例談高中三角函數(shù)求值題的解題技巧

張新艷

(山東省濟(jì)南市平陰縣第一中學(xué)，山東 濟(jì)南 250400)

例談高中三角函數(shù)求值題的解題技巧

張新艷

(山東省濟(jì)南市平陰縣第一中學(xué)，山東 濟(jì)南 250400)

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，具有高度抽象性的特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的邏輯分析能力、歸納總結(jié)能力要求較高.而且三角函數(shù)也是高考的重要考點(diǎn)，題型多變.鑒于此，為了減少學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生的解題速度，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視從多方面、多層次培養(yǎng)學(xué)生的三角函數(shù)解題技巧.本文主要針對(duì)常見的三角函數(shù)解題方法進(jìn)行討論.

三解函數(shù)；解題；技巧

一、角轉(zhuǎn)化求值

在一些三角函數(shù)求值題目中，正余弦、正余切以及正余弦角度之間的求值雖然簡(jiǎn)單，但是形式多變對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高.對(duì)于此類題型，學(xué)生應(yīng)當(dāng)懂得萬(wàn)變不離其宗這一道理，并靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式，進(jìn)行快速化簡(jiǎn).需要注意的是學(xué)生在進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)當(dāng)認(rèn)真仔細(xì)，避免出現(xiàn)遺漏、丟失情況，以致于出現(xiàn)思路正確，而結(jié)果錯(cuò)誤的現(xiàn)象.

例如這樣一道題目：求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.顯然，題目中給出的并非是常見特殊角.為此，在求解時(shí)可以根據(jù)積和化差公式sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 兩個(gè)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.將sin20°cos70°轉(zhuǎn)化為sin20°sin20°；sin10°sin50°轉(zhuǎn)化為-[cos(10°+50°)-cos(10°-50°)]/2，再進(jìn)一步進(jìn)行化簡(jiǎn)可得到：(1-cos60°)/2=1/4.從中能夠看出，角的轉(zhuǎn)化是相當(dāng)靈活的，學(xué)生在應(yīng)用時(shí)也要適當(dāng)?shù)仂`活應(yīng)用.這樣才能快速解題，節(jié)省解題時(shí)間.

上述例題是正余弦之間的轉(zhuǎn)換，而在實(shí)際的三角函數(shù)題目中還包含正余弦、正余切之間的轉(zhuǎn)化.如這樣一道題目：已知tanα=2，求(4sinα-2cosα)/(5cosα+3sinα)的值.顯然，這道題目并沒有給出具體角度，而只是給出了正切值，來(lái)求解一個(gè)復(fù)雜的正余弦三角函數(shù)值.對(duì)此，可以靈活應(yīng)用tanα=sinα/cosα這一公式，將所求式子的分母、分子同除以cosα.經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)可得到：(4tanα-2)/(5+3tanα)=10.從上述兩道題目中能夠?qū)τ谶@種需要相互轉(zhuǎn)化的三角函數(shù)題目來(lái)說(shuō)，學(xué)生應(yīng)先完全把握住轉(zhuǎn)化公式，并根據(jù)已知條件，求解式子羅列出相應(yīng)的公式，并擇其優(yōu)者而用之，最終完成轉(zhuǎn)化求值，縮短解題時(shí)間.

二、數(shù)形結(jié)合求值

有一些三角函數(shù)求值題目與圖形息息相關(guān).單純依靠學(xué)生的想象力找尋解題思路比較困難.對(duì)此種題目，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)如何結(jié)合圖形，快速完成題目求解.而且在日常教學(xué)中，教師還可以采用多種多樣的教學(xué)方法逐步培養(yǎng)學(xué)生的畫圖習(xí)慣，一旦遇到能夠通過(guò)圖形解決的題目便可以充分發(fā)揮出圖形的優(yōu)勢(shì).但是有一部分題目既可應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，也可應(yīng)用化簡(jiǎn)求值方法，學(xué)生可以根據(jù)自身的學(xué)習(xí)水平適當(dāng)選擇.

圖1

圖2

三、升冪降冪

利用升冪降冪可以將高次冪的三角函數(shù)進(jìn)一步進(jìn)行化簡(jiǎn).這種類型在三角函數(shù)求值題目中也比較常見.通常在解決這種問(wèn)題時(shí)需要結(jié)合公式，如2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α=cos2α等公式.也就是說(shuō)學(xué)生不僅要能夠熟背這些公式，還能夠結(jié)合題目加以應(yīng)用.這樣才能快速解決三角函數(shù)求值問(wèn)題.當(dāng)然，學(xué)生在化簡(jiǎn)的過(guò)程中，要盡可能地保證準(zhǔn)確率，有時(shí)很可能會(huì)因?yàn)橐欢↑c(diǎn)的錯(cuò)誤得到錯(cuò)誤結(jié)果，浪費(fèi)解題時(shí)間.

例如這樣一道題目：化簡(jiǎn)(1-cos4α-sin4α)/(1-cos6α-sin6α).解決這道題目最簡(jiǎn)單的思路便是通過(guò)將題目轉(zhuǎn)化成為形式更加簡(jiǎn)單的題目，也就是說(shuō)要盡可能地降低題目中的高次冪，以方便求解.但是明顯題目中的冪數(shù)并不統(tǒng)一，若要進(jìn)行化簡(jiǎn)就要選擇升冪或者降冪.根據(jù)公式sin2α+cos2α=1，可將題目中的1進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化.如1-cos4α-sin4α可轉(zhuǎn)化成為與之冪數(shù)相對(duì)等的(sin2α+cos2α)2-cos4α-sin4α.而在1-cos6α-sin6α中，再次提高sin2α+cos2α的冪數(shù)，簡(jiǎn)單的說(shuō)是將原式子轉(zhuǎn)化為(sin2α+cos2α)3-cos6α-sin6α.這樣便能夠整體將式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化.而后經(jīng)過(guò)加減運(yùn)算，便能夠得到最終的化簡(jiǎn)結(jié)果：原式子=2cos2αsin2α/3cos2αsin2α(sin2α+cos2α)=2/3.從中能夠看出，升冪降冪選擇的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中原有的冪數(shù)，并靈活應(yīng)用1這一關(guān)鍵數(shù)字.在三角函數(shù)中，sin2α+cos2α=1這一公式在多種求值題目中均可應(yīng)用.總的來(lái)說(shuō)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的靈活性思維，能夠根據(jù)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，從而提高三角函數(shù)解題速度.

三角函數(shù)既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)抽象性的集中體現(xiàn).為此，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)重視采用靈活的教學(xué)方法，加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)公式的記憶，并結(jié)合各種練習(xí)題目，提高學(xué)生的實(shí)踐能力，最終提高學(xué)生的解題效率.總之，是在新課改逐漸深入的背景下，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)摒棄傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)模式，避免學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭惡情緒.尤其是三角函數(shù)求值題目較難，需要學(xué)生花費(fèi)較長(zhǎng)的時(shí)間鉆研、熟知、掌握，教師應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，幫助學(xué)生真正掌握三角函數(shù)求值題的解題技巧.

[1]黃嬋.三角函數(shù)求值的分類辨析[J].教育教學(xué)論壇,2015(10)：174-176.

[2]彭萬(wàn)雷.例析三角函數(shù)求值題的解題技巧[J].華夏教師,2016(12):37.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

張新艷(1980.01-)，女，山東濟(jì)南人，平陰一中，中學(xué)二級(jí)，本科，高中數(shù)學(xué)教學(xué).

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