向量數(shù)量積解法的比較研究

[摘 要] 關(guān)于向量數(shù)量積的處理一般思路是轉(zhuǎn)化和建系，而這兩種處理方式也是高考常見(jiàn)的考點(diǎn). 但在處理一類與線段中點(diǎn)相關(guān)的向量數(shù)量積時(shí)，又能以另外一種叫極化恒等式方式來(lái)處理. 這種新的處理方式與一般思路比較起來(lái)具有思路清晰的特點(diǎn)，同時(shí)又兼具簡(jiǎn)化計(jì)算的功能.

[關(guān)鍵詞] 向量；數(shù)量積；極化恒等式

教研組活動(dòng)是學(xué)校內(nèi)同學(xué)科內(nèi)為研究共同的教學(xué)問(wèn)題而開(kāi)展的活動(dòng)，它不僅是教師展現(xiàn)專業(yè)能力的場(chǎng)所，更是促進(jìn)教師專業(yè)能力發(fā)展的場(chǎng)所. 在教研組的活動(dòng)過(guò)程中教師們通過(guò)討論，交流而產(chǎn)生思維的火花，往往能夠產(chǎn)生意想不到的結(jié)果. 本文所得即拜一次組內(nèi)教研活動(dòng)所賜，在對(duì)2016年江蘇高考試題研讀的過(guò)程中第13道填空題引起了大家對(duì)解法的討論. 下文就交流的過(guò)程，幾種處理方式的比較及個(gè)人的反思做一個(gè)簡(jiǎn)要的說(shuō)明.

[?] 一道向量高考題解法的交流討論

（2016江蘇高考第13題）如圖1在三角形ABC中，D是BC中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，·=4，·=-1，則·的值是多少？

教師1：對(duì)于這種問(wèn)題通常是將待求量向已知量轉(zhuǎn)化，由于待求的一組向量與已知的兩組向量之間可以相互表示所以可以選擇其中一組作為基底來(lái)表示其他兩組.·=（+）（+）=·+32=-1+32，所以問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成求解2.·=（+）（+）=·+22. 又FA=2FE，所以·=-1+82=4，所以2=，故而·=.

[F][A][B][C][D][E][y][x]

圖2

教師2：轉(zhuǎn)化除了可以選擇已知向量作基底，亦可選擇與已知向量、待求向量均相關(guān)的向量作基底，以這組基底作為橋梁解決問(wèn)題，本題中可選和作為基底. 因?yàn)?3，=2，=-，所以·=（+）（+）=-2+42，同理·=-2+92=4記為①式，·=-2+2=-1記作②式，兩式聯(lián)立可得2=，2=，因此·=.

教師3：不知道有沒(méi)有哪位老師考慮建系能做嗎？

教師2：這可能不可以吧？建系得有特殊角或?qū)ΨQ特性才能用??？

教師1：未必，如果以D為原點(diǎn)建系，由于存在等分關(guān)系，故只設(shè)出A和C的坐標(biāo)即可表示所有坐標(biāo). 若設(shè)A（3a，3b），C（c，0），則E（2a，2b），F(xiàn)（a，b），B（-c，0）.所以待求數(shù)量積為·=4a2+4b2-c2. 由已知數(shù)量積可知：·=a2+b2-c2=-1，·=9a2+9b2-c2=4，可得a2+b2=，c2=. 所以·=.

教師4：這道題存在中點(diǎn)符合極化恒等式的三角形模型，可以利用三次極化恒等式求解.

·=[（+）2-（-）2]=42-2，同理·=92-2，·=2-2，結(jié)合已知條件可得2=，2=，所以·=.

[?] 關(guān)于向量數(shù)量積解法的比較研究

向量的數(shù)量積一直是高考命題的重點(diǎn)，常作為填空的壓軸出現(xiàn). 根據(jù)上述處理過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)處理向量數(shù)量積的問(wèn)題大致可歸結(jié)到三個(gè)方向：其一，轉(zhuǎn)化，即將待求向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化成已知向量的數(shù)量積來(lái)表示；其二，建系，即利用坐標(biāo)表示待求向量，再進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；其三，利用極化恒等式這一技巧將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化成向量長(zhǎng)度解決. 透過(guò)上述解題過(guò)程大致可以從解法的本質(zhì)、思維和計(jì)算的復(fù)雜程度兩個(gè)方面對(duì)其進(jìn)行比較.

首先，從解法的本質(zhì)上看，轉(zhuǎn)化在本質(zhì)上是幾何方法，而建系和極化恒等式在本質(zhì)上應(yīng)當(dāng)屬于代數(shù)方法. 需要明確的是向量雖然有代數(shù)特性，但本質(zhì)上是幾何量，所以向量數(shù)量積的定義解法應(yīng)當(dāng)是幾何解法. 轉(zhuǎn)化利用基底作為橋梁，其最終的表達(dá)形式是將待求一組向量數(shù)量積變成另外一組能求解的向量數(shù)量積，起核心作用的仍然是向量數(shù)量積的定義表達(dá)式，所以轉(zhuǎn)化的解法的本質(zhì)是幾何法. 轉(zhuǎn)化建系通過(guò)建坐標(biāo)系，將所有的幾何元素代數(shù)化，從而將待求向量數(shù)量積轉(zhuǎn)變?yōu)樽鴺?biāo)乘積的代數(shù)問(wèn)題，所以建系做法的本質(zhì)是代數(shù)法. 極化恒等式是代數(shù)法的另一種表現(xiàn)，透過(guò)極化恒等式的公式a·b=[（a+b）2-（a-b）2]不難發(fā)現(xiàn)，利用這一中介可以將數(shù)量積這個(gè)既具長(zhǎng)度又具角度元素的問(wèn)題變成僅具長(zhǎng)度的問(wèn)題，所以其本質(zhì)也是代數(shù)法.

其次，從思維和計(jì)算的復(fù)雜程度看，極化恒等式無(wú)論是思維還是計(jì)算均有一定的優(yōu)勢(shì). 直觀上看來(lái)，極化恒等式的思維程度是最淺的，因?yàn)闃O化恒等式的表達(dá)很直白就是尋找待求數(shù)量積的兩個(gè)向量的和、差向量；而轉(zhuǎn)化方法的思維運(yùn)算應(yīng)當(dāng)是最復(fù)雜的，因?yàn)榛椎倪x擇是多樣的，往往不是那么直白，這就帶來(lái)哪組基底才能解決困境的選擇，這是需要學(xué)生動(dòng)腦思考的；同樣建系也需要學(xué)生考慮將坐標(biāo)原點(diǎn)建在哪個(gè)位置才能更好地描寫(xiě)坐標(biāo). 在計(jì)算的復(fù)雜程度可以從計(jì)算涉及的運(yùn)算元素窺見(jiàn)，極化恒等式涉及的計(jì)算元素僅是和、差向量的模長(zhǎng)；轉(zhuǎn)化涉及的運(yùn)算元素不僅包含模長(zhǎng)，更有三角函數(shù)的計(jì)算；而建系法的運(yùn)算元素主要是坐標(biāo)，而坐標(biāo)的確定是一個(gè)運(yùn)算較多的內(nèi)容. 透過(guò)上面的比較不難發(fā)現(xiàn)，極化恒等式相對(duì)于轉(zhuǎn)化和建系，無(wú)論是在思維還是在計(jì)算上均有一定的優(yōu)勢(shì). 當(dāng)然這種優(yōu)勢(shì)也并非絕對(duì)的，因?yàn)槔脴O化恒等式是需要平行四邊形模型或三角型模型的，若問(wèn)題情境中不存在這樣的條件，需要學(xué)生創(chuàng)造時(shí)，其思維的難度就加大了.

[?] 關(guān)于向量數(shù)量積求解的個(gè)人反思

轉(zhuǎn)化、建系和極化恒等式均可作為解決向量數(shù)量積的手段. 每一個(gè)方法均有其本質(zhì)，轉(zhuǎn)化的本質(zhì)即將待求向量基底化；建系的本質(zhì)是將待求向量坐標(biāo)化；而極化恒等式的本質(zhì)是將待求向量數(shù)量積長(zhǎng)度化.

通常利用轉(zhuǎn)化求解向量數(shù)量積有2個(gè)可供思考的方向：其一，將待求向量數(shù)量積向已知向量去轉(zhuǎn)化；其二，將待求向量和已知向量均向與它們有共同聯(lián)系的一組基底轉(zhuǎn)化，以這組公共基底作為橋梁解決問(wèn)題. 正如2016年的這道高考題一樣，筆者可將待求的和向已知的，或，轉(zhuǎn)化，亦可將已知的和待求的向量均向，這一與它們均有聯(lián)系的基底轉(zhuǎn)化. 但無(wú)論哪個(gè)方向，它們均有一個(gè)共同的本質(zhì)，即將待求向量基底化，所不同的是轉(zhuǎn)化時(shí)所選取的具體基底不同而已.

對(duì)于建系解決向量數(shù)量積，一般情況下人們都認(rèn)為只有在問(wèn)題情境中存在著特殊角度或存在對(duì)稱圖形時(shí)才可以利用建系來(lái)解決，因?yàn)橛刑厥饨嵌葧r(shí)有利于各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算. 但是通過(guò)這道高考題可以打破這個(gè)思維的習(xí)慣，即不必再死抱著特殊角度這一觀念，當(dāng)存著等分點(diǎn)時(shí)亦可大膽地利用構(gòu)建坐標(biāo)系的方法解決. 同樣的無(wú)論是哪一種情況下利用建系來(lái)處理數(shù)量積問(wèn)題，它總是借助坐標(biāo)系將待求向量坐標(biāo)化，所不同的是在特殊角度的情境下書(shū)寫(xiě)坐標(biāo)是借助角度的數(shù)量關(guān)系，而在等分點(diǎn)的問(wèn)題情境下書(shū)寫(xiě)坐標(biāo)是借助線段比例.

對(duì)于極化恒等式而言，有些教師認(rèn)為這種技巧性的解法必須滿足①共起點(diǎn)②存在中點(diǎn)或等分點(diǎn)這樣的前提條件. 他們認(rèn)為這是由極化恒等式的平行四邊形或三角形模型所決定的，并且很多問(wèn)題情境中的確存在著這樣的特點(diǎn). 筆者認(rèn)為這樣的看法似乎有些保守. 就江蘇這道高考題而言，我們?nèi)卫脴O化恒等式均未滿足共起點(diǎn)這個(gè)條件. 因?yàn)榫拖蛄康目善揭菩远匀我鈨蓚€(gè)不共起點(diǎn)的向量均可通過(guò)平移后共起點(diǎn). 而對(duì)于第二問(wèn)題就更不必?fù)?dān)心了，當(dāng)我們需要中點(diǎn)時(shí)完全可以根據(jù)問(wèn)題的要求來(lái)構(gòu)造中點(diǎn)，以達(dá)到輔助解題的目的，更何況有些情境下根本就不需要中點(diǎn). 筆者認(rèn)為問(wèn)題的關(guān)鍵不在于是否存在中點(diǎn)或共起點(diǎn)，而是讓學(xué)生關(guān)注極化恒等式的本質(zhì)，即將向量數(shù)量積用線段的長(zhǎng)度來(lái)表示.