二次根式高頻錯題解析

王祖韜

二次根式這一章的內(nèi)容主要包括二次根式的定義和性質(zhì)、二次根式的運(yùn)算這兩大塊.同學(xué)們在掌握相關(guān)概念和法則時可能感覺到比較容易，當(dāng)考查的知識點(diǎn)單一時，處理起來也比較方便，但當(dāng)二次根式和其他的知識點(diǎn)一起出現(xiàn)時，同學(xué)們在處理過程中往往會忽視細(xì)節(jié)或缺少一些方法.現(xiàn)在我們把常見的錯誤列舉出來和同學(xué)們分享.

一、二次根式有意義的條件

例1 若代數(shù)式[x+1（x-3） 2]有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（ ）.

A.x≥-1 B.x≥-1且x≠3

C.x>-1 D.x>-1且x≠3

【錯解】A.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式有意義的條件，被開方數(shù)應(yīng)大于或等于0，分母應(yīng)不等于0，可以求出x的范圍.錯解的原因是忽視了分母不能等于0.

【解答】根據(jù)題意得[x+1≥0，x-3≠0，]解得x≥-1且x≠3.故選B.

【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)有：分式有意義的條件是分母不為0；二次根式的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

二、二次根式非負(fù)性的運(yùn)用

例2 若[x-1+（y-2）][2]=0，則x+y等于（ ）.

A.1 B.3 C.-1 D.-1或3

【錯解】B.

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程并求出x、y的值，代入所求代數(shù)式計算即可.

【解答】 因為[x-1+（y-2）][2]=0，

又因為[x-1≥0，][（y-2）][2][≥0，]

所以x-1=0，[y-2=0]，

所以x=1，y=±2，

所以x+y=1+2=3或x+y=1+（-2）=-1.

【點(diǎn)評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)都為0.

三、二次根式的化簡

例3 實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，化簡[（a-1） 2+a=] .

【錯解】2a-1.

【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡二次根式，再根據(jù)整式的加法，可得答案.

【解答】[（a-1） 2]+a=[a-1]+a=1-a+a=1，故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，會對[a 2=][a]進(jìn)行化簡是解題的關(guān)鍵.

四、二次根式的計算

例4 若x<0，則[x-x2x]的結(jié)果是（ ）.

A.0 B.-2 C.0或-2 D.2

【錯解】A.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當(dāng)x<0時，先化簡二次根式[x 2]，[x 2]=[x]=-x，再根據(jù)整式的運(yùn)算，可得答案.

【解答】原式=[x-xx=x--xx]

=[2xx=2].

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)、化簡以及整式的計算，當(dāng)a<0時，對[a 2=][a]=-a進(jìn)行正確的化簡是計算的關(guān)鍵.

五、將二次根式根號外的因式移到根號內(nèi)

例5 把x[-1x] 根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡的結(jié)果是（ ）.

A.[x] B.[-x]

C.[-x] D.[--x]

【錯解】A或B.

【分析】本題首先根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0，得到[-1x≥0]，∴x<0.化簡的時候有兩種方法：一是將[-1x]化簡為最簡二次根式，再與根號外的x相乘；二是把根號外的x移到根號內(nèi).

【解答】由題意知：x<0，

方法一：[x-1x=x1·-x-x·-x=x-x-x2]

=[x·-x-x=x·-x-x=--x].

方法二：[x-1x=--x2·-1x]

=[--x2·-1x=--x].

【點(diǎn)評】無論是方法一還是方法二，關(guān)鍵都要抓住x<0這個隱含條件.在處理的時候既要保證整個式子的值是一個負(fù)數(shù)，又要保證被開方數(shù)大于或等于0.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學(xué)校）