高中數學不等式易錯題型及解題技巧

戴安妮

(江蘇省淮陰中學高二8班，江蘇 濰安 223000)

高中數學不等式易錯題型及解題技巧

戴安妮

(江蘇省淮陰中學高二8班，江蘇 濰安 223000)

高中階段是為高考打基礎的三年，而不等式在高考的數學科目中占據了重要的地位.在高考的考點中，就分布著不等關系與不等式、一元二次不等式及其解法、簡單的線性規(guī)劃、基本不等關系、不等式的綜合應用和不等式的證明這六個考點.在它們之中，萬變不離其宗的就是不等式.但是我們高中生在不等式方面卻很難拿分，通過調查，我發(fā)現同學們面臨著不會運用數形結合方法，不會靈活運用均值不等式等問題.本文通過解析高中數學不等式易錯題型和解題技巧，來幫助同學梳理不等式的學習方法.

高中數學，不等式，定義域，數形結合，均值不等式

不等式在高考中占據重要地位，很多大題中也融合了不等式思想，但我們的同學往往因為不等式解題思想不明了，解題脈絡不清晰而在求解不等式步驟中阻滯不前，從而放棄整道大題的分值.也有同學因此對不等式望而卻步，認為太復雜了，自己肯定學不會，干脆放棄不等式方面的學習.

但這樣會直接導致一些容易拿的分的無意義流失.其實，結合我自身的經驗，只要理清方法，抓住易錯題型和解題技巧，不等式并不難.

一、忽視函數定義域或取值范圍

在解題時，同學常犯的一個典型錯誤就是忽略題干給出的函數的定義域，變量的取值范圍，或者忘記函數本身的性質，忽略函數本身有意義時的存在條件，從而導致做題出現偏差.

因此，我們解題時一定要牢記幾個基本函數的定義域：分數的分母不能為零；偶次方根底數大于等于零；零的零次方無意義，若有x0，則x不等于零；對數函數的底數大于零且不等于1，真數大于0；指數函數的底數大于零且不等于1.

以上這些內容一般都隱含在數學題之中，通常都是由于每個小點知識自身具有的一些性質，這是我們高中生解題時必須要考慮到的問題.這些問題屬于解題之中的一些細枝末節(jié)，但正是這些細枝末節(jié)，可以檢查出我們高中生對于數學知識的理解以及應用程度.因此，我們高中生在解函數與不等式相結合的數學題時，除了要注重對題干進行透徹分析之外，還要重視函數自身定義域以及取值范圍.

二、不會運用數形結合思想

很多同學在面對看似無法運算的題型時，感到十分棘手，不知道從何下手.我之前也出現這種情況，但隨著做題量的增多，我發(fā)現這種題型可以運用數形結合思想.概括來講，數形結合思想解題基本運用了“由形化數”“由數化形”“數形轉換”這三種解題思路和方法.而轉換數與形也有三條基本的途徑：①建立坐標系，化靜為動，更加直觀；②轉化，換角度思考，不在一條路上鉆牛角尖；③構造，在本來沒有的基礎上構造函數或者幾何圖形.

通常來說，在不等式中，數形結合思想通常運用在求參數的取值范圍或者解不等式上，這樣可以使得原本較為抽象的知識具體化，并且在解題時可以非常直觀地獲得答案，降低解題的錯誤率.在面對這兩類問題時，如果同學感到沒有頭緒，不妨運用數形結合思想.

答案 (-∞，0].

三、不會運用均值不等式

它具有的注意點：

(1)求最值的條件“一正二定三相等”

一正：A、B必須都是正數；

二定：積定和最小、和定積最大；

三相等：當且僅當A、B相等時，等式成立，

(2)當兩個正數的積為定值時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定值時，可以求它們的積的最小值，所謂“積定和最小，和定積最大”

下面來解析具體題型：

1.求值域

技巧一：湊項

例1 已知x<5/4，求函數y=(4x-2)+1/(4x-5)的最大值.

解 因4x-5<0，所以首先要“變號”，又(4x-2)+1/(4x-5)不是常數，所以對(4x-2)要進行拆、湊項.

因為x<5/4，所以5-4x>0，所以y=(4x-2)+1/(4x-5)=-[(5-4x)+1/(5-4x)]+3≤-2+3=1

當且僅當5-4x=1/(5-4x)，即x=1時，上述等號成立，故當x=1時，y最大值=1

評注 本題需要調整項的符號，又要配項的系數，使其積為定值.

技巧二：減系數

例2 當0

解析:由00，根據注意點一可知，此題雖為兩個式子積的形式，但其和不是定值.但是我們可以清楚2x+(8-2x)為定值，故只需將y=x(8-2x)湊上一個系數即可,y=x(8-2x)=1/2[2x(8-2x)]≤1/2[(2x+8-2x)/2]2=8,

當2x=8-2x，即x=2時取等號.

當x=2時，y=x(8-2x)的最大值為8.

技巧三：換元

在面對看似無法運算的不等式時，可先換元，將t帶入，化簡原式之后分離求值.

在針對函數求值域這一類問題來看，我們可以通常采用三種方法來解題，湊項、減系數以及換元這三種方法都是我們常用的方法.其中湊項以及減系數這兩種方法是我們在解題期間常考慮到的兩種方法，但其應用范圍有限，有一些題型應用這兩種方法不一定能解出來.然而，換元這一方法使用的范圍較廣，我們高中生在沒有解題思路時可以直接這種方法來進行解題，進而尋找解題思路.

2.求最值

在利用均值不等式求最值時通常有以下幾種情況：求幾個正數和的最小值，求幾個正數積的最大值，根據均值不等式判斷最值符號是否成立，帶條件求最值.

例3 若x，y∈R+，求f(x)=x+(4/x)(0

解法一 (數形結合)由函數f(x)=ax+(b/x)(a，b>0)圖象及性質知，當x∈(0,1]時，函數f(x)=x+4/x是減函數.

證明 任取x1,x2∈(0,1]且0

解法二 (導數法)由f(x)=x+4/x得f’(x)=1-4/x2，當x屬于(0,1]時f’(x)=1-4/x2<0

則函數f(x)=x+4/x在(0,1]上是減函數，故當x=1時，f(x)=x+4/x在(0,1]上有最小值5

解法三 (拆分法)f(x)=x+4/x(0

當且僅當x=1時“=”成立，故此函數最小值是5

這三種解法都可以得到正確的答案，對于同一題型，我們高中生可以分別從這三個不同的角度來進行解題.這三種解法分別從數形結合、導數法以及拆分法三個角度進行解題.從這三個解題方法可以看出，導數法以及數形結合這兩種方法通常對于我們高中生來說在解題期間比較常用，而拆分法這種形式來看，其方法固然簡單，但是我們在拆分時不容易想到將原來的算式拆分成哪幾項，如果拆分的不對，很容易出現錯誤.因此，在求解此類問題，要在確?；驹瓌t的同時，靈活選用方法.

不等式是高中數學學習的重難點，也是我們高考考生拿分的必備基礎知識.我們在面對不等式時，要保持思維的冷靜和縝密，不要自亂陣腳.梳理出所屬題型和所要用的解題方法和思路，然后順藤摸瓜，一步步地理清脈絡，逐步解開題.同時，在讀題時一定要細心冷靜，不能忽略題干中的關鍵信息，一旦忽略就可能讓有把握的題做錯，從而讓分數無意義流失.不等式的掌握是一個漫長又需要細心和耐心的過程，同學們在學習時不能氣餒，一旦掌握就能舉一反三，靈活運用.

[1]張惠淑.高中數學不等式高考試題分析與教學策略研究[D].天津師范大學,2012.

[2]錢煜.基于高考試題的高中數學不等式教學研究[D].天津師范大學，2014.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

戴安妮(2000.7-)，女，江蘇淮安人，高中學生.

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1008-0333(2017)19-0048-02