解決高中導數(shù)在幾何中應用問題的方法探析

鄭育玲

摘 要 導數(shù)這部分內容是高中數(shù)學新增的內容之一，它的引入在中學數(shù)學中起著非常重要的作用。導數(shù)是中學數(shù)學中解決問題常用并且十分便利的手段，不僅能解決函數(shù)單調性、極值和最值問題，還能解決平面幾何、立體幾何的相關問題。導數(shù)的方法與傳統(tǒng)的方法比較更為簡潔靈活，因此研究導數(shù)應用問題意義重大。本文主要對導數(shù)在中學數(shù)學中幾何應用問題的進行了詳細的歸納和總結，給出實際例子進行分析，最終給出導數(shù)在幾何中的應用總結出一套解題模式或解題策略，以期指導學生對這類題型的解題訓練。

關鍵詞 導數(shù) 幾何 定積分

1導數(shù)及其應用內容分析

課本是通過速度及其變化率來引出導數(shù)概念的，并進一步介紹了導數(shù)在研究函數(shù)的單調性、極值等性質中的作用。新課程中，導數(shù)及其應用的處理需要反映以下三個方面的特點。

1.1重視直觀，數(shù)形結合，突出本質

在2004年開始實施的普通高中新課程數(shù)學實驗中，導數(shù)的學習不再以極限的嚴格定義為基礎，而是通過大量的例子，直接引入導數(shù)定義，并直接用極限符號表述由平均變化率到瞬時變化率的過程，這里的處理體現(xiàn)出形的直觀與生動，符號與數(shù)的刻畫的精確與便利，同時也揭示出導數(shù)的幾何意義與代數(shù)特征，符合高中學生的年齡特征與學習特點。

另外，利用導數(shù)刻畫函數(shù)的單調性、從曲邊梯形面積的計算與變速運動物體所走路程的計算引入定積分等，都充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的優(yōu)越性，在高中階段這部分內容的教與學更需要突出形對數(shù)的直觀展示。

1.2關注過程，歸納通法，控制運算

教學中應盡量從學生熟悉、易理解的問題情境中提煉數(shù)學模型，構造導數(shù)工具，讓學生理解應用導數(shù)解決問題的關鍵環(huán)節(jié)，并從通性通法的角度認識導數(shù)工具的價值與意義。

作為多項式函數(shù)的特例，一次函數(shù)與二次函數(shù)為初中、高中階段學生所熟悉的；而三次函數(shù)既有極大值、極小值，又含有零點，用導數(shù)處理較為方便，因此，高中階段，應用導數(shù)研究函數(shù)時，大多數(shù)以不超過三次的多項式函數(shù)作為載體進行剖析，以控制運算的復雜性.其他類型的函數(shù)則用類似的方法進行處理。

1.3動靜結合，加強導數(shù)在函數(shù)性質與最優(yōu)化問題中的應用

在應用時，應從動靜兩個方面理解導數(shù)f'（x）。

（1）若把f'（x）看成是f（x）。在點x出的導數(shù)，那么，這是點（x，f（x））是靜止的，f'（x）是確定的。

（2）當點（x，f（x））沿著曲線f（x）運動時，f'（x）隨著變化，這是f'（x）就是x的函數(shù)，它是變化著的。

因此，在應用導數(shù)工具研究函數(shù)性質是，要從靜止與運動的角度來細致地加以刻畫，既有單調性，也有最值、極值問題，并借助圖像進行分析，把握函數(shù)的特征。

在利用導數(shù)解決最優(yōu)化問題時，要從實際問題中確定相關的最值與極值問題模型，再轉化為函數(shù)問題，加以解決。

2例題解析

2.1平面圖形旋轉所得幾何體體積問題

解題策略：（1）確定旋轉曲線f（x）；（2）確定定積分的上下限；（3）運用定積分求解該旋轉體的體積：V=€%i（f（x））2dx。

例1 由曲線y=和直線x=1及x軸圍成的平面圖形饒x軸旋轉一周所得幾何體的體積為 。

解：由題意幾何體的體積€%iXdx=（€%ix2）|=。

解題引導：確定定積分的上下限→根據(jù)定積分的幾何意義即可求出.（1）轉化：將求幾何體的體積轉化為運用定積分求解，將形轉化為數(shù)；（2）運用定積分求解簡單的幾何圖形的體積：V=€%i（f（x））2dx；（3）注意a，b的取值。

2.2定積分在求面積中的應用

解題策略：（1）觀察所求圖形，是否需要分割成若干個曲邊梯形進行求解；（2）確定定積分的上下限：通常是所學初等函數(shù)的交點，聯(lián)立函數(shù)求解交點坐標；（3）確定被積函數(shù)；（4）求出各曲邊梯形的面積和。

例2 函數(shù)y=2x與函數(shù)y=3x2所圍圖形的面積是_____。

解：聯(lián)立直線y=2x與拋物線y=3x2，解得交點為（-3，-6）和（1，2）拋物線y=3x2與x軸負半軸交點（-，0）。設所圍部分面積為S，則S=（3x22x）dx=所以所圍部分的面積為。

解題引導：求所圍封閉部分的面積，先要對所圍部分進行分割到三個象限內，分別對三部分進行積分求和即可。（1）求幾何圖形的面積：在直角坐標系中，由曲線f（x）、g（x），直線x=a，x=b（a

總之，把握好導數(shù)在幾何中的應用，充分體現(xiàn)數(shù)形結合的思想方法，突出本質特征，提高學生的求解運算能力。

參考文獻

[1] 尹學軍. 關于高中導數(shù)應用教學的思考[J]. 數(shù)學學習與研究. 2011（03）.