《信號(hào)分析與處理》教學(xué)理論框架建立

鄔世英

(長(zhǎng)江大學(xué)地球物理與石油資源學(xué)院，湖北 武漢 430100)

《信號(hào)分析與處理》教學(xué)理論框架建立

鄔世英

(長(zhǎng)江大學(xué)地球物理與石油資源學(xué)院，湖北 武漢 430100)

《信號(hào)分析與處理》是勘察技術(shù)與工程專(zhuān)業(yè)一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，涉及的內(nèi)容抽象、公式繁多，理論分析與實(shí)際應(yīng)用結(jié)合困難。根據(jù)該課程多年的講授經(jīng)驗(yàn)，并結(jié)合學(xué)生反饋的接受情況，闡述了《信號(hào)分析與處理》理論框架建立的必要性，重點(diǎn)提出了該課程的2個(gè)理論框架——基于抽樣定理的理論框架和正交變換的理論框架，并以該課程的主要知識(shí)點(diǎn)為例，詳細(xì)講解了基于2個(gè)理論框架的各知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系梳理。

信號(hào)分析與處理；理論框架；抽樣定理；正交變換

勘查技術(shù)與工程專(zhuān)業(yè)的《信號(hào)分析與處理》課程，其主要內(nèi)容是將《信號(hào)與系統(tǒng)》和《數(shù)字信號(hào)處理》2本書(shū)的內(nèi)容結(jié)合起來(lái)，涉及的課程內(nèi)容多、公式多、定義多、推導(dǎo)多，知識(shí)點(diǎn)容易混淆，學(xué)生普遍反映學(xué)習(xí)難度大。

筆者通過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，充分認(rèn)識(shí)到《信號(hào)分析與處理》是門(mén)具有思想性、方法性的課程，要做到課程教學(xué)系統(tǒng)性、條理性和易接受性，授課教師必須在授課過(guò)程中注重理論框架的建立，進(jìn)而通過(guò)該理論框架系統(tǒng)地梳理整個(gè)課程的知識(shí)點(diǎn)，將各相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)。通過(guò)建立理論框架，達(dá)到提綱挈領(lǐng)、總攬全局的效果。

在《信號(hào)分析與處理》課程中，需要建立怎樣的理論框架呢？根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者以為該課程的理論框架主要是基于抽樣定理和正交變換。

1 基于抽樣定理的理論框架

在工程中的許多信號(hào)實(shí)際是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，但是用計(jì)算機(jī)處理上述信號(hào)時(shí)，首先需要對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行抽樣得到離散信號(hào)，離散信號(hào)和連續(xù)信號(hào)就是局部和整體的關(guān)系[1]。離散信號(hào)可以恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)的條件就是時(shí)域抽樣定理的內(nèi)容，即：一個(gè)最高頻率為fm的頻帶有限信號(hào)f(t)，在抽樣頻率fs≥2fm的條件下，可由它在均勻間隔點(diǎn)的抽樣值進(jìn)行唯一的確定[2]。

抽樣定理是連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)的橋梁，通過(guò)抓住抽樣定理這個(gè)理論基點(diǎn)，可以很好地將連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)、各種變化系統(tǒng)地進(jìn)行梳理：①離散信號(hào)的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓，延拓周期是抽樣頻率；②整個(gè)課程可以分為連續(xù)時(shí)間部分和離散時(shí)間部分，信號(hào)可以分成連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)，系統(tǒng)可以分成連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)；③針對(duì)連續(xù)信號(hào)的變換，有連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)分解(CTFS)、連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅里葉變換(CTFT)、拉氏變換，針對(duì)離散信號(hào)的變換有離散時(shí)間信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)分解(DTFS)、離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換(DTFT)、離散傅里葉變換(DFT)、快速傅里葉變換(FFT)及Z變換。

有了抽樣定理的橋梁作用，在連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅里葉變換的基礎(chǔ)上，很容易推導(dǎo)出離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換公式，理解離散信號(hào)的頻譜。這樣，學(xué)生就可以輕松地從連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換學(xué)習(xí)過(guò)渡到離散信號(hào)的傅里葉變換的學(xué)習(xí)，易于知曉上述各種變換的區(qū)別和聯(lián)系。

圖1(a)是連續(xù)非周期信號(hào)，其頻譜也是連續(xù)非周期信號(hào)(圖1(b))。通過(guò)抽樣定理將連續(xù)非周期信號(hào)進(jìn)行等間隔抽樣得到離散時(shí)間信號(hào)(圖1(c))，其傅里葉變換的頻譜是連續(xù)周期信號(hào)(圖1(d))。抽樣定理指出，信號(hào)時(shí)域的抽樣會(huì)導(dǎo)致頻域的周期性。通過(guò)該結(jié)論就可以判斷出離散信號(hào)頻譜的特征是周期性的。

圖1 CTFT和DTFT關(guān)系示意圖

連續(xù)、離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換的正、反變換公式為：

(1)

(2)

(3)

(4)

結(jié)合抽樣定理，對(duì)比CTFT正、反變換式(1)、(2)與DTFT正、反變換式(3)、(4)之間的差異，可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)抽樣后，t改為n，Ω改為ω，式(1)的積分形式變成了式(3)的累加形式，其他形式是一致的。

2 基于正交變換的理論框架

信號(hào)正交分解在信號(hào)系統(tǒng)理論中占有重要地位。信號(hào)的正交分解猶如矢量的正交分解，是把信號(hào)分解成一系列正交分量之和。進(jìn)行信號(hào)的正交分解是先選一組正交基底(信號(hào))，再找出待分解信號(hào)在各基底上的投影，從而將信號(hào)表示為各基底信號(hào)的加權(quán)線性組合。在處理信號(hào)時(shí)，由于信號(hào)的各分量正交，互不影響，處理得以簡(jiǎn)化[3]。在《信號(hào)分析與處理》課程中，涉及到的變換都屬于正交變換，只是采用的正交基函數(shù)不同，導(dǎo)致變換的不同。因此，在講解各種信號(hào)變換之前，提綱挈領(lǐng)地講述信號(hào)的正交分解，使得后面的各種變換容易引出，從而使學(xué)生對(duì)各種變換有總體的認(rèn)識(shí)，不會(huì)孤立地看待每種變換。

在具體的講授過(guò)程中，首先講解正交變換的理論、正交信號(hào)集的概念、正交的組合系數(shù)的推導(dǎo)；然后詳細(xì)講述課程中出現(xiàn)的所有正交信號(hào)集以及與該集相對(duì)應(yīng)的組合系數(shù)。在正交變換章節(jié)的授課中，將課程中除了Z變換的其他變換的理論公式全部推導(dǎo)出來(lái)，在后續(xù)課程的講解中，就不需要重新進(jìn)行變換公式的推導(dǎo)，而且學(xué)生也易于接受，明白上述變換都是服從于正交變換這一基本原理。

《信號(hào)分析與處理》課程中用到的正交信號(hào)集主要有三角函數(shù)集、三角序列集、虛指數(shù)函數(shù)集和虛指數(shù)序列集。

三角函數(shù)集：

三角序列集：

虛指數(shù)函數(shù)集：

虛指數(shù)序列集：

式中：Ω0是基波頻率；kΩ0是諧波頻率；N為周期；k為頻率域的自變量。

對(duì)于周期CTFS，采用三角函數(shù)集得到三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，采用虛指數(shù)函數(shù)集得到指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)；對(duì)于周期DTFS，采用三角序列集得到三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，采用虛指數(shù)序列集得到指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)；DFT采用的是虛指數(shù)序列集。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)將基于抽樣定理和正交變換的2個(gè)理論框架應(yīng)用到《信號(hào)分析與處理》課程教學(xué)中，可以很好地將課程的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)和變換進(jìn)行系統(tǒng)的梳理，使課程內(nèi)容成為一介有機(jī)整體，讓學(xué)生更易于掌握和學(xué)習(xí)。

[1]程乾生. 數(shù)字信號(hào)處理[M].北京：北京大學(xué)出版社，2010.

[2]張華清, 許信玉，趙志軍. 信號(hào)與系統(tǒng)分析[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

[3]吳京，果明明，徐忠富，等. 信號(hào)與系統(tǒng)分析[M].長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，1999.

[編輯] 龔丹

2016-08-27

鄔世英(1978-)，女，博士，講師，主要從事地震信號(hào)處理的教學(xué)與研究工作，wushiyingok@163.com。

G642.0

A

1673-1409(2017)15-0040-03

[引著格式]鄔世英.《信號(hào)分析與處理》教學(xué)理論框架建立[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版), 2017,14(15):40～42.