靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題中唯一性定理的應(yīng)用

鄭 偉, 高天附

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題中唯一性定理的應(yīng)用

鄭 偉, 高天附

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

在電磁場(chǎng)理論中,關(guān)于靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解是重要而基本的。關(guān)于靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解,在一般情況下可歸結(jié)為在給定邊界條件下求解場(chǎng)方程的問(wèn)題,唯一性定理是求解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的理論基礎(chǔ)。在電磁場(chǎng)相關(guān)課程中,靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解都是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),但是作為判斷場(chǎng)解正確性和唯一性的唯一性定理卻經(jīng)常被忽視。針對(duì)靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的幾種典型解法,以典型習(xí)題為例,深入分析了在各種解法中唯一性定理的應(yīng)用及其重要意義,說(shuō)明了在靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題中應(yīng)用唯一性定理解題的思路和技巧。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,指出了加強(qiáng)唯一性定理教學(xué)對(duì)于靜態(tài)場(chǎng)教學(xué)的重要性,給出了關(guān)于唯一性定理教學(xué)的具體建議。

唯一性定理; 靜電場(chǎng); 邊值問(wèn)題

靜電場(chǎng)的求解方法和特殊函數(shù)是動(dòng)態(tài)電磁場(chǎng)的邊值問(wèn)題求解的基礎(chǔ),關(guān)于靜電場(chǎng)的求解在電磁場(chǎng)理論中是重要而基礎(chǔ)的。靜電場(chǎng)求解問(wèn)題可歸結(jié)為在給定邊界條件下求解場(chǎng)方程的問(wèn)題,通常情況下可化為一定邊值條件下解二階偏微分方程的問(wèn)題,一般統(tǒng)稱為靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題。對(duì)于靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題已有許多解法,而其所得解是否唯一皆由唯一性定理[1]給出。靜電場(chǎng)的唯一性定理是確立靜電場(chǎng)有唯一正確解的標(biāo)準(zhǔn),是關(guān)于求解靜電場(chǎng)的各種方法的理論基礎(chǔ)。

在相關(guān)電磁場(chǎng)理論課程的教學(xué)中,靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題的求解是教學(xué)中的重點(diǎn)[2-6],同時(shí)也是教學(xué)難點(diǎn),教師在教學(xué)中關(guān)注點(diǎn)多在具體的各種解法上,而學(xué)生在學(xué)習(xí)中對(duì)多種解法應(yīng)接不暇,在教與學(xué)的過(guò)程中大多會(huì)忽略作為基礎(chǔ)的唯一性定理。實(shí)際上,唯一性定理對(duì)于求解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題有極其重要的指導(dǎo)意義,對(duì)唯一性定理的理解和應(yīng)用常常在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)有事半功倍的效果。本文從教學(xué)實(shí)踐出發(fā),針對(duì)靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的常見(jiàn)解法進(jìn)行分析,討論唯一性定理在其中的重要應(yīng)用,希望能為唯一性定理的教學(xué)提供一點(diǎn)思路。

1 唯一性定理

關(guān)于此定理的應(yīng)用需注意:1)在滿足唯一性定理的條件下,解是唯一的,但是不同情況下解的具體表述形式可以是不同的;2)區(qū)域的邊界條件可以分為3種,第1類為Dirichlet邊界條件即給定邊界電勢(shì);第2類為Neumann邊界條件即給定邊界電勢(shì)的法向?qū)?shù);第3類為混合邊界條件即已知一部分邊界電勢(shì),已知一部分邊界電勢(shì)的法向?qū)?shù)[7-9]。

2 定理的應(yīng)用

靜電場(chǎng)的唯一性定理可以用來(lái)直接或間接求解靜電場(chǎng)[10-13],如常用的試探法、鏡像法求解靜電場(chǎng),而其他求解靜電場(chǎng)的常規(guī)方法如分離變量法和格林函數(shù)法,在求解靜電場(chǎng)時(shí)以解析法直接解場(chǎng)方程的方式得到場(chǎng)解,似乎無(wú)需用到唯一性定理,但實(shí)際求解時(shí),唯一性定理的應(yīng)用解決了所得解的正確性和唯一性的問(wèn)題。以下以典型的靜電場(chǎng)求解問(wèn)題為例闡明定理的應(yīng)用和重要性。

2.1 唯一性定理在鏡像法中的應(yīng)用

圖1 鏡像電荷設(shè)置示意圖Fig.1 Schematic diagram of the setting for image charge

鏡像法是求解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題較為直觀的方法。

典型習(xí)題1 在2種不同的均勻介質(zhì)分界面的一側(cè)有一自由電荷q,距界面距離為d,求空間的場(chǎng)。解此問(wèn)題需選擇直角坐標(biāo)系。介質(zhì)交界面處的邊界條件為

如圖1,在介質(zhì)2和介質(zhì)1中分別放置鏡像電荷q′和q″,則兩介質(zhì)中的電勢(shì)分別可以寫(xiě)為

將此解代入邊界條件,可得

由以上求解過(guò)程并不能發(fā)現(xiàn)唯一性定理的應(yīng)用,但此問(wèn)題的解決唯一性定理起了非常重要的作用,分析如下:1)由題干可知,介質(zhì)1中有一個(gè)點(diǎn)電荷,介質(zhì)2中無(wú)自由電荷,由唯一性定理,即求解區(qū)域中自由電荷分布給定,故在介質(zhì)1中電勢(shì)滿足泊松方程,在介質(zhì)2中滿足拉普拉斯方程;2)由題干可知,由于兩種介質(zhì)中只有一個(gè)自由點(diǎn)電荷,故區(qū)域有一邊界條件為無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零;3)嘗試解的點(diǎn)電荷表達(dá)式滿足場(chǎng)方程和全部邊界條件,由唯一性定理,此解是該問(wèn)題的唯一正確的解。

在使用鏡像法求解靜電場(chǎng)時(shí),鏡像電荷的設(shè)置和場(chǎng)解的具體形式必須在滿足唯一性定理的前提條件下提出,即鏡像電荷不能放置在待求場(chǎng)區(qū),否則影響場(chǎng)方程,解的形式除了滿足介質(zhì)交界面上的銜接條件外,還要滿足其他邊界處的條件,這樣才能保證場(chǎng)解是唯一正確的。故唯一性定理的應(yīng)用是鏡像法解題的核心思想之一。在教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)唯一性定理的思想,這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)鏡像法的時(shí)候思路會(huì)更加明確,實(shí)際應(yīng)用此解法時(shí)鏡像電荷的設(shè)置和試探場(chǎng)解的提出才更加有的放矢。

2.2 唯一性定理在分離變量法中的應(yīng)用

分離變量法是較為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)解析求解場(chǎng)方程的方法。

典型習(xí)題2 在均勻外場(chǎng)E0中放一半徑為R的的接地導(dǎo)體球,求空間的場(chǎng)。解此問(wèn)題需選擇球坐標(biāo)系?？紤]對(duì)稱性球外電勢(shì)φ的通解形式為勒讓德函數(shù)

邊界條件為

利用邊界條件可得通解中的系數(shù)

故場(chǎng)解為

以上解題過(guò)程為利用分離變量法,結(jié)合邊界條件,在球坐標(biāo)系中解得最終結(jié)果。該解法表面看來(lái)不需要應(yīng)用唯一性定理,仔細(xì)分析會(huì)發(fā)現(xiàn)唯一性定理的思想深入整個(gè)解題過(guò)程。分析如下:1)由題干可知,待求解區(qū)域中無(wú)自由電荷,滿足拉普拉斯方程,故由對(duì)稱性可以分離變量;2)由題干可知,此問(wèn)題滿足第一類邊界條件,即已知邊界處的電勢(shì);3)實(shí)際計(jì)算時(shí)代入邊界條件的計(jì)算過(guò)程,只要對(duì)應(yīng)系數(shù)相同即可,由此得到的解滿足場(chǎng)方程和全部邊界條件,由唯一性定理可知,是唯一正確的解,在計(jì)算時(shí)無(wú)需嚴(yán)格解析求解,大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程,降低了解題難度。

在使用分離變量法得到靜電場(chǎng)場(chǎng)解的過(guò)程中,使用唯一性定理分析問(wèn)題可以使解題思路明確,數(shù)學(xué)計(jì)算簡(jiǎn)化,場(chǎng)解的唯一正確性得到理論上的保證。在教學(xué)過(guò)程中,分離變量法較為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)解析過(guò)程較容易為學(xué)生接受,故如果先由分離變量法開(kāi)始,分析唯一性定理的應(yīng)用思想,深入剖析問(wèn)題的物理本質(zhì),進(jìn)而嘗試使用其他解法更容易令學(xué)生接受,在教學(xué)中會(huì)起到良好的效果。

2.3 應(yīng)用唯一性定理直接求解靜電場(chǎng)

試探法是直接應(yīng)用唯一性定理求解靜電場(chǎng)的方法。

圖2 位于介質(zhì)中的帶電圓柱Fig.2 Charged cylinder in the medium

典型習(xí)題3 如圖2,一半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱上均勻分布著電荷,電荷線密度為λ,柱外空間均勻充滿兩種介質(zhì)。求空間電場(chǎng)。

分析空間電場(chǎng)可知,圓柱外空間的電場(chǎng)由均勻分布在圓柱體上的自由電荷和兩介質(zhì)中各自均勻分布的極化電荷共同激發(fā),故柱外的電場(chǎng)具有柱對(duì)稱性,方向沿柱坐標(biāo)系中的er方向。故對(duì)柱外電場(chǎng)提出試探解:

邊界條件為

由此邊界條件可得場(chǎng)解為

驗(yàn)證可知,此解滿足場(chǎng)方程和介質(zhì)交界面處邊值關(guān)系E1θ=E2θ, E1t=E2t,故為唯一正確的解。

前面例示的典型習(xí)題2也可以用試探法解題。分析該問(wèn)題的物理實(shí)質(zhì),當(dāng)該導(dǎo)體球置入均勻外場(chǎng)時(shí),空間的電場(chǎng)由均勻外場(chǎng)和導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷共同激發(fā),導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷分布具有對(duì)稱性,相當(dāng)于許多電偶極子。故對(duì)于球外電場(chǎng)提出嘗試解:

其中前一項(xiàng)為均勻外場(chǎng)的電勢(shì),后一項(xiàng)為電偶極子的電勢(shì),此解必然滿足泊松方程。同樣可由邊界條件得到場(chǎng)解的具體形式。可以發(fā)現(xiàn),用試探法解此靜電場(chǎng)問(wèn)題比分離變量法更為方便,極大地簡(jiǎn)化了解題過(guò)程,很容易得到正確的場(chǎng)解。

試探法在靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題中的應(yīng)用直接體現(xiàn)了唯一性定理在求解靜電場(chǎng)時(shí)的重要意義和價(jià)值。表現(xiàn)為當(dāng)靜電場(chǎng)的場(chǎng)方程和邊界條件確定時(shí),無(wú)論通過(guò)何種途徑得到的解,只要滿足場(chǎng)方程和邊界條件,所得解必為唯一正確的解。分析如下:1)提出適當(dāng)?shù)膰L試解的形式滿足場(chǎng)方程;2)場(chǎng)解的具體形式由邊界條件決定;3)無(wú)需嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo),得到的場(chǎng)解必是唯一正確的。

看似簡(jiǎn)單的試探法實(shí)際是教學(xué)中最難為學(xué)生掌握的一種方法,究其根本原因,一是因?yàn)樵诮虒W(xué)內(nèi)容安排上,在講述唯一性定理后馬上安排試探法的教學(xué),學(xué)生無(wú)法深入理解定理的深刻內(nèi)涵,也就無(wú)法靈活應(yīng)用;二是學(xué)生對(duì)靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的物理本質(zhì)分析不夠透徹,無(wú)法提出合適的嘗試解。鑒于這兩點(diǎn),在教學(xué)中更要注重唯一性定理的教學(xué),重視對(duì)每一典型例題和習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生深入把握唯一性定理的思想,逐步加深對(duì)定理的理解,從而達(dá)到熟練應(yīng)用。

3 結(jié) 語(yǔ)

在教學(xué)中,任何一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)都是教學(xué)研究中值得重視和深入思考的,靜電場(chǎng)的唯一性定理的教學(xué)也不例外。對(duì)靜電場(chǎng)的唯一性定理的認(rèn)識(shí)不能僅僅局限于靜電場(chǎng)的求解,定理的思想在求解靜磁場(chǎng)時(shí)同樣具有指導(dǎo)意義,因此對(duì)于定理的正確認(rèn)識(shí)和深刻把握對(duì)于整個(gè)靜態(tài)場(chǎng)求解都具有非常重要的意義,進(jìn)而對(duì)動(dòng)態(tài)電磁場(chǎng)的求解帶來(lái)裨益。

建議在唯一性定理的實(shí)際教學(xué)時(shí),教學(xué)重點(diǎn)放在定理的應(yīng)用而非證明上,在教學(xué)內(nèi)容的安排上,不僅單純講解定理,更要注重在靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題各種求解方法的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)、運(yùn)用唯一性定理的思想,進(jìn)而在靜磁場(chǎng)的邊值問(wèn)題時(shí)運(yùn)用唯一性定理試探法解題,層層深入,使學(xué)生對(duì)該定理在思想上足夠重視,運(yùn)用上熟能生巧,從而達(dá)到真正掌握這一重要定理,在應(yīng)用時(shí)發(fā)揮定理的應(yīng)有作用。

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Application of uniqueness theorem in boundary value problem of electrostatic field

ZHENGWei,GAOTianfu

(College of Physical Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

The solution of the boundary value problem for electrostatic field is important and essential in the electromagnetic field theory. Normally, the solution comes down to the problem of solving the field equations based on the given borderline condition. Moreover, the uniqueness theorem is the theoretical basis for solving the boundary value problem of the electrostatic field. In the interrelated courses of electromagnetic field, the solution of the boundary value problem in electrostatic field is the key and difficult point for teaching. But the uniqueness theory, which is used to judge the correctness and uniqueness of the solution, is often ignored. This paper is aimed at several typical solutions of the boundary value problem in electrostatic field, for example, the application and significant meaning of the uniqueness theorem are analyzed in various solutions of typical exercises. Moreover, this article intends to explain the solution ideal and techniques for applying the uniqueness theorem in the boundary value problem of the electrostatic field. Based on the teaching practice, it points out the importance of uniqueness theorem in static field teaching, and gives some specific suggestions for the teaching of uniqueness theorem.

uniqueness theorem; electrostatic field; boundary value problem

2016-03-10。

遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目(L2014442)。

鄭 偉(1975-),女(蒙古族),內(nèi)蒙古赤峰人,沈陽(yáng)師范大學(xué)講師,碩士。

1673-5862(2017)03-0370-04

O442

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.022