二次根式性質(zhì)再探究

朱適宜

二次根式是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容.從歷年的中考試題來看，二次根式性質(zhì)是易考點，也是易錯點.本文將考查二次根式性質(zhì)的常見類型整理如下.

例1 若式子[x-4]在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）.

A.x<-4 B.x≥-4 C.x≤4 D.x≥4

【分析】若二次根式有意義，則被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

【解答】依題意知，x-4≥0，解得x≥4.故選D.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件和性質(zhì).概念：式子[a]（a≥0）叫二次根式.性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.

例2 已知（x-4）2+[y-5]+[z-3]=0，計算以x、y、z為三邊長的三角形的面積.

【分析】根據(jù)二次根式結(jié)果具有非負(fù)性，平方和絕對值也具有非負(fù)性，得到：（x-4）2≥0，[y-5≥0]，[z-3][≥0]，三個非負(fù)數(shù)之和為0，則每個數(shù)都為0.

【解答】由題意得：

（x-4）2=0，[y-5=0]，[z-3][=0].

所以x=4，y=5，z=3.

又因為[32+42=52，所以][z2+x2=y2]，

因此這是一個直角三角形，3、4是直角邊長，5是斜邊長.所以三角形面積為[12]×3×4=6.

【點評】本題考查了二次根式的結(jié)果具有非負(fù)性.由于式子[a]（a≥0）叫二次根式，[a]也可以理解為是a的算術(shù)平方根，因此其結(jié)果具有非負(fù)性.

例3 已知實數(shù)a、b、c對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡式子：

[a2-a-b+（c-a）2+（b+c）2]

【分析】本題先觀察數(shù)軸得：b[c]，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)[a2]=[a]，將式子先轉(zhuǎn)化為：[a]-[a-b]+[c-a+b+c].再根據(jù)正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，對絕對值進(jìn)行化簡.最后根據(jù)整式的加減進(jìn)行計算.

【解答】原式=[a]-[a-b]+[c-a+b+c]

=（-a）-（a-b）+（c-a）+（-b-c）

=-a-a+b+c-a-b-c

=-3a.

【點評】本題考查了二次根式性質(zhì)：[a2=][a]，是一個綜合題，數(shù)軸、二次根式的性質(zhì)、絕對值的化簡、整式的加減都要掌握才能正確地解決本題，希望同學(xué)們學(xué)習(xí)時不要遺漏任何知識點.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學(xué)校）