非線性兩模玻色子系統(tǒng)的Ma jorana表象?

方杰 韓冬梅 劉輝 劉昊迪 鄭泰玉

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院和量子科學(xué)中心,長(zhǎng)春 130024)

非線性兩模玻色子系統(tǒng)的Ma jorana表象?

方杰 韓冬梅 劉輝 劉昊迪?鄭泰玉?

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院和量子科學(xué)中心,長(zhǎng)春 130024)

(2017年1月10日收到;2017年6月3日收到修改稿)

利用Majorana表象,從平均場(chǎng)模型和二次量子化模型兩方面研究了非線性雙模玻色子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.得到了Majorana點(diǎn)在球面上的運(yùn)動(dòng)方程,分析了平均場(chǎng)模型和二次量子化模型之間的區(qū)別及其在Majorana點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程中的體現(xiàn).研究了二次量子化模型中量子態(tài)在少體和多體情況下的動(dòng)力學(xué)演化及其與平均場(chǎng)量子態(tài)的區(qū)別和聯(lián)系.以平均場(chǎng)模型和二次量子化模型量子態(tài)之間的保真度和Majorana點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)為手段,討論了在不同玻色子間相互作用強(qiáng)度、不同玻色子數(shù)下量子態(tài)的演化及相應(yīng)的自囚禁效應(yīng).

Majorana表象,自囚禁效應(yīng),平均場(chǎng)近似

1 引 言

量子態(tài)及其動(dòng)力學(xué)演化是量子力學(xué)中極為重要的概念.對(duì)于一個(gè)高維量子態(tài),我們很難找到一種直觀或者幾何的方式來(lái)展示其演化.這是由于量子態(tài)雖然是客觀存在的,但并不是一個(gè)可觀測(cè)量.盡管任意一個(gè)二能級(jí)量子純態(tài)可以利用Bloch表象將其表示為單位球面上的一個(gè)點(diǎn)[1].然而對(duì)于高維量子態(tài)來(lái)說(shuō),這一圖像看起來(lái)并不適用,因?yàn)槲覀儫o(wú)法直觀地觀察更高維球面上的運(yùn)動(dòng).對(duì)此,Majorana提出,我們可以用單位球面上更多的點(diǎn)而不是僅靠高維球上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)建立這樣的幾何圖像[2].在Majorana表象中,一個(gè)自旋N/2量子態(tài)(或者一個(gè)等效的N體兩模玻色子態(tài))可以表示為二維Bloch球面上的N個(gè)點(diǎn).這一表象作為一個(gè)重要工具被廣泛用于處理高維或者多體量子系統(tǒng),例如多體玻色系統(tǒng)[3?6]和多量子比特態(tài)[7],并且在從幾何角度研究這些系統(tǒng)的物理特性時(shí)得出了很多有用的理論,例如幾何相位[8?11]和量子糾纏[12?19].

近年來(lái),Majorana表象在冷原子系統(tǒng)的研究中得到了人們的廣泛關(guān)注.在冷原子物理中,旋量玻色氣體的重要特性體現(xiàn)在其對(duì)旋轉(zhuǎn)、反射等幾何操作的響應(yīng)[3,4].對(duì)于高維的大自旋玻色氣體,這一特征很難直接從態(tài)矢量中得到.而在Majorana表象中,量子態(tài)的這些性質(zhì)則可以通過(guò)Bloch球面上點(diǎn)的分布和運(yùn)動(dòng)觀測(cè)到.因此,Majorana表象可以很好地用于研究旋量玻色氣體平均場(chǎng)基態(tài)性質(zhì)[3]、動(dòng)力學(xué)[20]、對(duì)稱性[21,22]等.例如,Bose-Einstein凝聚體(BECs)中一個(gè)非常重要的課題——相互作用玻色子系統(tǒng)(也可以看作雙阱BECs系統(tǒng))中的非線性效應(yīng)[23,24].由原子-原子相互作用可以引發(fā)很多有趣的非線性效應(yīng),比如非線性隧穿[25?28]和自囚禁現(xiàn)象[23,29?35].在高維Hilbert空間情況下,通常的做法是采取大玻色子數(shù)N極限下(N→∞)平均場(chǎng)方法將兩模玻色子模型近似為一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)[25,26,36?38].量子態(tài)的演化和自囚禁效應(yīng)則可以由二維Bloch球面上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)描述.由此,借助Majorana表象,一個(gè)N體兩模玻色子系統(tǒng)的量子態(tài)演化同樣可以由Bloch球面上的N個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述.利用這一方法,我們就可以通過(guò)N個(gè)Majorana點(diǎn)研究量子態(tài)的演化,并與平均場(chǎng)方法進(jìn)行比較.

在本文中,我們利用Majorana表象從二次量子化(SQ)模型中N個(gè)點(diǎn)的演化和平均場(chǎng)近似中一個(gè)點(diǎn)的演化兩方面來(lái)研究?jī)赡２Ｉ酉到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化問(wèn)題.首先介紹通常平均場(chǎng)近似下的動(dòng)力學(xué)演化及其對(duì)應(yīng)的Bloch球面上一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),并解釋相應(yīng)的自囚禁效應(yīng).然后利用二次量子化模型的Majorana表象將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化在不同維度下用Bloch球面上多個(gè)Majorana點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)表示出來(lái),并分析了二次量子化模型與平均場(chǎng)模型中動(dòng)力學(xué)演化的區(qū)別及其原因,然后在Majorana點(diǎn)演化方程中加以體現(xiàn).研究了二次量子化模型中的量子態(tài)在少體(N=2,3)和多體(N=100)情況下的動(dòng)力學(xué)演化及其與平均場(chǎng)模型中量子態(tài)的區(qū)別和聯(lián)系.以平均場(chǎng)模型和二次量子化模型量子態(tài)之間的保真度和Majorana點(diǎn)之間量子糾纏為形式討論了不同粒子數(shù),不同玻色子間相互作用強(qiáng)度對(duì)量子態(tài)演化及相應(yīng)自囚禁效應(yīng)的影響.

2 兩模玻色子系統(tǒng)及其平均場(chǎng)動(dòng)力學(xué)

考慮一個(gè)兩模N粒子玻色系統(tǒng),其HaMiltionian可寫作

其中a和b分別表示兩種激發(fā)的概率幅,滿足|a|2+|b|2=1.此外,由角動(dòng)量的SchWinger表象可知,GP態(tài)等價(jià)于一個(gè)N-量子比特直積態(tài),

其中二能級(jí)量子態(tài)為|u〉=a|↑〉+b|↓〉.通過(guò)計(jì)算平均值〈H〉≡ 〈ψGP||ψGP〉可以得到這一半經(jīng)典模型的動(dòng)力學(xué)演化由如下二能級(jí)Schr?dinger方程表征,

其中平均場(chǎng)HaMiltonian為

由此在平均場(chǎng)近似下,一個(gè)N體兩模玻色子模型可以看作一個(gè)自旋1/2系統(tǒng),并且玻色子間相互作用項(xiàng)變成了一個(gè)非線性項(xiàng)出現(xiàn)在HaMiltonian(5)中.其中兩模玻色子數(shù)可分別表示為Na=N|a|2和Nb=N|b|2.由于|u〉的歸一化和相位不定性,方程(4)所表征的動(dòng)力學(xué)演化本質(zhì)上可以由一個(gè)復(fù)數(shù)ξM=b/a表示.即

如果我們定義ξM≡ tanei?M(θM∈ [0,π],?M∈[0,2π]),那么這一動(dòng)力學(xué)演化就可以表示為球面上球坐標(biāo)θM和?M的演化,

如果考慮球面上的一點(diǎn)uM=(sinθMcos?M,sinθMsin?M,cosθM),那么經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單推導(dǎo)[2],量子態(tài)|ψM〉的演化就完全可以表示為uM在Bloch球面上的運(yùn)動(dòng)

其中B=B(v,0,γ)可以看作一個(gè)等效磁場(chǎng).

如圖1(a)所示,線性情況(c=0)下,平均場(chǎng)HaMiltonian描述一個(gè)自旋1/2粒子在磁場(chǎng)B中的運(yùn)動(dòng).相應(yīng)點(diǎn)在Bloch球上的軌跡則對(duì)應(yīng)于一個(gè)磁矩在繞磁場(chǎng)B做進(jìn)動(dòng).也就是說(shuō),如圖1(b)所示,玻色子在兩個(gè)模式之間振蕩.引入非線性相互作用(c?=0)后,隨非線性強(qiáng)度的增加,兩模之間的振蕩幅度逐漸減弱.當(dāng)非線性強(qiáng)度增加到臨界值c=2v時(shí),自囚禁效應(yīng)發(fā)生.兩模中的粒子數(shù)從在兩模之間振蕩變?yōu)榫钟蛟谀骋荒Ｊ街?見(jiàn)圖1(b),而相應(yīng)點(diǎn)在球面上的軌跡從在南北極之間運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹辉诒卑肭蜻\(yùn)動(dòng).當(dāng)非線性強(qiáng)度相對(duì)于臨界值較大時(shí),兩模間粒子數(shù)差的振蕩幅度變得很小,于是粒子被束縛在初始時(shí)刻的a模中,對(duì)應(yīng)于球面上的點(diǎn)只在北極附近運(yùn)動(dòng).至此,平均場(chǎng)下的非線性效應(yīng)可以很好地由Bloch球上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表征.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)(a)平均場(chǎng)模型中不同非線性相互作用強(qiáng)度c下點(diǎn)uMF(黃色實(shí)線)的軌跡,參數(shù)選取為γ=0；(b)平均場(chǎng)模型中兩模布居數(shù)差(Na?Nb)/N隨時(shí)間的演化Fig.1.(color on line)(a)The trajectories of the point uMF(yelloWsolid line)for Mean field Model With d iff erent non linear interacting strength c,the paraMeter is chosen asγ=0;(b)the tiMe evolution of the popu lation d iff erence(Na?Nb)/N for theMean-field Model.

3 兩模玻色子系統(tǒng)的Majorana表象

然而,平均場(chǎng)模型只適用于大粒子數(shù)情況.如果想要獲得兩模玻色子系統(tǒng)更精確的動(dòng)力學(xué)演化,則需要處理HaMiltonian(1).不同于二能級(jí)平均場(chǎng)HaMiltonian,其量子態(tài)在(N+1)維Hilbert空間中的演化并不能直接映射到Bloch球面上.為此,Majorana提出了一個(gè)直觀的方法研究其演化.在二次量子化模型中,任一(N+1)維量子態(tài)可寫為

其中Cl表示量子態(tài)|ψ〉N在基矢|l,N?l〉上的概率幅.注意到上式中求和部分是玻色子算符和?↓的一個(gè)N 次齊次多項(xiàng)式,所以|ψ〉N可以被因式分解為[9,10]

其中M為歸一化常數(shù),θl和?l由方程

的根xl≡ tanei?l決定. 顯然,不同于平均場(chǎng)情況,這里的每個(gè)根都對(duì)應(yīng)一組球坐標(biāo).這一參數(shù)化過(guò)程對(duì)應(yīng)Bloch球面上的N個(gè)點(diǎn)ul=(sinθlcos?l,sinθlsin?l,cosθl),(l=1,...,N).將(11)式代入Schr?dinger方程可知,在線性情況(c=0)下,量子態(tài)|ψ〉N含時(shí)演化對(duì)應(yīng)的N個(gè)Majorana點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為l=?ul×B.即,N個(gè)Majorana點(diǎn)ul同時(shí)繞磁場(chǎng)B進(jìn)動(dòng).如果選取初態(tài)為GP 態(tài)|ψ〉N=|N,0〉,所有Majorana點(diǎn)的軌跡與圖2(a)所示平均場(chǎng)情況下的軌跡相同.由此可見(jiàn),在線性情況下,二次量子化模型描述的動(dòng)力學(xué)演化與平均場(chǎng)模型MF描述的動(dòng)力學(xué)演化是一致的.

在玻色子間相互作用存在的情況(c?=0)下,二次量子化模型的動(dòng)力學(xué)演化要復(fù)雜一些.參照文獻(xiàn)[2]的做法,通過(guò)Schr?dinger方程和一系列簡(jiǎn)單推導(dǎo),我們可以得到方程(11)的根xl所滿足的微分方程為

通過(guò)定義xl≡ tanei?l,我們可以將其表示為Bloch球面上球坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng),

由于這些球坐標(biāo)θl和?l與量子態(tài)|Ψ〉N的概率幅Cl是一一對(duì)應(yīng)的.所以二次量子化模型中量子態(tài)的動(dòng)力學(xué)演化就可以表示為這些球坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的球面上點(diǎn)ul的運(yùn)動(dòng),即

不難發(fā)現(xiàn),方程前兩項(xiàng)在大粒子數(shù)極限N → ∞下正是方程(8). 考慮到ul.uk=cosθlcosθk+sinθlsinθkcos(?l??k),方程(14)最后一項(xiàng)中

表征Majorana點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián).也就是說(shuō),在存在玻色子間相互作用的情況下(c?=0),除方程(8)表示的平均場(chǎng)動(dòng)力學(xué)外,每一個(gè)Majorana點(diǎn)還與其他點(diǎn)相互關(guān)聯(lián),并受其影響.也就是說(shuō),在二次量子化模型中,即使初態(tài)是GP態(tài),在演化過(guò)程中也并不能時(shí)時(shí)保持GP態(tài)的形式而是處于有N個(gè)不同激發(fā)形式的態(tài)(10)式.如果我們想控制多體量子態(tài)始終按照GP態(tài)的形式演化,二次量子化HaMiltonian(1)式需要變?yōu)?/p>

其中|Ψ〉N為量子態(tài)(9)式. 如果初態(tài)為GP態(tài),即所有Majorana點(diǎn)重合在一起,那么在HaMiltonian(16)式的驅(qū)動(dòng)下,量子態(tài)會(huì)始終保持GP態(tài)的形式,

而每個(gè)Majorana點(diǎn)都會(huì)遵循平均場(chǎng)模型中的點(diǎn)方程(8)演化,并每時(shí)每刻都保持重合.因此,比較HaMiltonian(16)式和(1)式可以發(fā)現(xiàn),平均場(chǎng)近似下的二能級(jí)量子態(tài)演化與二次量子化模型下的多體量子演化區(qū)別在于,在HaMiltonian中引入了平均值〈Na?Nb〉≡N〈ψ|↑?|ψ〉N,從而忽略了相應(yīng)量子漲落的影響,而這部分可以通過(guò)方程(15)中Majorana點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)來(lái)體現(xiàn).為此,下面我們將分別在少體和多體情況下研究這一差別對(duì)二次量子化模型中量子態(tài)動(dòng)力學(xué)演化的影響.值得注意的是,由于態(tài)(10)式滿足SU(2)對(duì)稱性,其等價(jià)于一個(gè)對(duì)稱N量子比特純態(tài)[10],

其中|ul〉=cos(θl/2)|↑〉+sin(θl/2)ei?l|↓〉是Majorana點(diǎn)ul=(θl,?l)的量子比特態(tài),M是歸一化常數(shù).求和∑P從1,2,...,n 到P(1),P(2),...,P(n)遍歷所有置換P.Majorana點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)可以刻畫這一多量子比特純態(tài)中量子比特之間的糾纏[10].因此,反過(guò)來(lái)我們可以借助糾纏來(lái)表征Majorana點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián).此外,平均場(chǎng)模型中GP態(tài)|ψGP〉和二次量子化模型中量子態(tài)|ψ〉N的區(qū)別也可由保真度

來(lái)衡量.因此,在少體(N=2,3)和多體(N=10)兩種情況下,我們可以通過(guò)數(shù)值求解Majorana點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程(14),通過(guò)Majorana點(diǎn)的軌跡、糾纏及其表示的保真度F來(lái)研究存在玻色子間相互作用的情況下二次量子化模型中的動(dòng)力學(xué)演化,并與平均場(chǎng)結(jié)果比較.

在兩玻色子情況下,二次量子化模型中的任一量子態(tài)可由兩個(gè)Majorana點(diǎn)u1=(θ1,?1),u2=(θ2,?2)表示為

圖2 (網(wǎng)刊彩色)(a)兩玻色子二次量子化模型中Ma jorana點(diǎn)u1(黃色實(shí)線)和u2(紅色實(shí)線)在不同玻色子間相互作用強(qiáng)度c下的軌跡,參數(shù)選取為γ=0；(b)兩模布居數(shù)差(Na?Nb)/N,保真度F和并發(fā)度C隨時(shí)間的演化Fig.2. (color on line)(a)The tra jectories of the point u1(yelloWsolid line)u2(red solid line)for the two-boson SQ Model With d iff erent boson interacting strength c,the paraMeter is chosen asγ=0;(b)the tiMe evolu tion of the popu lation diff erence(Na?Nb)/N,Fidelity F and the concu rrence C.

兩個(gè)Majorana點(diǎn)之間的糾纏可以用并發(fā)度

來(lái)度量[9,10],并且正比于二者之間的距離.

玻色子間相互作用較弱的情況(c/v=0.1)下,從圖2(a)中可見(jiàn),兩個(gè)Majorana點(diǎn)盡管沒(méi)有重合在一起,但始終保持在同一緯度,這說(shuō)明此時(shí)玻色子間相互作用對(duì)量子態(tài)動(dòng)力學(xué)演化影響較小.如果平均場(chǎng)和二次量子化模型的初態(tài)相同,此后這兩個(gè)態(tài)的保真度趨于1,這種情況下兩個(gè)模型中的動(dòng)力學(xué)演化結(jié)果差別不大,這也可以表現(xiàn)為兩點(diǎn)之間的糾纏較弱(如圖2(b)所示).在玻色子間相互作用強(qiáng)度相對(duì)較大的情況(c/v=10)下,方程(15)所表征的量子漲落作用變大.隨著兩個(gè)Majorana點(diǎn)之間的距離增大,量子態(tài)并不能時(shí)時(shí)處于GP態(tài),即使某一時(shí)刻重新回到GP態(tài),量子態(tài)的演化也與平均場(chǎng)的結(jié)果不同.比如在圖2(a)中的南極點(diǎn),Majorana點(diǎn)之間的糾纏為0,二者重合,二次量子化模型中的量子態(tài)回到GP態(tài).然而由F=0可知,這一量子態(tài)與平均場(chǎng)模型中相應(yīng)的量子態(tài)彼此正交.然而,盡管玻色子間相互作用較強(qiáng),兩模中的玻色子并沒(méi)有出現(xiàn)類似于平均場(chǎng)近似下自囚禁效應(yīng)的局域化行為.玻色子仍在兩個(gè)模式間振蕩.這一區(qū)別正如我們前面所討論的,由于量子漲落的影響不可忽略,導(dǎo)致并未出現(xiàn)類似于平均場(chǎng)模型中球面上點(diǎn)的局域化行為.

在三玻色子情況下,二次量子化模型中的任一量子態(tài)可由三個(gè)Majorana點(diǎn)u1=(θ1,?1),u2=(θ2,?2),u3=(θ3,?3) 表示為

圖3 (網(wǎng)刊彩色)(a)三玻色子二次量子化模型中Ma jorana點(diǎn)u1(黃色實(shí)線),u2(紅色實(shí)線)和u2(藍(lán)色實(shí)線)在不同玻色子間相互作用強(qiáng)度c的軌跡,參數(shù)選取為γ=0;(b)兩模布居數(shù)差(Na?Nb)/N,保真度F和并發(fā)度C隨時(shí)間的演化Fig.3. (color on line)(a)The trajectories of the point u1(yelloWsolid line)u2(red solid line)for the three-boson SQ ModelWith diff erent boson interacting strength c,the paraMeter is chosen asγ=0;(b)the tiMe evolu tion of the popu lation diff erence(Na?Nb)/N,Fidelity F and the concu rrence C.

這三個(gè)點(diǎn)之間的糾纏可以用3-糾纏(3-tangle)

來(lái)度量[9,10],正比于三個(gè)點(diǎn)兩兩距離的乘積.

如圖3所示,在玻色子間相互作用較弱的情況(c/v=0.1)下,與兩玻色子情況類似,三個(gè)Majorana點(diǎn)之間的距離始終保持在同一緯度,糾纏較弱(τ～0),也就是說(shuō)三個(gè)點(diǎn)之間的距離較小.此時(shí),二次量子化和平均場(chǎng)模型中量子態(tài)的動(dòng)力學(xué)演化基本相同(F～1),量子漲落對(duì)量子態(tài)動(dòng)力學(xué)演化影響較小,這是由于方程(14)中的玻色子間相互作用項(xiàng)整體較小.然而在玻色子間相互作用相對(duì)較大的情況(c/v=10)下,三玻色所對(duì)應(yīng)的Majorana點(diǎn)在球面上出現(xiàn)了一定的局域化行為,盡管它們之間的糾纏不為零,但隨著時(shí)間的增長(zhǎng)較慢,這表現(xiàn)為三個(gè)點(diǎn)始終同處于北半球.此時(shí)二次量子化與平均場(chǎng)模型的量子態(tài)演化也較為相似(見(jiàn)圖3(b)中F的軌跡),并且出現(xiàn)了類似于平均場(chǎng)模型中的自囚禁現(xiàn)象.這是由于盡管量子漲落帶來(lái)的影響依然不可忽略,但是相對(duì)兩玻色子情況而言,三玻色子在兩個(gè)模式之間的運(yùn)動(dòng)更符合平均場(chǎng)一些.

至此,我們發(fā)現(xiàn),由方程(15)所表征的量子漲落是二次量子化模型與平均場(chǎng)模型的主要區(qū)別,這一區(qū)別可以由Majorana點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)來(lái)體現(xiàn).隨著玻色子數(shù)的增加,這一量子漲落的平均效果對(duì)量子態(tài)演化的影響逐漸減弱.此外,在極弱玻色子間相互作用情況下,由于磁場(chǎng)B占主導(dǎo)地位,方程(14)中的玻色子間相互作用項(xiàng)整體較弱,二次量子化模型趨于平均場(chǎng)的結(jié)果.在粒子數(shù)較大的情況(N=100)下,如果玻色子間相互作用相對(duì)于平均場(chǎng)模型自囚禁效應(yīng)臨界點(diǎn)較強(qiáng),二次量子化模型與平均場(chǎng)模型也符合得較好(如圖4中紅色實(shí)線所示).此時(shí),Majorana點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)較為復(fù)雜,但我們?nèi)钥梢酝ㄟ^(guò)|ψ〉N和|ψGP〉之間的保真度來(lái)估計(jì)這一關(guān)聯(lián)E=1?F.

從圖4中可以看出,在玻色子間相互作用相對(duì)于自囚禁效應(yīng)臨界點(diǎn)較強(qiáng)的情況下,Majorana點(diǎn)的多體關(guān)聯(lián)較弱,此時(shí)Majorana點(diǎn)只能在北半球演化[10],點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離較近,于是平均場(chǎng)模型能夠較好地符合二次量子化模型的動(dòng)力學(xué)演化.然而,在自囚禁效應(yīng)發(fā)生的鄰界點(diǎn)附近兩個(gè)模型偏差較大.此時(shí)二次量子化模型與平均場(chǎng)的臨界行為不同,二次量子化模型中粒子數(shù)的變化是連續(xù)的(如圖4(a)所示),并沒(méi)有出現(xiàn)平均場(chǎng)模型中的臨界行為((如圖1(b)所示).這是由于即使在大粒子數(shù)情況下,Majorana點(diǎn)之間的多體關(guān)聯(lián)依然存在,點(diǎn)與點(diǎn)之間仍然保持距離,并不能被看作GP態(tài)|ψGP〉.甚至在臨界點(diǎn)附近,兩個(gè)模型的動(dòng)力學(xué)演化完全不同((如圖4(b)中黑色點(diǎn)劃線和綠色實(shí)線所示)),此時(shí)量子漲落的影響不可忽略,從而不再滿足平均場(chǎng)近似的條件.不過(guò),在臨界點(diǎn)附近,Majorana點(diǎn)在球面上的運(yùn)動(dòng)也恰好以南極為臨界點(diǎn)(以是否有Majorana點(diǎn)能達(dá)到南極進(jìn)行區(qū)分)[10],而此時(shí)兩模中粒子數(shù)分布也過(guò)渡到a模始終大于b模.因此在平均場(chǎng)和二次量子化兩個(gè)模型中劃分振蕩與局域化的參數(shù)臨界點(diǎn)是一致的(c=2v),區(qū)別在于平均場(chǎng)模型是突變,而二次量子化模型變化是連續(xù)變化.這說(shuō)明二次量子化模型中區(qū)別于平均場(chǎng)模型的量子漲落(方程(15))對(duì)布居數(shù)變化的振蕩和局域化的參數(shù)臨界行為并沒(méi)有顯著作用,而是對(duì)量子態(tài)本身的的演化有所影響.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)(a)兩模布居數(shù)差(Na?Nb)/N隨時(shí)間的演化,參數(shù)選取為N=100,γ=0;(b)保真度F 隨時(shí)間的演化Fig.4. (color online)(a)The tiMe evolution of the popu lation diff erence(Na?Nb)/N,the paraMeters is chosen as N=100,γ=0;(b)the tiMe evolu tion of the fidelity F.

4 結(jié) 論

近年來(lái),有關(guān)Majorana表象的研究表明,Majorana點(diǎn)及其在Bloch球面上的演化已經(jīng)成為研究多體系統(tǒng)的一個(gè)非常有用的工具.我們的研究發(fā)現(xiàn)利用Majorana表象,可以將平均場(chǎng)和二次量子化兩個(gè)模型下非線性雙模玻色子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題直觀地表示出來(lái).通過(guò)得到Majorana點(diǎn)在球面上的運(yùn)動(dòng)方程可以發(fā)現(xiàn),平均場(chǎng)模型和二次量子化模型之間的區(qū)別可以通過(guò)Majorana點(diǎn)及其之間的關(guān)聯(lián)表示.結(jié)果表明,二次量子化模型中不同于平均場(chǎng)模型的量子漲落效應(yīng)可以通過(guò)Majorana點(diǎn)的微分方程解析得到,并且可以體現(xiàn)為Majorana點(diǎn)之間的量子糾纏并通過(guò)兩個(gè)模型下量子態(tài)的保真度來(lái)研究.在少體情況,這一效應(yīng)的影響比較顯著,不同于平均場(chǎng)模型中非線性相互作用導(dǎo)致的自囚禁效應(yīng),布居數(shù)的演化并不能出現(xiàn)振蕩和局域化的臨界現(xiàn)象,這也可以通過(guò)Majorana點(diǎn)及其演化看到.隨著量子數(shù)的增加,在玻色子間相互作用相對(duì)于自囚禁效應(yīng)臨界點(diǎn)較強(qiáng)的情況下,平均場(chǎng)模型能夠很好地反映二次量子化模型的動(dòng)力學(xué)演化,這是由于雖然量子漲落的影響依然存在,但是其平均效應(yīng)較小.而在自囚禁效應(yīng)發(fā)生的鄰界點(diǎn)附近,Majorana點(diǎn)的多體關(guān)聯(lián)較強(qiáng),距離較遠(yuǎn),兩個(gè)模型偏差較大,但是盡管量子漲落對(duì)量子態(tài)的演化影響較大,對(duì)布居數(shù)變化的振蕩和局域化的參數(shù)臨界行為卻沒(méi)有顯著作用.因此,利用Majorana點(diǎn)演化方程中所體現(xiàn)的二次量子化模型不同于平均場(chǎng)模型的量子漲落效應(yīng),可以在未來(lái)的研究中對(duì)自囚禁臨界參數(shù)區(qū)域附近或者少體情況下的量子演化做進(jìn)一步細(xì)節(jié)上的研究,以發(fā)現(xiàn)平均場(chǎng)模型以外的其他效應(yīng).

[1]B loch F,Rabi I I 1945 Rev.Mod.Phys.17 237

[2]Majorana E 1932 Nuovo Cim.9 43

[3]StaMper-K urn D M,Ueda M2013 Rev.Mod.Phys.85 1191

[4]Zhu Q,Wu B 2015 Chin.Phys.B 24 050507

[5]Lian B,Ho T L,Zhai H 2012 Phys.Rev.A 85 051606

[6]Cui X,Lian B,Ho T L,Lev B L,Zhai H 2013 Phys.Rev.A 88 011601

[7]Devi A R U,Sudha,Ra jagopal A K 2012 Quan tuMInf.Process.11 685

[8]B runo P 2012 Phys.Rev.Lett.108 240402

[9]Liu H D,Fu L B 2014 Phys.Rev.Lett.113 240403

[10]Liu H D,Fu L B 2016 Phys.Rev.A 94 022123

[11]TaMate S,Ogawa K,K itano M2011 Phys.Rev.A 84 052114

[12]Au lbach M,MarkhaMD,Mu rao M2010 NeWJ.Phys.12 073025

[13]Martin J,G iraud O,B raun P A,B raun D,Bastin T 2010 Phys.Rev.A 81 062347

[14]Bastin T,K rins S,Mathonet P,Godefroid M,LaMata L,Solano E 2009 Phys.Rev.Lett.103 070503

[15]Ribeiro P,Mosseri R 2011 Phys.Rev.Lett.106 180502

[16]Ganczarek W,Ku?M,?yczkoWski K 2012 Phys.Rev.A 85 032314

[17]Wang Z,MarkhaMD 2012 Phys.Rev.Lett.108 210407

[18]Wang Z,MarkhaMD 2013 Phys.Rev.A 87 12104

[19]Cao H 2013 Acta Phys.Sin.62 030303(in Chinese)[曹輝2013物理學(xué)報(bào)62 030303]

[20]Barnett R,Podolsky D,Refael G 2009 Phys.Rev.B 80 024420

[21]K awaguchi Y,Ueda M2012 Phys.Rep.520 253

[22]Yang C,Guo H,Fu L B,Chen S 2015 Phys.Rev.B 91 125132

[23]Milburn G J,Corney J,Wright E M,Walls D F 1997 Phys.Rev.A 55 4318

[24]Micheli A,Jaksch D,Cirac J I,Zoller P 2003 Phys.Rev.A 67 013607

[25]Wu B,N iu Q 2000 Phys.Rev.A 61 023402

[26]Liu J,Wu B,Niu Q 2003 Phys.Rev.Lett.90 170404

[27]Wu B,N iu Q,NeWJ 2012 Physics 5 104

[28]Chen Y A,Huber S D,Trotzky S,B loch I,A ltMan E 2011 Nat.Phys.7 61

[29]Chen Z D,Liang J Q,Shen S Q,X ie WF 2004 Phys.Rev.A 69 23611

[30]Tonel A P,Links J,Foerster A 2005 J.Phys.A 38 1235

[31]Fu L,Liu J 2006 Phys.Rev.A 74 063614

[32]Ma Y,Fu L B,Yang Z A,Liu J 2006 Acta Phys.Sin.55 5623(in Chinese)[馬云,傅立斌,楊志安,劉杰2006物理學(xué)報(bào)55 5623]

[33]Gong J B,Morales-Molina L,H?nggi P 2009 Phys.Rev.Lett.103 133002

[34]Pang MM,Hao Y 2016 Chin.Phys.B 25 40501

[35]Wang G F,Fu L B,Liu L 2006 Phys.Rev.A 73 13619

[36]Cirac J I,Lewenstein M,Mo K,Zoller P 1998 Phys.Rev.A 57 1208

[37]Leggett A J 2001 Rev.Mod.Phys.73 307

[38]Li S C,Duan WS 2009 Acta Phys.Sin.58 4396(in Chinese)[栗生長(zhǎng),段文山 2009物理學(xué)報(bào) 58 4396]

PACS:03.75.Mn,03.75.Lm,75.10.Jm,03.65.AaDOI:10.7498/aps.66.160302

*Pro ject supported by the National Natu ral Science Foundation of China(G rant Nos.11405008,11175044)and the P lan for Scientifi c and Technological DevelopMent of Jilin P rovince,China(G rant No.20160520173JH).

?Corresponding author.E-Mail:liuhd100@nenu.edu.cn

?Corresponding au thor.E-Mail:zhengty@nenu.edu.cn

Majorana rep resen tation for the non lineart Wo-Mode boson system?

Fang Jie Han Dong-Mei Liu Hui Liu Hao-Di?Zheng Tai-Yu?

(Center for QuantuMSciences and School of Physics,Northeast NorMal University,Changchun 130024,China)

10 January 2017;revised Manuscrip t

3 June 2017)

By presenting the quantuMevolution With the trajectoriesof pointson the B loch sphere,theMajorana representation providesan intuitiveway to study a high dimensionalquantuMevolution.In thiswork,we study the dynaMicalevolution of the non linear two-Mode boson systeMboth in theMean-field Model by one point on the B loch sphere and the secondquantized Modelby the Majorana points,respectively.It is shown that the evolution of the state in theMean-field Model and the self-trapping eff ect can be perfectly characterized by themotion of the point,while the quantuMevolution in the second-quantized Model can be exp ressed by an elegant formula of the Majorana points.We find that theMotions of states in the two Models are the saMe in linear case.In the nonlinear case,the contribution of the boson interactions to the formu la of Majorana points in the second quantized model can be decoMposed into two parts:one is the single point part which equals to the nonlinear part of the equation in Mean-field Model under lager boson number liMit;the other one is related to the correlations between the Majorana pointswhich cannot be found in the equation of the point in mean-field model.Thismeans that,the quantuMfluctuation which is neglected in themean-field model can be rep resented by these correlations.To illustrate our resu lts and shed More light on these two diff erent Models,we discussed the quantuMstate evolution and corresponding self-trapping phenomenon With diff erent boson numbers and boson interacting strength by using the fidelity between the states of the two Models and the correlation between the Majoranapoints and the single points in the Mean-field Model.The resu lt shoWthat the dynaMics evolution of the two models are quite diff erent With small boson numbers,since the correlation between the Majorana stars cannot be neglected.However,the second-quantized evolution and theMean-field evolution still vary in both the fidelity popu lation diff erence between the two boson Modes and the fidelity of the states in the two Models.The diff erence between the continuous changes of the second quantized evolution With the boson interacting strength and the critical behavior of the Mean-field evolution which related to the self-trapping eff ect is also discussed.These results can help us to investigate hoWto include the quantuMfluctuation into theMean-field Model and find a Method beyond theMean field app roach.

Majorana representation,self trapping,Mean-field approach

10.7498/aps.66.160302

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：11405008,11175044)和吉林省科技發(fā)展計(jì)劃(批準(zhǔn)號(hào)：20160520173JH)資助的課題.

?通信作者.E-Mail:liuhd100@nenu.edu.cn

?通信作者.E-Mail:zhengty@nenu.edu.cn

?2017中國(guó)物理學(xué)會(huì)C h inese P hysica l Society

http://Wu lixb.iphy.ac.cn