小議直覺(jué)與無(wú)窮大

楊新宇

直覺(jué)憑借直觀感覺(jué)進(jìn)行判斷、下結(jié)論，借助于感覺(jué)的可信性進(jìn)行思考。無(wú)限就是沒(méi)有盡頭，無(wú)限具有無(wú)窮的魅力。與無(wú)限有關(guān)的問(wèn)題，經(jīng)常吸引著人們，讓人們輾轉(zhuǎn)反側(cè)，又經(jīng)常讓人困惑不已，就是經(jīng)常違反你的“直覺(jué)”，遇到無(wú)限，直覺(jué)經(jīng)常失效。用三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行說(shuō)明。

直覺(jué)無(wú)窮大自然數(shù)直覺(jué)憑借直觀感覺(jué)進(jìn)行判斷、下結(jié)論，借助于感覺(jué)的可信性進(jìn)行思考。利用直覺(jué)確實(shí)可提出新命題，引出新觀點(diǎn)。直覺(jué)使人的認(rèn)識(shí)出現(xiàn)了創(chuàng)造性，使人擴(kuò)大了知識(shí)的空間。

無(wú)限就是沒(méi)有盡頭。比如，自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮無(wú)盡的，對(duì)一個(gè)人來(lái)說(shuō)，無(wú)論他的壽命有多長(zhǎng)，都不可能把所有的自然數(shù)數(shù)完，理由很簡(jiǎn)單，當(dāng)他數(shù)到第n個(gè)數(shù)，都有第n+1個(gè)數(shù)等著他來(lái)數(shù)。

面對(duì)“所有的自然數(shù)”，有人認(rèn)為“所有的自然數(shù)”不存在，因?yàn)槟銦o(wú)法數(shù)完，數(shù)的過(guò)程是無(wú)窮無(wú)盡，只有這個(gè)過(guò)程結(jié)束，才能得到所有的自然數(shù)，這是“潛無(wú)限”的觀點(diǎn)；有人認(rèn)為“所有的自然數(shù)”存在，因?yàn)槊總€(gè)自然數(shù)都可數(shù)到，所以每個(gè)自然數(shù)都存在，這是“實(shí)無(wú)限”的觀點(diǎn)。

無(wú)限具有無(wú)窮的魅力。希爾伯特曾說(shuō)過(guò)：“從來(lái)就沒(méi)有任何問(wèn)題能像無(wú)限那樣深深地觸動(dòng)人們的情感，沒(méi)有任何觀念能像無(wú)限那樣，曾經(jīng)如此卓有成就地激勵(lì)著人們的理智，也沒(méi)有任何概念像無(wú)限那樣，如此迫切地需要澄清。”與無(wú)限有關(guān)的問(wèn)題，經(jīng)常吸引著人們，讓人們輾轉(zhuǎn)反側(cè)，又經(jīng)常讓人困惑不已，就是經(jīng)常違反你的“直覺(jué)”，遇到無(wú)限，直覺(jué)經(jīng)常失效。下面用三個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)明。

一、伽利略問(wèn)題

伽利略認(rèn)為，自然數(shù)的全體是實(shí)實(shí)在在的存在，構(gòu)成實(shí)無(wú)窮，全體完全平方數(shù)也構(gòu)成實(shí)無(wú)窮。現(xiàn)在的問(wèn)題是，自然數(shù)多還是完全平方數(shù)多呢？

直觀上看，自然數(shù)多，為什么呢？完全平方數(shù)也是自然數(shù)，部分不大于整體，所以自然數(shù)多，也有人這樣認(rèn)為，都是無(wú)窮多，所以兩者的個(gè)數(shù)一樣多。還有人進(jìn)行簡(jiǎn)單地推理，在前10個(gè)數(shù)中，只有1、4、9三個(gè)；在前100個(gè)數(shù)中，完全平方數(shù)只有10個(gè)，占自然數(shù)的10%；在前10000個(gè)數(shù)中，完全平方數(shù)有100個(gè)，只占1%；在前一億個(gè)數(shù)中，完全平方數(shù)占的更少，只占0.01%.這么看，完全平方數(shù)在自然數(shù)中，滄海一粟，占的分量極少，也就說(shuō)明自然數(shù)多。但問(wèn)題是都是無(wú)限個(gè)，就不能利用有限個(gè)數(shù)多少的方式去比較。我們得換個(gè)角度看，有一個(gè)自然數(shù)就有一個(gè)完全平方數(shù)。

把所有的自然數(shù)排成一排，每個(gè)自然數(shù)“肩膀”上添個(gè)2，便是完全平方數(shù)。這樣看，自然數(shù)和完全平方數(shù)一樣多。那就是部分和整體一樣多（確實(shí)?。部梢哉f(shuō)無(wú)限集可以和其真子集之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（這就是無(wú)限集合的本質(zhì)）。

二、神奇的希爾伯特旅館

現(xiàn)實(shí)中的旅館都只有有限個(gè)房間，請(qǐng)你展開(kāi)想象的翅膀，假設(shè)有這樣一家旅館，有無(wú)限個(gè)房間（這是實(shí)無(wú)窮，要想清楚）。這樣的旅館客滿后又來(lái)了1個(gè)客人，老板能否安排？規(guī)定：每一個(gè)房間只住一個(gè)客人。所謂客滿，就是每一個(gè)房間都有人住了。

按照我們的生活經(jīng)驗(yàn)，直觀感覺(jué)，客滿后再來(lái)客人，只好讓他去別家住宿。但擁有“無(wú)窮房間”的旅館就是神奇，老板神氣地說(shuō)：“可以安排?！?/p>

老板的“操作”是：先讓原來(lái)房間里的客人都出來(lái)，然后讓1號(hào)房間的客人搬到2號(hào)房間去住，讓2號(hào)房間的客人搬到3號(hào)房間去住，讓3號(hào)房間的客人搬到4號(hào)房間去住……讓k號(hào)房間的客人搬到k+l號(hào)房間去住，以此類推.這樣，原來(lái)的客人就都有房間住了，而1號(hào)房間卻空了出來(lái)，這樣就可以讓新客人去住。

那如果來(lái)了1000個(gè)客人，聰明的同學(xué)，你能安排嗎？如果來(lái)了一個(gè)旅游團(tuán)，有無(wú)窮多個(gè)客人，這時(shí)你還能安排嗎？

三、萊布尼茲問(wèn)題

有限項(xiàng)求和，按照運(yùn)算法則進(jìn)行即可，可當(dāng)變成無(wú)限項(xiàng)時(shí)，我們就會(huì)遇到麻煩。如萊布尼茲問(wèn)題：1-1+1-1+1-1+1-1+1-1…，1與-1交替出現(xiàn)，有無(wú)窮項(xiàng)，上式的和為多少？

如果你按照有限項(xiàng)的運(yùn)算進(jìn)行，結(jié)果有多種情況：

第一種情況：1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…=（1-1）+（1-1）+…=0：

第二種情況：1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…-1+（-1+1）+（-1+1）+…=1：

第三種情況：我們可以令S=1-1+11+1-1+1-1+…=1-（1-1+1-1+1-1+1-1+…）-1-S，則可求得S=1/2，針對(duì)結(jié)果1/2，我們甚至可用一個(gè)實(shí)例來(lái)解釋，一個(gè)老頭有兩個(gè)兒子，去世時(shí)只留下一頭耕牛，遺言交待兩兒子不能殺掉耕牛，殺掉后就沒(méi)法耕種。采用的方案是：第一年耕牛在老大家，第二年在老二家，第三年再到老大家，第四年再到老二家，……，依次輪流。我們可以認(rèn)為，老大和老二都只擁有這頭耕牛的1/2。

上面的三種解釋，看似各有各的道理，但其實(shí)都是不正確的，因?yàn)檫@是無(wú)限項(xiàng)求和的問(wèn)題，不能隨便地添加括號(hào)，這個(gè)式子是無(wú)法求和的。

直覺(jué)是個(gè)強(qiáng)有力的工具，可發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，給出猜想，無(wú)窮是神秘的王國(guó)，充滿著奇異的神奇。當(dāng)直覺(jué)遇上無(wú)窮大，我們得到的想法或者結(jié)論，需要進(jìn)一步的邏輯思索，不然會(huì)很“尷尬”的。endprint