正/負(fù)頻率和頻率響應(yīng)概念的三維揭示

吳憲祥, 郭寶龍, 閆允一, 朱娟娟, 孟繁杰

(西安電子科技大學(xué) 空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710071)

正/負(fù)頻率和頻率響應(yīng)概念的三維揭示

吳憲祥, 郭寶龍, 閆允一, 朱娟娟, 孟繁杰

(西安電子科技大學(xué) 空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710071)

頻譜是“信號與系統(tǒng)”教學(xué)中的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)。其中，“負(fù)頻率”的概念非常抽象和難以理解。本文借助Matlab工具對正、負(fù)頻率分量的物理意義在三維空間進(jìn)行揭示，并討論頻率響應(yīng)函數(shù)的物理內(nèi)涵，以此加深學(xué)生對頻譜概念和頻域分析的理解，以期取得更好的教學(xué)效果。

信號與系統(tǒng); 正/負(fù)頻率; 頻率響應(yīng); Matlab

0 引言

在“信號與系統(tǒng)”課程教學(xué)中，借助Matlab工具輔助進(jìn)行教學(xué)已成為國內(nèi)、外廣大任課教師的共識[1]。

周期信號指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開或者一般信號傅里葉變換得到的頻譜為復(fù)數(shù)，頻率范圍從-∞～∞，所以稱為雙邊譜。由于頻譜概念比較抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)概念時容易混淆。一些教材中論述“雙邊譜中負(fù)頻率只有數(shù)學(xué)意義，沒有物理意義”，這段敘述應(yīng)當(dāng)如何理解，學(xué)生會有些迷惑[2-4]。本文將借助Matlab工具繪圖，進(jìn)一步對負(fù)頻率和頻譜的概念進(jìn)行揭示和探討。

1 頻率與負(fù)頻率

頻率是什么？頻率被定義為“物質(zhì)在1s內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)”。從定義來看它是一個標(biāo)量，這便造成人們對負(fù)頻率產(chǎn)生疑問的原因之一。回顧電路相量法分析，ejω被稱為旋轉(zhuǎn)因子，是模值等于1，初相為零，并以角速度ω逆時針旋轉(zhuǎn)的復(fù)函數(shù)。單位圓上的點(diǎn)，逆時針旋轉(zhuǎn)為正頻率，那順時針旋轉(zhuǎn)就是負(fù)頻率，不旋轉(zhuǎn)為0?？梢?，頻譜中引入復(fù)數(shù)概念之后，負(fù)頻率是有明確物理意義的。

2 正負(fù)頻率分量物理意義揭示

根據(jù)傅里葉變換的定義：

(1)

(2)

傅里葉變換可理解為將一個信號分解為無數(shù)個ejω分量之和。如前所述，正頻率可視為旋轉(zhuǎn)因子逆時針旋轉(zhuǎn)，負(fù)頻率可視為旋轉(zhuǎn)因子順時針旋轉(zhuǎn)，如圖1(a)和圖1(b)的正視圖所示。若將這一關(guān)系表示在一個由復(fù)平面和與之垂直的時間軸構(gòu)成的三維空間，便可以更好地揭示負(fù)頻率的物理意義[5]。ejω在復(fù)平面和時間軸構(gòu)成的三維空間中呈現(xiàn)為類似于彈簧的螺旋線形狀。對于正頻率和負(fù)頻率，螺旋的方向相反，如圖1所示。

(a) 正頻率

(b) 負(fù)頻率圖1 復(fù)指數(shù)函數(shù)ejω0t的三維圖像

螺旋線在時間軸和實(shí)軸構(gòu)成的平面上的投影見圖1俯視圖。其中，Real Axis表示復(fù)指數(shù)函數(shù)ejω0t實(shí)部的幅值，Time表示時間。對于正頻率和負(fù)頻率，盡管螺旋方向相反，但是其在實(shí)軸和時間軸構(gòu)成的平面上的投影完全相同。

螺旋線在時間軸與虛軸構(gòu)成的平面上的投影見圖1左視圖。其中，Imaginary Axis表示復(fù)指數(shù)函數(shù)ejω0t虛部的幅值，Time表示時間。對于正頻率和負(fù)頻率，螺旋方向相反，其在虛軸和時間軸構(gòu)成的平面上的投影差了一個負(fù)號。

如果將圖1中的兩根螺旋線合成，由于在虛軸上的投影相差一個負(fù)號，故虛部抵消為0，合成圖僅剩實(shí)部，只不過實(shí)部為原來的兩倍，也就是一個余弦函數(shù)2cos(ω0t)。這點(diǎn)可由歐拉公式得到：

(3)

傅里葉變換用無數(shù)個復(fù)指數(shù)函數(shù)ejωt合成現(xiàn)實(shí)中的實(shí)信號，而復(fù)指數(shù)函數(shù)ejωt是復(fù)平面和與之垂直的時間軸構(gòu)成的三維空間中的螺旋線。如果沒有負(fù)頻率成分，無法用復(fù)指數(shù)函數(shù)ejωt合成一個實(shí)信號。圖2給出了復(fù)頻率域余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的頻譜。

圖2 復(fù)頻率域余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的頻譜

其實(shí)，任何實(shí)周期信號必然由共軛的(幅度偶對稱、相位奇對稱)正、負(fù)頻率分量組成。而這一概念在電氣領(lǐng)域中的二相異步電機(jī)設(shè)計(jì)、通信領(lǐng)域中的頻分復(fù)用、機(jī)械工程領(lǐng)域中的任意平面軌跡產(chǎn)生中的應(yīng)用，都進(jìn)一步表明了頻譜中負(fù)頻率的物理意義和重要性[6]。

3 頻率響應(yīng)函數(shù)物理意義揭示

設(shè)LTIC系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵是角頻率ω的基本信號ejωt時，其響應(yīng)

(4)

定義：h(t)的傅里葉變換，記為H(jω)，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。

(5)

基本信號ejωt作用于LTIC系統(tǒng)的響應(yīng)為

y(t)=H(jω)·ejωt=|H(jω)|∠θ(ω)·ejωt

(6)

圖3是借助Matlab繪圖工具，給出的基本信號ejωt作用于LTIC系統(tǒng)的響應(yīng)H(jω)·ejωt的三維圖像。對比圖1(a)，H(jω)反映了系統(tǒng)對某一頻率分量ejωt振幅和相位的響應(yīng)。

(吳憲祥等文)

3 結(jié)語

在實(shí)平面研究復(fù)數(shù)問題存在一定的局限性，這直接導(dǎo)致了學(xué)生對頻譜中負(fù)頻率成分物理意義的理解存在困難。本文借助Matlab工具，從三維空間直

觀地揭示了正頻率和負(fù)頻率的物理意義，進(jìn)一步從三維空間揭示了頻率響應(yīng)函數(shù)的物理內(nèi)涵，對于頻譜概念和頻域分析的教學(xué)具有良好的參考價(jià)值。

[1] 鄭君里，谷源濤. 信號與系統(tǒng)課程歷史變革與進(jìn)展[J]. 南京: 電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào), 2012,34(2): 1-6.

[2] 陳懷琛, 方海燕. 論頻譜中負(fù)頻率成分的物理意義[J]. 南京: 電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 30(1): 29-31.

[3] 張朝陽. 關(guān)于負(fù)頻率的探討[J]. 永州: 湖南科技學(xué)院學(xué)報(bào), 2009, 30(4): 79-81.[4] http://blog.csdn.net/wolinxuebin/article/details/7526956 [EB/OL][5] http://blog.sina.com.cn/s/blog_c159ce3f0101ab6k.html [EB/OL]

[6] 張華容,柏子游. 極形軌跡發(fā)生器[J]. 西安: 機(jī)械科學(xué)與技術(shù), 2001, 20(4): 505-506.

3D Reveal of Positive/Negative Frequency and Frequency Response Concepts

WU Xian-xiang, GUO Bao-long, YAN Yun-yi, ZHU Juan-juan, MENG Fan-jie

(SchoolofAerospaceScienceandTechnology,XidianUniversity,Xi′an710071,China)

Frequency spectrum is one of the emphasis and difficulty in the course of Signals and Systems. Moreover, the concept of negative frequency is abstract and hard for understanding. This paper employs Matlab software to demonstrate the physics meaning of positive/negative frequency in 3D space and discusses the deeper physical intension of the frequency response function, which can effectively improve the understanding of the concepts of frequency spectrum and frequency analysis , expecting to get better teaching & learning effect.

signals and systems; positive/negative frequency; frequency response; Matlab

2016-07-15;

2017-0- 17

西安電子科技大學(xué)新實(shí)驗(yàn)開發(fā)項(xiàng)目(項(xiàng)目編號： SY1581)；西安電子科技大學(xué)研究生教育綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目(項(xiàng)目編號：15Y2)。

吳憲祥(1980-)，男，博士，副教授，主要從事電路、信號與系統(tǒng)、自動控制原理、模式識別原理等方面的教學(xué)與科研工作，Email: wuxianxiang@163.com

TN911 G642

A

1008-0686(2017)03-0052-03