敏銳發(fā)現(xiàn) 及時捕捉 高效利用

胡壽芹

摘 要：學生認知錯誤是數(shù)學教學中常有的現(xiàn)象，教師應該轉變心態(tài)，充分運用錯誤資源，變廢為寶，真正促進學生核心素養(yǎng)的有效發(fā)展。本文提出要暴露問題，在發(fā)現(xiàn)錯誤中研制教學內容；對比生成，在捕捉錯誤中明確教學方向；變廢為寶，在利用錯誤中提升思維能力，從而促進學生核心素養(yǎng)的高效發(fā)展。

關鍵詞：錯誤資源；變廢為寶；課堂教學；利用錯誤

課堂教學是以教學內容為載體、緊扣教學目標進行的師生對話，每個學生都是這個網絡狀態(tài)下的支點。在系統(tǒng)構建和信息發(fā)布的過程中，學生難免會發(fā)生一些錯誤。如果運用得當，這些錯誤就可以為課堂教學提供有效的資源。因此，這就要求教師要善于從學生的動態(tài)生成中發(fā)現(xiàn)、捕捉和運用學生的錯誤信息，引領學生經歷從錯誤到正確、從混沌到清晰的過程，從而促進數(shù)學教學向縱深推進。

一、暴露問題，在發(fā)現(xiàn)錯誤中研制教學內容

1. 羅列問題，讓認知偏差真實再現(xiàn)

學生進入課堂之前，已經不再是一張白紙，他們原始性的經驗儲備和認知狀態(tài)，是展開課堂教學的基礎。在這些基礎性認知資源中，同樣會蘊藏一些錯誤。教師可以引領學生在參與實踐活動的過程中，讓其錯誤的認知得到展示，從而在認知錯誤的過程中進行糾偏。

如在教學“小數(shù)乘法”這一內容時，教師要求學生計算1.7×4，讓學生展示基礎性認知資源。學生呈現(xiàn)出四種典型的計算方法：①將乘法轉化為加法：1.7+1.7+1.7+1.7=6.8；②將小數(shù)轉化為整數(shù)：1.7×10=17，17×4=68，68÷10=6.8；③受筆算加法的影響，不少學生出現(xiàn)了自己理解狀態(tài)下的小數(shù)乘法法則，列豎式時將因數(shù)的整數(shù)部分對齊；④對小數(shù)乘法的運算方法已經理解并在實踐過程中進行了靈活運用。

第③種方法中，學生以慣性思維認為小數(shù)乘法也需要將小數(shù)點對齊，正是這一展示過程，暴露出基礎性資源中的錯誤信息。教師就應該針對這一問題組織學生進行研討和分析，更好地引領學生參與到教學活動中，將這一難能可貴的認知錯誤作為著力引導、點撥的重要內容。

2. 創(chuàng)設平臺，讓模糊思維展露無遺

在一個班集體中，學生之間的差異性是客觀存在的，無論是原始經驗還是認知能力都有著一定的層次之分。而對于數(shù)學教學而言，這些客觀存在的差異也是教師進行教學的重要資源。

如在教學“運用乘法定律進行簡便運算”時，教師列出兩題：計算（4×7）×25和（4+7）×25。學生興趣高漲，紛紛表達自己的想法，一位學生表示：第一題可以運用乘法交換律，先計算4×25=100，再與7相乘，得到700；第二題可以先計算4×25=100，然后再加上7，得到107。教師相機評價：說得好，但第二題有一個地方沒有處理好。隨后，教師引領學生思考：為什么做錯了，老師還是肯定了他？很多學生意識到因為這位同學善于觀察，將4×25先計算，從而得到整百數(shù)。

教師讓學生在分享交流的過程中凸顯了其認知思維過程的混沌，暴露了學生的錯誤，真正促進了學生核心目標的發(fā)展。

二、對比生成，在捕捉錯誤中明確教學方向

1. 在聯(lián)系對比中捕捉信息

教師要善于鼓勵學生進行發(fā)散行為，為有認知錯誤的學生發(fā)言搭建基礎，在學生逐漸趨向認同時，教師就可以將學生的關注力引向思維認知的另外一方，從而引領學生在拓展中發(fā)現(xiàn)全新的認知信息，提升學生的認知能力。

如“計算乘法”有這樣一道題：一本書需要21元，購買14本需要多少錢？不少學生都提出可以先計算10本書的價格，即21×10=210元，再計算4本書的價格，即21×4=84元，然后兩者相加就可以得出14本書總共的價格。教師相機指明這其實就是乘法筆算的思維過程，借以喚醒學生內在的認知欲望。隨后，順勢羅列出幾種筆算方法引領學生進行探究，更好地促進學生思維能力的發(fā)展（如圖1）。

學生在對比中發(fā)現(xiàn)，第①種算法容易理解，同時也有學生補充可以將加號省略在頭腦中；而②中將21拆分為20與1，先計算1個14，再計算20個14，最后相加得到結果，方法不同，但最終的結果卻是正確的；而第③種則將具體計算過程記在頭腦中，教師尊重了學生的認知。但隨著教師所列舉的數(shù)值越來越大，學生在計算中則逐步認識到第②種、第③種相對復雜，故而舍去。

在之后的教學實踐中，學生的計算方法不斷更新與調整，逐步向最佳方法邁進。學生內在思維的發(fā)散過程，正是學生獲取知識的過程。通過在實踐中的對比，充分關注學生內在的個性化特點和學生的個性化創(chuàng)意，將學生思維發(fā)散的過程作為了課堂教學的資源。

2. 在認知沖突中捕捉信息

在正式展開教學之前，教師可以通過學習前置單等形式對學生這一認知進行分析，了解學生的學習障礙，并在分析的過程中明確教學的重難點，從而引領學生克服障礙。

如在計算“3.5×17”時，學生的列式計算分別如下（如圖2）。

在交流的過程中，學生通過判斷，明晰錯誤的原因：第①種方法是錯誤的，因為計算過程中小數(shù)點的數(shù)位沒有對齊，即便是估算的話，也絕對比28大很多；第②種方法雖然計算的結果是正確的，但在小數(shù)點的確定上思想不夠統(tǒng)一，還有學生指出這樣計算確定小數(shù)點的方法完全是照搬了小數(shù)相加減的方法，運用這種方法計算其他題目時容易出現(xiàn)錯誤。小數(shù)與小數(shù)的乘法就應該將其視為整數(shù)相乘，計算得出結果之后，再根據(jù)因數(shù)變化規(guī)律來確定小數(shù)點的位置。

這種方法讓很多學生眼前一亮，多么精彩而獨到的見解。學生都在不同想法的認知沖突中，生成了最重要的數(shù)學教學資源，更呈現(xiàn)了對學生之前的錯誤認知徹底重新調整的過程，從而促進學生素養(yǎng)的高效發(fā)展。

三、變廢為寶，在利用錯誤中提升思維能力

1. 從機械推進到重心下移

為了給予學生開放性的真實課堂、清晰學生的內在思維，我們應該在教學過程中進行適當?shù)摹爸匦南乱啤保旱谝?，一切教學行為必須要以學生內在的認知需求作為教學的出發(fā)點和重心點；第二，教師要盡可能將教學所涉及的問題“放下去”，給予學生獨立面對問題的契機，并運用自身的認知能力解決問題。

以教學“萬以內的退位減法”為例，教師先組織學生進行預習，并對退位減法的方法進行討論與交流，組織學生進行題目的自主創(chuàng)編，再相機進行計算、評析和最終的質疑。其中一個學習小組提出：2031-1641，被減數(shù)在十位上的數(shù)字3不能被4減，就需要從百位上退位，但此時百位上的數(shù)字為0，又需要從千位上退位，答案是390，這個算法正確嗎？這一問題在第一課時出現(xiàn)頗為意外。很多教師在遭遇這一問題時，可能會采用回避的方法，告知學生以后我們會專門學習這個問題，暫時可以將這一問題放一放。但學生已經產生了這樣的困惑，形成了相應的學習需求，教師就應該將教學的關注點適當向學生的認知轉移，及時調整原先的教學思路。在重心下移的過程中，教師組織學生進行系統(tǒng)的研討，順勢解決了學生的困惑，為后續(xù)深入學習奠定了基礎，并埋下了伏筆。

在這一問題的解決過程中，雖然耗費了學生一定的時間和精力，但契合了學生的認知需求，還是非常值得的。

2. 從教師點撥到多元互動

如果課堂中的錯誤信息完全源自于學生，討論也由學生的錯誤而起，那課堂就會真正演變成為學生自主參與的重要場所。如此學習，就會形成學生與學生之間的思維交鋒。

如在教學“不連續(xù)進位加”時，教師就創(chuàng)設了進入超市進行購物的生活情境，出示商品價格，要求學生從自己的喜好出發(fā)，選擇兩件商品并計算價格，一位顧客選擇了一件上衣和洗衣機，價格分別為807元和934元，教師讓學生把筆算過程展示出來（如圖3），引導學生進行質疑提問。

生1：怎么會在個位上寫上11？該生：因為7+4=11。生2：11已經是兩位數(shù)，應該向十位進一位才對。生3：個位上進來的1，可以先標在“0”上面。教師追問：為什么要這樣做？生4：我覺得進上來的1，可以標注在橫線上，不容易與退位相混淆。

面對學生的錯誤，教師并沒有“越俎代庖”，而是引領學生在彼此研討、質疑的過程中展現(xiàn)自己的學習思維，讓學生在各自表達的過程中進行深入分析與對比，從而理清錯誤的本質，并順勢發(fā)現(xiàn)學生思維中的亮點，促進學生思維能力的發(fā)展。

學生認知錯誤是數(shù)學教學中常有的現(xiàn)象，教師應該轉變心態(tài)，充分運用錯誤資源，真正變廢為寶，真正促進學生核心素養(yǎng)的有效發(fā)展。