“運(yùn)算教學(xué)”的內(nèi)涵探尋及策略建構(gòu)

曾桂治

摘 要：運(yùn)算能力是學(xué)生核心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，關(guān)鍵是平衡算理與算法的關(guān)系、算法多樣化與算法優(yōu)化的關(guān)系、多種算法之間的關(guān)系等。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)經(jīng)驗(yàn)理解算法、借助模型探究算法、運(yùn)用結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法。在算法融通、運(yùn)用中提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

關(guān)鍵詞：運(yùn)算教學(xué)；算理；算法；算法優(yōu)化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確將“運(yùn)算能力”作為學(xué)生十大數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，說(shuō)明學(xué)生的運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。運(yùn)算不同于計(jì)算，計(jì)算更多地指技能的形成，而運(yùn)算更加關(guān)注學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、思想方法的滲透等。學(xué)生的運(yùn)算能力分為三個(gè)層次：一是計(jì)算精準(zhǔn)化，二是計(jì)算快捷化，三是計(jì)算靈活化。小學(xué)階段，學(xué)生運(yùn)算的具體內(nèi)容及表現(xiàn)形式為口算、筆算、估算以及驗(yàn)算等，其中口算是基礎(chǔ)，筆算是核心，估算是預(yù)測(cè)，驗(yàn)算是保證。

一、追尋價(jià)值：運(yùn)算教學(xué)的本真內(nèi)涵

運(yùn)算能力不是一種單純的、孤立的計(jì)算能力，而是一種融學(xué)生觀(guān)察力、記憶力、思維力、想象力、推理力等于一爐的綜合性能力。同時(shí)，學(xué)生運(yùn)算能力的形成也不是一蹴而就的，而是要經(jīng)歷“嘗試—理解—內(nèi)化—提升”這一逐漸深化的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，教師要處理好三對(duì)關(guān)系：一是算理和算法的關(guān)系；二是算法多樣化與算法優(yōu)化的關(guān)系；三是平衡口算、筆算、估算以及用計(jì)算器計(jì)算之間的關(guān)系。

1. 算法：在算理理解中建構(gòu)

算理是運(yùn)算的基礎(chǔ)、算法是運(yùn)算的建構(gòu)，算理是隱性的、算法是顯性的，算理解決“為什么這樣運(yùn)算”的問(wèn)題、算法解決“怎樣算”的問(wèn)題。在學(xué)生運(yùn)算能力培養(yǎng)過(guò)程中，教師要“理法”并重、循“理”入“法”、以“理”馭“法”。有教師在教學(xué)中盲目地讓學(xué)生進(jìn)行“運(yùn)算演練”，學(xué)生雖然也能根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，但由于不理解算理，使得運(yùn)算總是不靈活。例如教學(xué)蘇教版二年級(jí)的“兩三位數(shù)的加法和減法”，學(xué)生雖然能夠準(zhǔn)確運(yùn)算92-39，但當(dāng)學(xué)生遇到400-139時(shí)，有學(xué)生就在十位上的計(jì)算發(fā)生了錯(cuò)誤。這是因?yàn)?2-39只是個(gè)位相減不夠，學(xué)生只要向十位“借一當(dāng)十”就行，而面對(duì)400-139的計(jì)算，學(xué)生根本不清楚為什么從百位上借1，十位上變成90，個(gè)位上變成了10。因此教學(xué)中，教師必須讓學(xué)生理解這樣的算理：400=300+90+10。只有這樣，學(xué)生的運(yùn)算才不再是機(jī)械模仿、依葫蘆畫(huà)瓢，而是擁有了一種理性。

2. 算法：在多樣化中優(yōu)化

當(dāng)下的運(yùn)算教學(xué)似乎走進(jìn)了一個(gè)過(guò)度重視算法多樣化的實(shí)踐誤區(qū)。算法多樣化是學(xué)生原生態(tài)的多元算法，值得呵護(hù)。但這些算法有的停留在感性的層面，有的缺乏思維含量，有的則比較煩瑣，有的算法比較奇特、不具有普遍性等。凡此種種，都要求教師要在算法多樣化的基礎(chǔ)上及時(shí)展開(kāi)算法優(yōu)化。只有進(jìn)行算法優(yōu)化，學(xué)生的運(yùn)算能力才能獲得切實(shí)提高。例如一位教師教學(xué)蘇教版一年級(jí)的“十幾減9”時(shí)，計(jì)算13-9，學(xué)生產(chǎn)生了多樣化算法，有的用“數(shù)數(shù)法”；有的用“直觀(guān)操作法”，從13個(gè)圓片里直接拿走9個(gè)；有的用“算減想加法”，因?yàn)?加4等于13，所以13減9等于4；有的用“破十法”，從10里先減去9，得1，再用1加3等于4；有的用“平十法”……對(duì)于不同算法，教師要引導(dǎo)學(xué)生比較、思考。結(jié)果有學(xué)生發(fā)現(xiàn)“破十法”有效，不僅可以算“十幾減9”，也可以算“十幾減8、7”；有學(xué)生發(fā)現(xiàn)“平十法”巧妙；有學(xué)生發(fā)現(xiàn)“算減想加法”快捷等。算法優(yōu)化，讓學(xué)生的運(yùn)算方法走向靈活，運(yùn)算思維得到發(fā)展，運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)、技能獲得提升。

二、建構(gòu)策略：運(yùn)算教學(xué)的價(jià)值實(shí)現(xiàn)

學(xué)生運(yùn)算能力的形成過(guò)程既是一種認(rèn)識(shí)過(guò)程，也是一種實(shí)踐過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生掌握運(yùn)算知識(shí)，形成運(yùn)算技能，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想。將“四基”巧妙地融入運(yùn)算教學(xué)之中，能夠找到運(yùn)算教學(xué)策略的綠色通道。教師可以圍繞學(xué)生的運(yùn)算基礎(chǔ)、運(yùn)算需求、建構(gòu)規(guī)律等展開(kāi)教學(xué)。

1. 調(diào)動(dòng)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生的算法理解

運(yùn)算與學(xué)生的生活息息相關(guān)，學(xué)生在日常生活中已經(jīng)積累了大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，比如購(gòu)物、數(shù)物體、頓筷子、分物品等。這些經(jīng)驗(yàn)都沉睡在兒童的腦海之中，等待教師喚醒。生活經(jīng)驗(yàn)不僅有利于學(xué)生感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義和價(jià)值，更有利于學(xué)生深入地分析、理解運(yùn)算算理。教學(xué)中，教師要充分激活、調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)算法。

例如教學(xué)“小數(shù)的加法和減法”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第9冊(cè)），有這樣一道題目：小明買(mǎi)的講義夾是4.75元，小麗買(mǎi)的筆記本是3.4元，小明和小麗一共要花多少元？學(xué)生在嘗試計(jì)算時(shí)出現(xiàn)了兩種算法，一種算法是“末位對(duì)齊”，另一種算法是“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”。對(duì)于這兩種算法，筆者讓學(xué)生交流、討論。

生1（類(lèi)比）：我認(rèn)為，整數(shù)加減法是末位對(duì)齊，小數(shù)加減法也應(yīng)該是末位對(duì)齊。

生2：我認(rèn)為，末位對(duì)齊對(duì)于這一道題來(lái)說(shuō)不適用。因?yàn)?.4元是3元4角，而4.75元是4元7角5分，末位對(duì)齊，就是將角和分相加、元和角相加了。

生3：對(duì)，我認(rèn)為小數(shù)加減法也要數(shù)位對(duì)齊，元加元、角加角、分加分。

生4：我認(rèn)為，整數(shù)加減法的實(shí)質(zhì)是數(shù)位對(duì)齊，所以在整數(shù)豎式寫(xiě)法上表現(xiàn)為末位對(duì)齊。我想小數(shù)加減法應(yīng)該也是數(shù)位對(duì)齊。

師：我們來(lái)嘗試寫(xiě)一寫(xiě)，看看小數(shù)加減法的數(shù)位對(duì)齊，它的形式表現(xiàn)為什么？

學(xué)生嘗試解決問(wèn)題。

生5：老師，我發(fā)現(xiàn)數(shù)位對(duì)齊，在小數(shù)加減法里表現(xiàn)為“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”。

學(xué)生用其他算式展開(kāi)驗(yàn)證。

當(dāng)學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中遇到問(wèn)題、障礙或困難時(shí)，學(xué)生首先聯(lián)想到的是自己的生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生獲得對(duì)算理的理解。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生實(shí)踐嘗試、經(jīng)歷辨析，逐步讓算法建構(gòu)走向理性、生動(dòng)、深刻。

2. 借助直觀(guān)模型，助推學(xué)生算法探究

直觀(guān)的模型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的齊性操作材料，如小棒、圓片、圖形、計(jì)數(shù)器等。直觀(guān)模型是促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)算法的重要載體。借助直觀(guān)模型的操作活動(dòng)，學(xué)生能夠自主探索運(yùn)算方法。直觀(guān)模型讓抽象化、形式化的算法變得具體、形象、直觀(guān)。

例如教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第6冊(cè)），針對(duì)24×12，筆者采用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生結(jié)合“點(diǎn)子圖”的方法，搭建從口算到筆算的橋梁。學(xué)生通過(guò)在“點(diǎn)子圖”上圈一圈、畫(huà)一畫(huà)，確證和表征思維過(guò)程。根據(jù)“點(diǎn)子圖”，學(xué)生分兩步展開(kāi)運(yùn)算：先算24乘10，再算24乘2，然后將24乘10和24乘2合并起來(lái)。通過(guò)“點(diǎn)子圖”，學(xué)生對(duì)24×12實(shí)行結(jié)構(gòu)化分析。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“點(diǎn)子圖”，將24乘12寫(xiě)成豎式乘法形式，由于學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)形結(jié)合的算理推導(dǎo)過(guò)程，因此學(xué)生基本上都能夠用自己的方式創(chuàng)構(gòu)豎式。這樣的算理教學(xué)，不再枯燥乏味，而是充滿(mǎn)童真、童趣的。學(xué)生理解了24×12豎式運(yùn)算中的每一步所表示的意義，因此運(yùn)算教學(xué)不再是過(guò)去那種程式化、格式化的教學(xué)，而是實(shí)現(xiàn)了算法和算理的深度融合。如此，不僅讓學(xué)生在理解算理意義時(shí)理解了算法，而且感受并體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合的思想。

算法是抽象的，算理是看不見(jiàn)的。借助直觀(guān)模型，能夠支撐、助推學(xué)生對(duì)算理的理解，能夠讓“看不見(jiàn)的算理”可視化，符合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理需求。

3. 優(yōu)化算法結(jié)構(gòu)，引領(lǐng)學(xué)生的提升

在小學(xué)階段，運(yùn)算教學(xué)分散在不同年級(jí)教材的不同單元之中。運(yùn)算算法之間存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，如整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法等彰顯的是“計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加或者相減”的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)中，只有當(dāng)學(xué)生洞悉了運(yùn)算的“結(jié)構(gòu)之眼”，把握了運(yùn)算的“結(jié)構(gòu)之形”，領(lǐng)悟了運(yùn)算的“結(jié)構(gòu)之魂”后，才能在運(yùn)算中得心應(yīng)手、游刃有余。因此，教師要有意識(shí)地優(yōu)化算法結(jié)構(gòu)，引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)算能力的不斷發(fā)展、提升。

例如教學(xué)“小數(shù)乘小數(shù)”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第9冊(cè)），在學(xué)生初步掌握了小數(shù)的算法后，筆者用兩道習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比：1.15×3.2和115×32，讓學(xué)生比較算法，學(xué)生認(rèn)為小數(shù)乘法就是先按照整數(shù)乘法（115×32）算出積，再給積添上小數(shù)點(diǎn)。有學(xué)生認(rèn)為，今后計(jì)算小數(shù)乘法，就可以尋找一個(gè)“隱形的替身”等。筆者抓住學(xué)生這一“童稚化”的表述，引導(dǎo)學(xué)生深度思考：115×32這樣一個(gè)“替身”，原型可能是什么？學(xué)生的運(yùn)算思維被重新激活，他們紛紛發(fā)言，有的說(shuō)可能是11.5×32，有的說(shuō)可能是11.5×3.2，還有的說(shuō)可能是11.5×0.32等。在此基礎(chǔ)上，筆者再次展開(kāi)深度追問(wèn)：這些算式的積有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？通過(guò)比較，學(xué)生認(rèn)為，這些積也都有一個(gè)“替身”，就是3680。但它們又各不相同，有的有3680個(gè)0.1，有的有3680個(gè)0.01，有的有3680個(gè)0.001……如此，學(xué)生在對(duì)比中溝通聯(lián)系，以?xún)和姆绞匠浞职l(fā)掘整數(shù)乘法和小數(shù)乘法算法中的共同點(diǎn)，學(xué)生建構(gòu)算法關(guān)聯(lián)，形成核心觀(guān)念。

一直以來(lái)，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則給學(xué)生的印象是“不同的”“孤立的”“不能混淆的”，然而這些貌似不同的運(yùn)算法則其實(shí)都有著相通之處，背后的算理是一致的。

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)能力的核心要素，是數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的能力。教師要有意識(shí)地把數(shù)學(xué)思想方法的啟迪、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積淀融入算法教學(xué)之中，讓運(yùn)算教學(xué)煥發(fā)出應(yīng)有的魅力。運(yùn)算能力的培養(yǎng)不是孤立的，而應(yīng)當(dāng)與解決問(wèn)題的過(guò)程結(jié)合起來(lái)，凸顯其工具性功能。通過(guò)運(yùn)算培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，建立學(xué)生科學(xué)的運(yùn)算觀(guān)念，提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，讓學(xué)生的運(yùn)算不斷走向正確、快速與靈活，這是運(yùn)算教學(xué)的核心價(jià)值之所在。