一道課本習(xí)題改編的一組高考題

李瑞杰

[摘 要] 高考卷向來重視對(duì)教材例題、習(xí)題的挖掘、引申和改造，體現(xiàn)“深入教材，又高于教材”，做到重基礎(chǔ)、考能力. 教師要引導(dǎo)學(xué)生抓綱靠本，強(qiáng)調(diào)變式，培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性.

[關(guān)鍵詞] 高考；課本；改造

筆者所在地區(qū)使用的高中數(shù)學(xué)教材為人教A版，在必修五教材的第一章內(nèi)容中有關(guān)于“海倫和秦九昭”的閱讀與思考內(nèi)容. 既然是閱讀與思考，往往未受到教師和學(xué)生的重視. 但是，此部分內(nèi)容對(duì)于學(xué)生了解數(shù)學(xué)史、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是極好的材料，甚至也可以豐富學(xué)生解題思路和技巧.

[?] 海倫—秦九昭公式

在解三角形的問題中，一個(gè)比較困難的問題是如何由三角形的三邊a，b，c直接求出三角形的面積. 據(jù)說這個(gè)問題最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德解決的，他得到公式S=，其中p=（a+b+c）. 但是現(xiàn)在人們常常以古希臘的數(shù)學(xué)家海倫命名這個(gè)公式，稱此公式為海倫公式. 其實(shí)，我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)泰斗秦九韶編撰的《數(shù)書九章》一書的卷五中曾記載過“三斜求積術(shù)”，秦九韶的算法相當(dāng)于：S=，其中a≥b≥c. 它雖然與海倫公式形式上不一樣，但兩者是完全等價(jià)的，實(shí)質(zhì)是一樣的. 故海倫公式也稱之為“海倫—秦九韶公式”.

[?] 海倫公式的證明

筆者以思考題的形式要求學(xué)生閱讀此部分內(nèi)容，并用自己的方法證明海倫公式. 學(xué)生的證明方法主要有以下兩種.

方法1：△ABC的三邊長分別為a，b，c，則有三角形的面積公式可得S=absinC=ab，再由余弦定理可得S=ab

化簡得S=，令p=（a+b+c），于是有

S=，海倫公式得證.

方法2：如圖1，△ABC的三邊長分別為a，b，c，AD為邊BC的高. 又因?yàn)锽D=ccosB=，所以，AD2=AB2-BD2=c2-

.

由于S=·BC·AD=a·=，

可由平方差公式化簡可得S=·，令p=（a+b+c），于是有S=，海倫公式得證.

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生以上的兩種種證明方法思路簡單，利用所學(xué)求三角形面積的基本知識(shí)，以及余弦定理，將角度轉(zhuǎn)化為邊長，這樣可以使得最后推證的公式中無角度，只存在邊長，化簡過程較復(fù)雜，需要學(xué)生細(xì)致、耐心的計(jì)算，有助于培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、計(jì)算能力和邏輯推理能力.

第二種證明方法需要說明：圖1中的高AD在三角形的內(nèi)部，根據(jù)三角形知識(shí)可知，若是過鈍角三角形中的銳角頂點(diǎn)作對(duì)邊的高，則此時(shí)高AD則會(huì)在三角形的外部（如圖2），那么此時(shí)BD=

ccos（π-B）

=

，也可推證出海倫公式. 也可理解為：即使△ABC為非銳角三角形，過最大內(nèi)角作對(duì)邊的高，那么此時(shí)高一定在三角形內(nèi)部，按照此種證明方法海倫公式也可得證.

[?] 海倫公式的兩個(gè)推論

推論1：已知三角形的三邊長為a，b，c，設(shè)p=（a+b+c），可得三角形的內(nèi)切圓半徑r=.

證明：如圖3，圓O為△ABC的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓半徑為r，則有

S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=cr+ar+br.

由海倫公式可得S△ABC==（a+b+c）r=pr，證得

r=.

推論2：設(shè)邊AB，BC，CA上的高分別記為hc，ha，hb，可得

ha=，hb=·，

hc=.

證明：因?yàn)镾△ABC=ah=，可證得

ha=，同理可證推論2成立.