談高考試題中“向量投影”知識(shí)的運(yùn)用

徐曉紅

[摘 要] 在解決數(shù)量積等問題中，學(xué)生常常沒有將“向量投影”處于一種優(yōu)先考慮的策略. 而某些向量問題，通過數(shù)量積的幾何意義的優(yōu)先考慮與恰當(dāng)表征，有助于簡約問題解決的思維長度，從而順利地解決面臨的問題.

[關(guān)鍵詞] 高考試題；向量；投影

平面向量具有代數(shù)與幾何的雙重身份，是溝通代數(shù)、幾何與三角的橋梁，它是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)重要的交匯點(diǎn)，也是高考中命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn). 在高考中大多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，題目靈活、多變，部分題目以能力立意命題，要求學(xué)生有一定的數(shù)形結(jié)合思想和能力. 但筆者在高三教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在解決向量問題時(shí)存在著思維選擇上的策略問題. 下面以一道浙江省2016年高考理科向量試題為例加以說明.

[?] 問題展示

問題：已知向量a，b，

a

=1，

b

=2，若對(duì)任意單位向量e，均有

a·e

+

b·e

≤，則a·b的最大值是________.

筆者在課堂上曾讓學(xué)生們就這道試題進(jìn)行求解，結(jié)果發(fā)現(xiàn)除了一部分學(xué)生碰到了思維障礙，未能成功解決問題之外，其他解決問題的學(xué)生基本上用了如下兩種解法當(dāng)中的一種，并且采用解法2的學(xué)生都在相同的一本參考書上學(xué)習(xí)過了這種解法.

解法1 如圖1所示：

設(shè)=a，=b，=e，〈a，e〉=α，〈b，e〉=β，而〈a，b〉=θ，則

a·e

+

b·e

=cosα+2cosβ=cosα+2

cos（θ-α）

，取得最值時(shí)，顯然cosα與cos（θ-α）同號(hào)，故

a·e

+

b·e

≤cosα+2cos（θ-α） =（2cosθ+1）cosα+2sinθsinα=

·sin（α+γ）=sin（α+γ）≤. （其中sinγ=，cosγ=，取γ∈[0，2π）），顯然≤，故cosθ≤，由于a·b=

a

b

cosθ=2cosθ，則易知當(dāng)cosθ=時(shí)，（a·b）max=.

解法2 由題意，可令e=（1，0），a=（cosα，sinα），b=（2cosβ，2sinβ），由

a·e

+

b·e

≤可得cosα+2cosβ≤①，sinα+2sinβ=m②.

①2+②2得：4（cosαcosβ +sinαsinβ）≤1+m2對(duì)一切實(shí)數(shù)α，β恒成立，所以

4（cosαcosβ +sinαsinβ）≤1. 故a·b=2（cosαcosβ+sinαsinβ）≤2（cosαcosβ+sinαsinβ）≤，故（a·b）max=.

從解題過程上看，解法1顯得過于復(fù)雜煩瑣，而解法2雖從思路上看起來別具一格，但并不符合學(xué)生常規(guī)的思維脈絡(luò)，并且嚴(yán)謹(jǐn)性不夠，還需檢驗(yàn)α，β是否能夠取到. 實(shí)際上，這道問題有著思路更為簡潔明了、過程更為言簡意賅的解法，具體如下.

解法3：由于

（a+b）·e

≤

a·e

+

b·e

≤，而因?yàn)閍+b在e方向上的投影等于a，b在e方向上的投影之和，所以當(dāng)e與a+b共線時(shí)，取得最大值，則（

a+b

）max=，即（

a

2+

b

2+2a·b）max=6，于是（a·b）max=，即最大值為.

[?] 原因剖析

為什么會(huì)出現(xiàn)如上的情況呢？筆者經(jīng)過與學(xué)生、其他同行的交流以及結(jié)合自己的分析思考，認(rèn)為可能是由于以下原因?qū)е碌?

在高中教材必修4中指出數(shù)量積的定義：即已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量

a

·

b

·cosθ叫作a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b. 根據(jù)上述定義，我們就可以得到解決平面向量數(shù)量積等問題的三種運(yùn)算形式：

（1）數(shù)量積的代數(shù)運(yùn)算形式：a·b=

a

·

b

·cosθ；

（2）數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度

a

與b在a的方向上的投影

b

cosθ的乘積；

（3）數(shù)量積的的坐標(biāo)運(yùn)算形式：a·b=x1x2+y1y2.

在實(shí)際解題中，一方面雖然向量天生具有“形”的特質(zhì)，但是可能由于學(xué)生受到數(shù)學(xué)抽象性訓(xùn)練的長期熏陶，習(xí)慣性地產(chǎn)生“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化的思維定式，轉(zhuǎn)而利用數(shù)量積的代數(shù)運(yùn)算形式或者坐標(biāo)形式來解決問題，而這往往是命題者設(shè)置思維障礙的關(guān)鍵點(diǎn)；另一方面，也許教師在平面向量的課堂教學(xué)中也會(huì)用到向量的幾何法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，但是卻沒有將之處于一種解題時(shí)優(yōu)先考慮的策略，再加上學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合能力的掌握卻不一定到位，故“光有思想沒有能力”是很多學(xué)生在解決平面向量數(shù)量積等問題時(shí)的困惑之處.

通過以上分析，筆者在平面向量的教學(xué)中，一方面讓學(xué)生加深對(duì)向量“形”的特質(zhì)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用；另一方面故意采用更多的用代數(shù)方法較難以解決的數(shù)量積問題，讓學(xué)生進(jìn)行思考和分析，力圖讓學(xué)生轉(zhuǎn)換面對(duì)數(shù)量積問題時(shí)優(yōu)先考慮的解題策略. 而筆者也經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，許多與數(shù)量積有關(guān)的高考試題，如果合理運(yùn)用數(shù)量積的幾何意義去研究和分析，就極有可能回避較為煩瑣的代數(shù)運(yùn)算，從而較順利地解決問題，上面展示的問題就是明顯的例子，而下面內(nèi)容就是筆者當(dāng)前在數(shù)量積復(fù)習(xí)的課堂教學(xué)中采用的高考分類例析片斷.

[?] 試題展析

1. “向量投影”知識(shí)在定值問題中的運(yùn)用

試題1 （2015年山東高考理科試題）已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=60°，則·等于（ ）

A. -a2 B. -a2

C. a2 D. a2

分析：如圖2，由題意可知，AC⊥BD，

=a，則易知

·=·=

·

=a×=. 故選D.

2. “向量投影”知識(shí)在最值問題中的運(yùn)用

試題2 （2016年浙江高考文科試題） 已知平面向量a，b，

a

=1，

b

=2，a·b=1，若e為平面單位向量，則

a·e

+

b·e

的最大值是__________.

分析：仿照上面展示的問題，則由題意可知，

a·e

+

b·e

=

+

，其幾何意義a在e上的投影的絕對(duì)值與b在e上投影的絕對(duì)值的和，則由a·e+b·e=（a+b）·e的幾何意義可知，a+b在e方向上的投影等于a，b在e方向上的投影之和，由直角三角形的知識(shí)可以得到： 此題當(dāng)e與a+b共線時(shí)，取得最大值. 則（

a·e

+

b·e

）max=

a+b

==，故答案為.

3. “向量投影”知識(shí)在范圍問題中的運(yùn)用

試題3 （2016年上海高考理科試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線y=上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則·的取值范圍是__________.

分析：如圖3，由題意得知y=表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的上半圓. 而·等于的長度

與在的方向上的投影

cosθ的乘積. 顯然其最小值為0，最大值即·=

×

，此時(shí)直線PC與圓相切，且PC⊥BA于點(diǎn)C，作OD⊥BA于點(diǎn)D. 則我們不難得到：

=

+

=

+

=1+，則可知所求的范圍為[0，1+].

4. “向量投影”知識(shí)在恒成立問題中的運(yùn)用

試題4 （2013年浙江高考理科試題）設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B=AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有·≥·，則（ ）

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90°

C. AB=AC D. AC=BC

分析：如圖4，可設(shè)

=4，則

=1，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，在AB上任取一點(diǎn)P，設(shè)

HP0

=a，則由數(shù)量積的幾何意義可得，·=

·

=[

-（a+1）]·

，·=-

·

= -a，于是·≥·恒成立，相當(dāng)于

-（a+1）·

≥-a恒成立，整理得

2-（a+1）

+a≥0，于是Δ=（a-1）2≤0，則a=1. 故可知H為AB的中點(diǎn)，所以△ABC為等腰三角形，即答案為D.

眾所周知，問題表征作為解題過程的起點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)問題作出的表征是否恰當(dāng)、合理，對(duì)數(shù)學(xué)問題能否有效解決有著重大且直接的影響. 顯然利用向量投影這一工具去解決的問題肯定不止以上四類，這些試題的解法也遠(yuǎn)不止一種，也就是說這些問題在學(xué)生進(jìn)行分析時(shí)可能有多種思路和方法，而問題的多維表征是解題思路產(chǎn)生的源泉，正確的語言表征是理解問題的前提條件，準(zhǔn)確的符號(hào)表征是問題解決的信息儲(chǔ)存和加工過程的有效表現(xiàn)形式.某些向量問題，通過數(shù)量積的幾何意義的優(yōu)先考慮與恰當(dāng)表征，即向量投影進(jìn)行適當(dāng)?shù)膱D形表征有助于問題的形象直觀思考，也有助于簡約問題解決的思維長度，從而順利地解決面臨的問題.