(biāo)為：[■（bsin？茁-？琢sin？琢），■（？琢sin？琢+bsin？茁+？琢cos？琢+bcos？茁）]，又因?yàn)?？琢sin？琢=bsin？茁，所以FH的中點(diǎn)坐標(biāo)為[0，■（？琢sin？琢+bsin？茁+？琢cos？琢+bcos？茁）]，即FH的中點(diǎn)在Y軸上，所以FH被AD平分. 證畢

證法五主要運(yùn)用了線段中點(diǎn)的坐標(biāo)特性，這種方法直觀形象，也是運(yùn)用數(shù)表現(xiàn)形的典范。

三、總結(jié)

總之，熟悉常見輔助線的構(gòu)造，掌握所需的定理、公式，對所學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的梳理，溫故而知新，為認(rèn)識(shí)其他問題提供方向，達(dá)到舉一反三的效果. 在證明平面幾何問題時(shí)，可以分別從幾何關(guān)系和代數(shù)關(guān)系兩個(gè)方向思考，數(shù)形結(jié)合，從而達(dá)到解決問題的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]錢桂保.認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，探究簡捷的方法[J].基礎(chǔ)教學(xué)，2015，8（31）：265-266

[2]朱德祥，朱維宗.初等幾何研究第二版[M].北京：高等教育出版社，2003：22-23

[3]李培.由數(shù)表形、以形驗(yàn)數(shù)是數(shù)形結(jié)合法本質(zhì)[J].關(guān)注數(shù)理化研究，2009，32：52-53endprint