全等三角形單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究

豆媛媛

摘 要：全等三角形是中學(xué)幾何中的重要知識，在數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)中有著承上啟下的作用。本文從兩個三角形的關(guān)系出發(fā)，旨在研究兩個三角形全等關(guān)系，著重學(xué)習(xí)全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定定理，學(xué)會靈活運(yùn)用知識解決實(shí)際問題。

關(guān)鍵詞：全等三角形 對應(yīng)邊 對應(yīng)角

引言

基于數(shù)學(xué)知識自身的發(fā)展需要，從兩個三角形的關(guān)系出發(fā)，考慮形狀和大小兩個維度因素，把兩個三角形的關(guān)系分為四種，本文旨在研究其中一種，即形狀和大小都相同的兩個三角形，也就是全等三角形。首先，認(rèn)識全等三角形，體會邊角的對應(yīng)關(guān)系；其次，師生共同探究判定三角形全等的條件，理解判斷三角形全等的內(nèi)在機(jī)理；再次，用符號和文字語言表示全等三角形的判定定理；最后，能夠根據(jù)具體情況選擇判定定理，進(jìn)而靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理解決實(shí)際問題。[1]

一、 課時內(nèi)容安排及教學(xué)目標(biāo)整體設(shè)計(jì)

兩個三角形的關(guān)系有表1幾種情況：

兩個三角形形狀和大小都相同，即全等；（2）兩個三角形大小相同、形狀不同，即面積相等，等面積三角形在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過；（3）兩個三角形大小不同、形狀相同，即相似，相似三角形將在后續(xù)學(xué)習(xí)中進(jìn)行研究；（4）兩個三角形形狀和大小都不同，不作研究。

本節(jié)課旨在研究全等三角形，主要包括全等三角形的概念與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，以及全等三角形判定的探究。我們對整個教學(xué)單元進(jìn)行如下的設(shè)計(jì)，見表2。

學(xué)生在學(xué)習(xí)這個單元知識時，主要困難在于：一是尋找全等三角形的邊角對應(yīng)關(guān)系比較難；二是學(xué)生對于全等三角形的判定定理的來龍去脈不是十分清楚；三是靈活運(yùn)用性質(zhì)定理和判定定理解決問題也有困難。為了積極地引導(dǎo)學(xué)生、幫助學(xué)生，教師在教學(xué)中應(yīng)該注意：

第一，為了使學(xué)生能夠?qū)蓚€三角形在形狀和大小兩個方面的各種關(guān)系有一個整體的認(rèn)識和把握，教學(xué)就不能只是局限在學(xué)生對三角形全等關(guān)系的概念記憶，而是先幫助學(xué)生整體認(rèn)識兩個三角形的各種關(guān)系，建立起兩個三角形關(guān)系的上位概念。然后在上位概念的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)和理解三角形全等關(guān)系的下位概念，并發(fā)現(xiàn)全等三角形的對應(yīng)關(guān)系及其性質(zhì)。

第二，由于教材將全等三角形的四個定理分節(jié)來進(jìn)行教學(xué)，每節(jié)課配以相應(yīng)的鞏固練習(xí)，這樣的安排的好處是學(xué)生對于當(dāng)天學(xué)習(xí)的定理記憶和掌握得比較好，但是當(dāng)四個判定定理綜合以后學(xué)生在解決問題時往往會出現(xiàn)一頭霧水的混亂現(xiàn)象，不知道到底應(yīng)該用哪個判定定理。因此，我們要將教材進(jìn)行重組，引導(dǎo)學(xué)生主動探索和整體感悟全等三角形的判定定理的形成過程。

這樣的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)，更多地關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。在教學(xué)過程中，不斷滲透數(shù)學(xué)思想和方法，使得學(xué)生學(xué)會研究問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維；不斷調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，促使學(xué)習(xí)真正發(fā)生，保障教學(xué)活動高效進(jìn)行、學(xué)生健康全面發(fā)展。[2]

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

第一課時

[課堂引入]

教師活動：回顧三角形，引導(dǎo)學(xué)生從形狀和大小兩個方面分析兩個三角形的關(guān)系。

學(xué)生活動：討論交流，總結(jié)歸納，表達(dá)三角形的四種關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在討論交流中體會二元分類法，在教師引導(dǎo)下逐漸形成分類討論的思想。

教師活動：導(dǎo)入課堂，引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容——全等三角形（形狀和大小都相同的兩個三角形）。

[發(fā)現(xiàn)新知]

教師活動：給出幾組圖形，讓學(xué)生判斷是否全等。

學(xué)生活動：依據(jù)定義判斷全等三角形，體會全等三角形的定義。

教師活動：引導(dǎo)學(xué)生找全等三角形的特點(diǎn)，提示：從三角形的元素入手，例如邊、角，還可以從三角形的其他要素入手，如中位線、高線、周長、面積等等。

學(xué)生活動：動手操作，將同桌兩人的等腰直角三角板重合，找其特點(diǎn)；在作兩個任意的全等三角形，驗(yàn)證結(jié)論。

教師活動：組織交流，總結(jié)全等三角形的性質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)，學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)，有助于理解知識。

[探索應(yīng)用]

教師活動：提出全等三角形的表示方法，強(qiáng)調(diào)全等三角形的對應(yīng)關(guān)系。

教師活動：給出三角形動態(tài)變化的圖，如平移、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)，讓學(xué)生找對應(yīng)邊、對應(yīng)角；接著，給出其他一些復(fù)雜圖形，讓學(xué)生找對應(yīng)關(guān)系。

學(xué)生活動：學(xué)生找對應(yīng)關(guān)系，形成自己的經(jīng)驗(yàn)，互相交流經(jīng)驗(yàn)。

設(shè)計(jì)意圖：教師在學(xué)生的認(rèn)知水平上，逐步設(shè)計(jì)活動，使得學(xué)生參與其中，根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)學(xué)會找全等三角形的對應(yīng)關(guān)系，再在班里互相交流，豐富自己的經(jīng)驗(yàn)，突破找全等三角形對應(yīng)關(guān)系這一難點(diǎn)。

學(xué)生活動：在隨堂練習(xí)中，找對應(yīng)關(guān)系，用符號語言表示全等三角形，說出全等三角形的性質(zhì)。

[總結(jié)歸納]

學(xué)生活動：梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，總結(jié)重點(diǎn)。

教師活動：總結(jié)歸納，補(bǔ)充說明。

第二課時

[復(fù)習(xí)舊知、引入新課]

教師、學(xué)生活動：復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容。

教師活動：給出一個三角形，讓同學(xué)做一個與它全等的三角形。首先思考：至少需要幾個條件？一個？兩個？三個？……

學(xué)生活動：一個條件？一個角還是一個邊？動手操作，看看小組內(nèi)同伴的三角形都是全等的嗎？實(shí)踐證明都不行。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生動手實(shí)踐，體會全等的定義。通過動手，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使得每一位學(xué)生參與進(jìn)來。在教學(xué)過程中，滲透用反例證明結(jié)論不成立的思想。

學(xué)生活動：兩個條件？那幾種情況？分別在每種情況下，作三角形，再在組內(nèi)進(jìn)行比較，看看三角形是否全等，實(shí)踐證明已知兩個條件作出的三角形也不一定全等。

教師活動：如果已知三個條件，都有哪些情況？

學(xué)生活動：紛紛說出自己的想法。endprint

教師活動：總結(jié)三個條件的幾種情形，滲透分類的方法。

[主動探索、獲得新知]

情形一：三條邊

教師活動：已知一個三角形的三條邊，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫的進(jìn)行比較，它們一定全等嗎？

學(xué)生活動：利用尺規(guī)作圖（作一條線段等于已知線段），作出滿足條件的三角形，然后，用剪刀把你所作的三角形剪下來，和同伴的進(jìn)行比較，看看這兩個三角形是否完全重合（全等）。

學(xué)情預(yù)設(shè)：已知三條邊，我們所作的三角形一定會重合（全等），即三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形一定全等。

情形二：三個角

教師活動：已知一個三角形的三個角，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫的進(jìn)行比較，它們一定全等嗎？

學(xué)生活動：作圖并與同伴進(jìn)行比較，看這兩個三角形是否完全重合（全等）。

學(xué)情預(yù)設(shè)：已知三個角，我們所作的三角形不一定全等，即三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。

情形三：一邊兩角

如果“一邊兩角”中的邊是兩角所夾的邊。

教師活動：已知一個三角形的兩個內(nèi)角及它們所夾的邊，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫的進(jìn)行比較，它們一定全等嗎？

學(xué)生活動：作圖并與同伴進(jìn)行比較，看這兩個三角形是否完全重合（全等）。

學(xué)情預(yù)設(shè)：已知兩角及兩角所夾的邊，我們所作的三角形一定全等，即兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形一定全等。

如果“一邊兩角”中的邊是其中一角的對邊，情況會怎么樣呢？

教師引導(dǎo)啟發(fā)：你能將這個問題轉(zhuǎn)化為上述問題嗎？

學(xué)情預(yù)設(shè)：已知兩角及其中一角的對邊，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知，三角形的三個角都相等，轉(zhuǎn)化為已知兩角及兩角所夾的邊的問題，由上述結(jié)論可知，這兩個三角形一定全等。

情形四：兩邊一角

如果“兩邊一角”中的角是兩邊的夾角。

教師活動：已知一個三角形的兩條邊及其它們所夾的角，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫的進(jìn)行比較，它們一定全等嗎？

學(xué)生活動：作圖并與同伴進(jìn)行比較，看這兩個三角形是否完全重合（全等）。

學(xué)情預(yù)設(shè)：已知兩邊及兩邊所夾的角，我們所作的三角形一定全等，即兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形一定全等。

如果“兩邊一角”中的角是其中一邊的對角。

教師活動：已知一個三角形的兩條邊及其中一邊所對的角，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫的進(jìn)行比較，它們一定全等嗎？

學(xué)生活動：作圖并與同伴進(jìn)行比較，看這兩個三角形是否完全重合（全等）。

學(xué)情預(yù)設(shè)：已知兩邊及其中一邊的對角，我們所作的三角形不一定全等，即兩邊分別相等且其中一邊的對角相等時，兩個三角形不一定全等。

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生動手操作，在動手的過程中深刻理解全等的概念，體會分類討論以及化歸轉(zhuǎn)化的思想。在小組合作探究的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的動手實(shí)踐能力，提高學(xué)生協(xié)作探究解決問題的能力，使得學(xué)生在主動探索中得到三角形全等的條件，經(jīng)歷探索的過程，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂。

第三課時

[復(fù)習(xí)總結(jié)]

全等三角形判定條件的探索過程：

一個條件（×）

兩個條件（×）

三個條件

三條邊（）

三個角（×）

一邊兩角

兩角及其夾邊（）

兩角及其一角的對邊（）

兩邊一角

兩邊及其夾角（）

兩邊及其一邊的對角（×）

[整體認(rèn)知、升華理解]

教師活動：讓學(xué)生總結(jié)歸納全等三角形的判定條件，并且用語言文字及符號語言表達(dá)這些定理。

學(xué)生活動：總結(jié)歸納，試著用文字和符號表達(dá)。

教師活動：板書總結(jié)。

教師活動：組織學(xué)生共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和思想方法，小組之間相互補(bǔ)充完成課堂小結(jié)，實(shí)現(xiàn)對探究三角形全等的條件的深化。

教師引導(dǎo)作最終總結(jié)：

1.分類討論的思想方法，化歸的思想；

2.在動手操作中體會全等的概念，掌握三角形全等的判定條件；

3.從全等的定義出發(fā)，理解三角形全等的條件。

全等的定義是可以完全重合，也就是說符合全等條件的兩個三角形，一定是“同一個”的。站在這個思想上來看，三角形全等的證明可以看成是，分析題目所給條件能否完全的、唯一的確定一個三角形，如果是，即證明全等。

第四課時

學(xué)生活動：回憶全等三角形的探究過程，梳理思路。

教師活動：組織學(xué)生在小組內(nèi)講解交流，再在班級中講授。

教師活動：例題講解，注重幾何推理的規(guī)范表達(dá)。

學(xué)生活動：注意聽講，然后進(jìn)行習(xí)題練習(xí)。

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完所有的判定定理之后，設(shè)計(jì)習(xí)題課，意在使得學(xué)生真正理解全等三角形的判定定理，學(xué)會根據(jù)具體情境選擇合適的判定定理，能用數(shù)學(xué)符號語言規(guī)范地表達(dá)幾何推理過程。

第五課時

教師活動：給學(xué)生設(shè)置一些綜合性的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題，例如，在證明兩個三角形全等的過程中，如果知道兩組角，再找任意一組邊即可（角角邊或角邊角）；如果知道兩組邊，只能找夾角（角邊角），而且，角的相等可能與平行線有關(guān)。

學(xué)生活動：學(xué)會將知識的理解運(yùn)用到分析問題中去，提高自己解決問題的能力。

設(shè)計(jì)意圖：全等三角形的判定定理可以和全等三角形的性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)綜合考查，設(shè)計(jì)這些綜合性題目，有利于培養(yǎng)學(xué)生的信息獲取與分析能力和解決問題的能力。

結(jié)語

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，在掌握知識與培養(yǎng)技能的基礎(chǔ)上，更有利于學(xué)生能力的提高，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)教學(xué)育人價值的具體體現(xiàn)。本單元的探究方法在“相似三角形”的教學(xué)中具有可類比性，其中的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也尤為重要。再者，我們要鼓勵學(xué)生在全等三角形的判定條件的基礎(chǔ)上通過弱化條件的分析研究形成新的猜想，還可以研究在特殊三角形中全等的判定條件。

參考文獻(xiàn)

[1] 馬復(fù). 數(shù)學(xué) 七年級下冊[M]. 北京： 北京師范大學(xué)出版社， 2013.

[2] 吳亞萍. 中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課型研究[M]. 福建教育研究， 2014（10）.endprint