用代數(shù)方法探討四圓相交區(qū)域填充數(shù)字問(wèn)題

石業(yè)嬌, 孟憲濤

(1. 大連海洋大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 遼寧 大連 116300; 2. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

理論與應(yīng)用研究

用代數(shù)方法探討四圓相交區(qū)域填充數(shù)字問(wèn)題

石業(yè)嬌1, 孟憲濤2

(1. 大連海洋大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 遼寧 大連 116300; 2. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

受在三圓相交區(qū)域中填充數(shù)字問(wèn)題以及用代數(shù)方法求解幻方問(wèn)題的啟發(fā),設(shè)計(jì)了利用線性代數(shù)方法在四圓相交區(qū)域中填充數(shù)字問(wèn)題。首先,建立了填充問(wèn)題的約束方程組,根據(jù)需要將約束方程組變形為5種形式,即所謂5個(gè)約束條件;然后,對(duì)約束條件進(jìn)行討論,得出四圓重疊區(qū)域中心位置的數(shù)與兩圓重疊區(qū)域的4個(gè)數(shù)字之和的奇偶性,以及三圓重疊區(qū)域的4個(gè)數(shù)字之和與只屬于一個(gè)圓區(qū)域的4個(gè)數(shù)字之和的奇偶性,以約束條件為基礎(chǔ),兼顧數(shù)字的對(duì)稱性與互補(bǔ)性,采用試驗(yàn)的方法,考慮3種情況下的不同取值,得到相應(yīng)問(wèn)題的15個(gè)解;最后,給出了相對(duì)于每一個(gè)解,每一個(gè)圓中所包含的7個(gè)數(shù)字之和的上限與下限,給出相應(yīng)的證明。

四圓相交區(qū)域; 填充數(shù)字; 約束方程組; 求解

在幾個(gè)圓構(gòu)成的相交區(qū)域中填充數(shù)字問(wèn)題與幻方問(wèn)題頗為類似,幻方為中國(guó)人首創(chuàng),這一點(diǎn)在漢朝的《數(shù)術(shù)記遺》中有明確的記載。我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝對(duì)幻方的研究頗有建樹,他的研究往往是針對(duì)于某階幻方直接給出構(gòu)造方法,即直接給出幻方的解,雖然巧妙致極,但總有一點(diǎn)不知其所以然的感覺(jué)。筆者曾用線性代數(shù)的方法研究了三階幻方的所有解。受幻方問(wèn)題的啟發(fā),本文則嘗試?yán)镁€性代數(shù)方法探討在四個(gè)圓相交區(qū)域里填充數(shù)字問(wèn)題。

1 問(wèn)題描述

四圓相交,圍成13個(gè)區(qū)域如圖1?，F(xiàn)將1,2,…,13這13個(gè)數(shù)字填在圖1中,每一個(gè)區(qū)域里一個(gè)數(shù)字,要求各個(gè)圓中所包含的7個(gè)數(shù)字之和相等。此問(wèn)題雖然與三圓相交區(qū)域填充數(shù)字類似,卻比解決三圓相交區(qū)域填充數(shù)字問(wèn)題困難許多。因?yàn)閳D中的變數(shù)為13個(gè),根據(jù)問(wèn)題描述要求可能確定的約束方程的個(gè)數(shù)卻遠(yuǎn)少于變量的個(gè)數(shù)。因此問(wèn)題必須在所建立的約束條件基礎(chǔ)上結(jié)合試驗(yàn)方法加以解決。

圖1 四圓相交填充Fig.1 Filling method of four circles intersection

2 約束條件

記S={a1,a2,…,a13}={1,2,…,13}。設(shè)圖1的填法滿足問(wèn)題要求,設(shè)每個(gè)圓中所包含的7個(gè)數(shù)字之和為M,即

(1)

得到第一個(gè)約束條件

(2)

從式(2)推得

(3)

知a1+a3+a10+a12+a13與a2+a4+a9+a11+a13分別為奇數(shù)。由a1,a3,a10,a12,a13與a2,a4,a9,a11,a13分別為圖1中過(guò)a13的直線上的5個(gè)數(shù),得第2個(gè)約束條件為這5個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)。

由式(1)可得

(4)

代入式(2)中第1式便得到

(5)

觀察式(5)可知,當(dāng)a13為奇數(shù)時(shí),3a13+91為偶數(shù),于是a5+a6+a7+a8為偶數(shù);當(dāng)a13為偶數(shù)時(shí),3a13+91為奇數(shù),于是a5+a6+a7+a8為奇數(shù)。注意到a5+a6+a7+a8所處的位置是圖1中兩圓重疊的區(qū)域,便得到第3個(gè)約束條件為“圖1中四圓重疊區(qū)域即中心位置的數(shù)a13與圖1中處在兩圓重疊區(qū)域的4個(gè)數(shù)字之和a5+a6+a7+a8的奇偶性相反”。

由式(4)有

(6)

可見(jiàn)當(dāng)a1+a2+a3+a4為奇數(shù)時(shí),a9+a10+a11+a12為奇數(shù);當(dāng)a1+a2+a3+a4為偶數(shù)時(shí),a9+a10+a11+a12為偶數(shù),有第4個(gè)約束條件為“圖1中三圓重疊區(qū)域的四數(shù)字之和與只屬于1個(gè)圓區(qū)域的4個(gè)數(shù)字之和具有相同的奇偶性”。

對(duì)方程組(2)的增廣矩陣A進(jìn)行初等變換,得式(2)的同解方程組

(7)

方程組(7)即是第5個(gè)約束條件。

應(yīng)該注意的是,以上得到的5個(gè)約束條件并不是相互“獨(dú)立”的,如式(2)與式(7)是同解方程組,于是約束條件1與約束條件5實(shí)際上是同一個(gè)約束條件。同理約束條件2、3與約束條件4也屬于約束條件一變形。因而這5個(gè)約束條件實(shí)際就是約束條件1(即式(2))的5種不同的表現(xiàn)形態(tài)。之所以如此,是為了在以下的對(duì)圖1的解法探討中便于從不同側(cè)面加以約束,更方便求解。

3 求解舉例

滿足方程組(7)的解為問(wèn)題的解。求問(wèn)題的解,必須在約束條件的基礎(chǔ)上輔之以試驗(yàn)方法。試驗(yàn)取值要充分關(guān)注1,2,…,13這13數(shù)的分布特點(diǎn),注意數(shù)字之間的對(duì)稱性與互補(bǔ)性。

如果取a13=1,考慮了數(shù)字間的對(duì)稱與互補(bǔ),取a9=4,a10=5,a11=2,a12=3填入圖1中,再考慮補(bǔ)償關(guān)系及相關(guān)約束條件,取a5=6,a6=7,a7=8,a8=9填入圖1中,把這些數(shù)代入式(7),求得

圖2 滿足方程組解的第1種填充方法Fig.2 The first filling method of satisfying equations

將求得的a1,a2,a3,a4的值填入圖1,得圖2。

檢驗(yàn)圖2中各圖所包含的7個(gè)數(shù)字之和,得M=38。于是a1=13,a2=12,a3=11,a4=10,a5=6,a6=7,a7=8,a8=9,a9=4,a10=5,a11=2,a12=3,a13=1為方程組(2)的一個(gè)解,即圖2為一種填法。

取a9=5,a10=4,a11=3,a12=3。考慮約束條件,取a5=10,a6=11,a7=12,a8=13,代入到式(7)中,得a1=8,a2=9,a3=6,a4=7,填入四圓相交區(qū)域得圖3。經(jīng)檢驗(yàn)知,圖3為滿足問(wèn)題要求的一種填法,每個(gè)圓內(nèi)所含有的7個(gè)數(shù)字之和均為42。

取a9=8,a10=9,a11=6,a12=7,a5=2,a6=3,a7=4,a8=5。代入式(7)中,得a1=13,a2=12,a3=11,a4=10,填入四圓相交區(qū)域得圖4。檢驗(yàn)可知M=42,即圖4為問(wèn)題的一個(gè)解。

圖3 滿足方程組解的第2種填充方法

圖4 滿足方程組解的第3種填充方法

取a9=9,a10=8,a11=7,a12=6,a5=10,a6=11,a7=12,a8=13。由式(7)求得a1=4,a2=5,a3=2,a4=3,填入四圓相交區(qū)域得圖5。檢驗(yàn)之,M=50。于是圖5為符合問(wèn)題要求的填法。

如果取a13=13,考慮數(shù)字間對(duì)稱與互補(bǔ),取a9=2,a10=3,a11=4,a12=1,a5=6,a6=5,a7=8,a8=7。由式(7)求得a1=11,a2=10,a3=9,a4=12,得圖6填法。經(jīng)檢驗(yàn),M=44,因此圖6填法是問(wèn)題的一個(gè)解。

圖5 滿足方程組解的第4種填充方法

圖6 滿足方程組解的第5種填充方法

如果取a13=7時(shí),可給出3種填法,對(duì)應(yīng)的M值分別為40,44,58,……。

以此類推,可得出四圓相交區(qū)域填充數(shù)字問(wèn)題的15種解法,這里略述。

4 結(jié) 語(yǔ)

以上給出四圓相交區(qū)域填充數(shù)字問(wèn)題的幾種解法,發(fā)現(xiàn)每一種解法中M值均滿足38≤M≤60。事實(shí)上,由式(5)可推得

(5+6+7+8)+2(9+10+11+12)+3×13+91=240

以及

(9+8+7+6)+2(5+4+3+2)+3×1+91=152

即有

152≤4M≤240

從而

38≤M≤60

以上考慮3種情況下的不同取值,得到相應(yīng)問(wèn)題的15個(gè)解,還可以考慮其他情況下的相應(yīng)問(wèn)題的解。

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Algebraic method for filling numerical problems of intersection region of four circles

SHIYejiao1,MENGXiantao2

(1. Applied Technology College, Dalian Ocean University, Dalian 116300, China; 2. School of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Inspired by the filling numbers of three circles in the intersectional region and algebraic method to solve the problem of magic square, the problem of filling numbers in intersectional regions of four circles is designed based on linear algebra methods. Firstly, the constraint equations of the filling problem are established, and they are deformed into five forms, namely, the five constraints. Then, upon discussion of the constraints, odevity of the number in intersectional region of four circles and summation of the four numbers in intersectional region of two circles as well as the odevity of summation of the four numbers in intersectional region of three circles and the four numbers in only one circle are obtained. On the basis of constraints, considering the symmetry and complementation of the numbers and different values in three cases, the 15 solutions of the problem are obtained by the method of experiment. Finally, the upper and lower bounds of the sum of 7 numbers contained in each circle are given to each solution. Proofs are provided respectively.

intersectional region of four circles; fill numbers; constraint equations; solve

2017-04-27。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201313)。

石業(yè)嬌(1970-),女,遼寧大連人,大連海洋大學(xué)副教授。

1673-5862(2017)03-0335-04

O151.26

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.014