輪-腿復(fù)合移動機(jī)器人RUPU-RUPR球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)動力學(xué)研究

桑董輝 陳 原 高 軍

(山東大學(xué)(威海)機(jī)電與信息工程學(xué)院， 威海 264209)

輪-腿復(fù)合移動機(jī)器人RUPU-RUPR球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)動力學(xué)研究

桑董輝 陳 原 高 軍

(山東大學(xué)(威海)機(jī)電與信息工程學(xué)院， 威海 264209)

提出了一種二自由度球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)，并以該機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)，設(shè)計了一種結(jié)構(gòu)簡單且越障性能良好的輪-腿復(fù)合移動機(jī)器人。闡述了該機(jī)構(gòu)的組成，采用解析幾何法和閉環(huán)約束方程構(gòu)建了RUPU-RUPR球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)的位置逆解、工作空間、速度和加速度模型,并驗證了其準(zhǔn)確性。運(yùn)用牛頓-歐拉法建立了RUPU-RUPR球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型。在給定動平臺的運(yùn)動規(guī)律和外力后，通過動力學(xué)方程求解出RUPR驅(qū)動支鏈驅(qū)動力，RUPU驅(qū)動支鏈驅(qū)動力矩以及RUPR驅(qū)動支鏈約束力矩，并給出動力學(xué)模型仿真解。結(jié)果表明該機(jī)構(gòu)具有良好的工作性能。

輪-腿復(fù)合移動機(jī)器人； 球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)； 動力學(xué)模型

引言

從行進(jìn)機(jī)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型角度，可將移動機(jī)器人分為輪式、腿式、履帶式和復(fù)合式4種類型[1-3]。輪式移動機(jī)構(gòu)應(yīng)用最為普遍，其結(jié)構(gòu)簡單、移動速度快，但在特殊環(huán)境下越障能力差。由仿生學(xué)發(fā)展而來的腿式移動機(jī)構(gòu)行走時與地面接觸為不連續(xù)的離散點，適合于攀爬和跨越簡單障礙，而對于復(fù)雜崎嶇的地形也存在局限性。履帶式移動機(jī)構(gòu)支撐面積大、接地比壓小，適合在松軟的路面行走，但履帶式機(jī)器人存在行動速度慢、振動大、靈活性不足等缺陷。為了適應(yīng)復(fù)雜的陸地環(huán)境，目前很多機(jī)器人都采用復(fù)合移動機(jī)構(gòu)。其中，輪-腿復(fù)合式移動機(jī)器人[4-7]兼具輪式機(jī)器人的穩(wěn)定性好和腿式機(jī)器人的越障能力強(qiáng)的優(yōu)點，受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[8-10]。

目前，輪-腿復(fù)合式移動機(jī)構(gòu)的構(gòu)型研究僅局限于串聯(lián)機(jī)構(gòu)[11-16]。串聯(lián)式輪-腿復(fù)合移動機(jī)構(gòu)雖然具有良好的越障性能，但存在驅(qū)動關(guān)節(jié)多、控制難度大、運(yùn)動姿態(tài)單調(diào)和剛度差等缺陷。與串聯(lián)腿機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)具有控制簡單、姿態(tài)調(diào)整豐富且剛度高的優(yōu)點，它可根據(jù)機(jī)器人移動操縱任務(wù)要求產(chǎn)生其他多維方向上的輪子空間姿態(tài)調(diào)整運(yùn)動。但現(xiàn)有的多自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度過多，且整體安裝模塊大，在結(jié)構(gòu)上很難應(yīng)用于輪-腿復(fù)合式移動機(jī)器人的腿部機(jī)構(gòu)。球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)[17-24]的工作空間大且連續(xù)性強(qiáng)，能使安裝于動平臺上的輪子到達(dá)球面空間內(nèi)的任意位置，這樣會大大提高機(jī)器人在復(fù)雜多變環(huán)境下的越障靈活性。但現(xiàn)有的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)大多具有3條支鏈以上，且自由度多、控制困難。為了提高復(fù)雜環(huán)境下移動機(jī)器人的越障性能,本文提出RUPU-RUPR二自由度球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)?；谠撉蛎娌⒙?lián)機(jī)構(gòu)，設(shè)計一種可以實現(xiàn)靈活越障功能的輪-腿復(fù)合式移動機(jī)器人。并對RUPU-RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)建模分析。

1 RUPU-RUPR球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)

1.1 RUPU-RUPR球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)設(shè)計

如圖1所示為輪-腿復(fù)合式移動機(jī)器人的RUPU-RUPR球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)由動平臺、靜平臺、RUR傳動支鏈和兩條驅(qū)動支鏈構(gòu)成。轉(zhuǎn)動副6、萬向節(jié)5、移動副4和萬向節(jié)3構(gòu)成了RUPU驅(qū)動支鏈。轉(zhuǎn)動副9、萬向節(jié)10、移動副11(用螺旋副代替，采用電機(jī)驅(qū)動)和轉(zhuǎn)動副1構(gòu)成了RUPR驅(qū)動支鏈。中間RUR傳動支鏈由轉(zhuǎn)動副7、萬向節(jié)8和轉(zhuǎn)動副2構(gòu)成。

圖2 RUPU-RUPR球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動姿態(tài)Fig.2 Motion gestures of RUPU-RUPR spherical parallel mechanism

圖1 RUPU-RUPR球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)Fig.1 RUPU-RUPR spherical parallel mechanism1、2、6、7、9.轉(zhuǎn)動副 3、5、8、10.萬向節(jié) 4.移動副 11.螺旋副

1.2 RUPU-RUPR球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)運(yùn)動特性

RUPU驅(qū)動支鏈?zhǔn)前羊?qū)動電機(jī)的扭矩通過轉(zhuǎn)動副6、萬向節(jié)5、移動副4(該移動副截面為四邊形，可以傳遞扭矩)和萬向節(jié)3把扭矩傳遞到動平臺，以實現(xiàn)如圖2a所示的動平臺繞Y軸的旋轉(zhuǎn)。RUPR驅(qū)動支鏈把驅(qū)動電機(jī)的扭矩通過轉(zhuǎn)動副9、萬向節(jié)10傳遞到螺旋副11，實現(xiàn)如圖2b所示的動平臺繞X軸方向的旋轉(zhuǎn)。2條支鏈同時作用時，機(jī)構(gòu)姿態(tài)如圖2c所示。RUR傳動支鏈通過轉(zhuǎn)動副7、萬向節(jié)8和轉(zhuǎn)動副2把輸出扭矩傳遞到輪子，實現(xiàn)輪子的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。通過調(diào)整2條驅(qū)動支鏈的驅(qū)動電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向，可使動平臺到達(dá)以RUR傳動支鏈長度為半徑的球面空間中的任一點，實現(xiàn)輪子的靈活轉(zhuǎn)向和越障。

2 輪-腿復(fù)合式移動機(jī)器人及其越障性能

以RUPU-RUPR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為移動機(jī)器人的腿機(jī)構(gòu)，構(gòu)建了如圖3a所示的輪-腿復(fù)合式機(jī)器人。該機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡單，驅(qū)動電機(jī)全部布置在軀干內(nèi)。機(jī)器人兩側(cè)對稱分布4個RUPU-RUPR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)的動平臺連接輪子。為了保證機(jī)器人在各種姿態(tài)下的平穩(wěn)運(yùn)行，防止輪子出現(xiàn)打滑和卡死現(xiàn)象，在對稱分布的兩個球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的主軸中間安裝有如圖3b所示的差速器。

圖3 輪-腿復(fù)合式移動機(jī)器人Fig.3 Wheel-legged mobile robots

圖4 輪-腿復(fù)合式移動機(jī)器人的越障姿態(tài)Fig.4 Obstacle crossing motion gestures of wheel-legged mobile robots

當(dāng)RUPU-RUPR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)在其工作空間內(nèi)進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整時，可以實現(xiàn)輪-腿復(fù)合式機(jī)器人的轉(zhuǎn)向以及如圖4所示的小半徑轉(zhuǎn)向、越障以及轉(zhuǎn)向越障等各種越障姿態(tài)。RUPU-RUPR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輪子可以到達(dá)其球面工作空間上的任意一點，輪子的角度可以任意調(diào)控，從而使輪子具有非常靈活的越障性能。

3 RUPU-RUPR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)建模

RUPU-RUPR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)建模是在動平臺姿態(tài)角已知的情況下，求兩條驅(qū)動支鏈的伸縮位移、伸縮速度、旋轉(zhuǎn)角速度、伸縮加速度以及動平臺的角速度。在進(jìn)行運(yùn)動學(xué)建模之前，首先建立如圖5a所示的坐標(biāo)系，在靜平臺上建立固定坐標(biāo)系{A}(OXYZ)，其坐標(biāo)原點建立在靜平臺中心O處，X軸垂直于A1A2，Y軸沿A1A2方向，Z軸符合右手定則；同理，在動平臺上建立動坐標(biāo)系{P}(PXPYPZP)。在支鏈上建立支鏈坐標(biāo)系{A1}(A1X1Y1Z1)，該坐標(biāo)原點在A1處，Z1軸從A1指向B1，Y1軸平行于YZ平面，X1軸符合右手定則。

圖5 坐標(biāo)系及坐標(biāo)變換Fig.5 Coordinate frame and transformation

3.1 坐標(biāo)變換與位置逆解

(1)

式中ATP——動坐標(biāo)系到定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣

當(dāng)動平臺姿態(tài)角為α和β，RUR傳動支鏈OP長度為h時，動坐標(biāo)系{P}的原點在固定坐標(biāo)系下的位置向量U為

(2)

其中

式中u——{P}的原點在固定坐標(biāo)系中位置向量

同理，根據(jù)RUPR驅(qū)動支鏈的姿態(tài)角θ和φ(θ為支鏈繞X軸旋轉(zhuǎn)的角度，φ為支鏈繞Y軸旋轉(zhuǎn)的角度)，可以得到RUPR驅(qū)動支鏈相對于定平臺的旋轉(zhuǎn)矩陣為

如圖5b所示，為了方便計算假設(shè)lOB1=lOA1=R。當(dāng)動平臺繞X軸轉(zhuǎn)過α角度時，RUPR驅(qū)動支鏈轉(zhuǎn)過角度為φ，其中，α為以R為半徑的圓的圓心角，φ為以R為半徑的圓的圓周角，可得φ=0.5α。

在固定坐標(biāo)系下，RUPR驅(qū)動支鏈、靜平臺、動平臺和RUR傳動軸構(gòu)成如圖5a所示的四邊形結(jié)構(gòu)，用向量表示為lOA1+lA1B1=lOP+lPB1，因此，機(jī)構(gòu)的閉環(huán)約束方程可以表示為

A1+l1AS1=b1

(3)

其中

式中A1——A1點在固定坐標(biāo)系中的位置向量l1——向量lA1B1的模AS1——向量lA1B1在固定坐標(biāo)系下單位向量

b1——B1點在固定坐標(biāo)系下的位置向量

求解方程(3)得

(4)

式中h1——OB1的長度

向量lA1B1的單位向量在支鏈坐標(biāo)系{A1}下表示為

A1S1=[0 0 1]T

在固定坐標(biāo)系{A}下可表示為

RUPU驅(qū)動支鏈可以把扭矩從電動機(jī)直接傳遞到動平臺，所以RUPU驅(qū)動支鏈上轉(zhuǎn)動副6轉(zhuǎn)過的角度γ與動平臺繞Y軸轉(zhuǎn)過的角度β一致，即γ=β。聯(lián)立方程(4)得到RUPU-RUPR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)位置逆解為

(5)

當(dāng)RUPR驅(qū)動支鏈的螺旋副為驅(qū)動副(視為移動副計算)時，RUPU驅(qū)動支鏈的移動副起到被動約束作用。由于兩條驅(qū)動支鏈的移動副都由缸體和活塞兩部分組成，這里假設(shè)兩條支鏈的缸體與活塞長度一樣，在固定坐標(biāo)系下缸體和活塞的質(zhì)心位置向量可表示為

(6)

式中Ar1——缸體質(zhì)心位置Ar2——活塞質(zhì)心位置e1——缸體長度e2——活塞長度

3.2 速度與加速度模型構(gòu)建

根據(jù)RUPR驅(qū)動支鏈的運(yùn)動姿態(tài)角θ和φ，以及支鏈旋轉(zhuǎn)矩陣ATA1，可以求得支鏈的角速度矢量為

同理，根據(jù)動平臺的運(yùn)動姿態(tài)角α、β以及動平臺相對于固定平臺的旋轉(zhuǎn)矩陣ATP，求得動平臺的角速度矢量為

式(3)右側(cè)對時間求導(dǎo)，得到固定坐標(biāo)系下RUPR驅(qū)動支鏈上B1點的速度矢量為

AVB1=Aωb1

(7)

(8)

將式(3)左側(cè)對時間求導(dǎo)，并通過坐標(biāo)變換也可得支鏈坐標(biāo)系下B1點的速度矢量為

(9)

式中A1ω1——支鏈坐標(biāo)系下RUPR驅(qū)動支鏈繞A1點轉(zhuǎn)動的角速度矢量

將式(8)代入式(9)并用向量A1S1對式(9)兩邊作點積可得

(10)

式中A1VB1z——B1點的速度矢量AiVB1在Z方向的分量，即支鏈的伸縮速度，用支鏈坐標(biāo)系下Z方向的移動速度表示

式(6)對時間求導(dǎo)，并通過坐標(biāo)變換可得到支鏈坐標(biāo)系下缸體和活塞的質(zhì)心速度

(11)

式(7)對時間求導(dǎo)可得固定坐標(biāo)系下B1點的加速度矢量

(12)

(13)

式(13)兩邊用向量A1S1作點積，可得RUPR驅(qū)動支鏈的伸縮加速度

(14)

式(11)對時間求導(dǎo)，并通過坐標(biāo)變換得到缸體和活塞的質(zhì)心加速度矢量

(15)

4 RUPR-RUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模

如圖6所示為RUPR-RUPU球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的受力簡圖，該機(jī)構(gòu)為二自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)。RUPR驅(qū)動支鏈的驅(qū)動電機(jī)通過螺旋副把輸出的扭矩轉(zhuǎn)化為直線推力，使動平臺繞X軸轉(zhuǎn)動。RUPU支鏈的驅(qū)動電機(jī)把輸出扭矩通過如圖1所示的轉(zhuǎn)動副6、萬向節(jié)5、移動副4和萬向節(jié)3傳遞到動平臺，使動平臺繞Y軸轉(zhuǎn)動。RUPU驅(qū)動支鏈中的移動副起被動約束作用。轉(zhuǎn)動副1限制了動平臺的繞Z軸的轉(zhuǎn)動自由度。

圖6 RUPU-RUPR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的受力簡圖Fig.6 Mechanism force diagram of RUPU-RUPR spherical parallel

4.1 支鏈動力學(xué)方程

設(shè)fb=[0fpyfpz]T為支鏈坐標(biāo)系下RUPR驅(qū)動支鏈作用于動平臺的三維力向量，g=[0 0 -g]T為固定坐標(biāo)系下的重力加速度向量，M為RUPU驅(qū)動支鏈的驅(qū)動力矩，Mp為RUPU支鏈傳遞到動平臺U副上的扭矩，Mbx為RUPR支鏈所受的扭矩。假設(shè)RUPU支鏈的扭矩傳遞效率為100%，通過受力分析可以得到RUPR支鏈的牛頓方程

(16)

式中Fp——動平臺所受合外力F——RUPR支鏈直線驅(qū)動力m2——支鏈活塞質(zhì)量

RUPR支鏈在支鏈坐標(biāo)系下相對于坐標(biāo)原點A1的合外力矩向量為

A1MA1=l1A1S1(-fp)+

[m1e1+m2(l1-e2)](A1S1×A1g)+Mb

(17)

其中

A1g=ATA1Tg

式中A1g——支鏈坐標(biāo)系下的重力加速度Mb——支鏈坐標(biāo)系下動平臺作用于RUPR驅(qū)動支鏈的扭矩

m1——支鏈缸體質(zhì)量

通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到RUPR支鏈所受的扭矩Mb

Mb=Rx(θ)Rx(α)Mp

(18)

其中

Rx(α)和Rx(θ)分別為固定坐標(biāo)系和動坐標(biāo)系繞Y軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。

RUPR驅(qū)動支鏈在其支鏈坐標(biāo)系下坐標(biāo)原點相對A1的合慣性力矩向量為

A1NA1=-m1e1(A1S1iV1)-m2(l1-e2)(A1S1A1V2)-

(19)

式中A1I1、A1I2——缸體和活塞在RUPR支鏈坐標(biāo)系下關(guān)于質(zhì)心的慣性矩陣

由歐拉方程得到力矩平衡方程為

A1NA1=A1MA1

(20)

聯(lián)立式(16)和式(20)得到支鏈的動力學(xué)方程，對其求解可得RUPR驅(qū)動支鏈?zhǔn)箘悠脚_繞X軸轉(zhuǎn)動的驅(qū)動力

4.2 動平臺動力學(xué)方程

動平臺只具有X、Y方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，因此以固定坐標(biāo)系原點O為質(zhì)心建立歐拉方程為

ANp+b1Afp+AMp+Anp=0

(21)

Afp=AiTpfp

(22)

式中Anp——固定坐標(biāo)系下動平臺關(guān)于質(zhì)心的慣性力矩向量

ANp——固定坐標(biāo)系下動平臺所受載荷力矩矢量

Afp——固定坐標(biāo)系下RUPR驅(qū)動支鏈對動平臺的作用力

AMp——固定坐標(biāo)系下RUPU驅(qū)動支鏈作用于動平臺的扭矩

AIp——固定坐標(biāo)系下動平臺關(guān)于質(zhì)心的慣性矩陣

求解方程(21)可得fpz和Mp,將其代入式(16)可求得到驅(qū)動力F，聯(lián)立式(16)、(20)和(22)，可得RUPU-RUPR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型

圖7 運(yùn)動學(xué)數(shù)值仿真結(jié)果Fig.7 Numerical simulation results of kinematics

5 RUPU-RUPR球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)的算例仿真

經(jīng)Matlab編程計算，可得動平臺和B1點運(yùn)動軌跡、動平臺角速度、B1點線速度、支鏈伸縮速度、支鏈伸縮加速度等運(yùn)動學(xué)模型數(shù)據(jù)。這些運(yùn)動學(xué)數(shù)值仿真軌跡曲線如圖7所示。另外，通過數(shù)值模擬得到如圖8所示的動平臺工作空間三維圖，從圖8中可看出該機(jī)構(gòu)工作空間為球面空間的子集。

假設(shè)動平臺以2 rad/s的速度繞固定坐標(biāo)系的X軸和Y軸轉(zhuǎn)動。機(jī)構(gòu)質(zhì)心重力加速度為g=[0 0 -10]T，動平臺所受外力為fp=[0 0 0]T，動平臺所受載荷力矩矢量為Np=[0 0 0]T。假設(shè)2條支鏈的缸體和活塞質(zhì)量相同m1=m2=1 kg，動平臺質(zhì)量m設(shè)為1 kg。2條支鏈的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)為

動平臺轉(zhuǎn)動慣量為

圖8 工作空間Fig.8 Workplace

經(jīng)Matlab編程計算，可得RUPR驅(qū)動支鏈的驅(qū)動力，RUPU驅(qū)動支鏈的驅(qū)動力矩以及RUPR驅(qū)動支鏈的約束力矩，其仿真曲線如圖9所示。從圖中可以看出RUPU驅(qū)動支鏈所需的驅(qū)動力矩和RUPR

驅(qū)動支鏈所需的約束力矩較小，RUPR驅(qū)動支鏈所需的驅(qū)動力較大。為了減少振動和防止過載，根據(jù)螺旋副受力

N=F′d/(nπ)

式中N——螺旋副扭矩F′——軸向力n——螺旋副正效率d——導(dǎo)程

選擇大導(dǎo)程螺旋副以減少驅(qū)動扭矩。這些動力學(xué)模型的數(shù)值仿真結(jié)果可為后續(xù)電動機(jī)選型和機(jī)器人越障性能的分析提供理論指導(dǎo)。

圖9 動力學(xué)數(shù)值仿真結(jié)果Fig.9 Numerical simulation results of dynamics

6 結(jié)論

(1)提出了一種二自由度球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)緊湊，控制靈活，并具有球面工作空間?；谠撉蛎娌⒙?lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計了一種能夠?qū)崿F(xiàn)靈活越障的輪-腿復(fù)合移動機(jī)器人。

(2)采用解析幾何法和閉環(huán)約束方程建立了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)模型，并通過數(shù)值模擬驗證了位置逆解、速度解、加速度解的正確性，并仿真出機(jī)構(gòu)的工作空間。

(3)基于牛頓-歐拉方程構(gòu)建了機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型，并通過數(shù)值仿真計算得出機(jī)構(gòu)的驅(qū)動力矩、驅(qū)動力和約束力矩，為后續(xù)的控制，步態(tài)規(guī)劃以及越障性能分析奠定基礎(chǔ)。

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Dynamics Investigation of RUPU-RUPR Spherical Parallel Mechanism for Wheel-Legged Mobile Robot

SANG Donghui CHEN Yuan GAO Jun

(SchoolofMechanical,Electrical&InformationEngineering,ShandongUniversity，Weihai264209，China)

A kind of 2-DOF spherical parallel mechanism was presented. Based on the mechanism, a type of wheel-legged mobile robot was developed, which had a simple structure and a good obstacle climbing ability. According to the design theory for parallel mechanisms based on position and orientation characteristic equation and the principle for the coupling degree reducing, a novel 2-DOF spherical parallel mechanism was proposed. The inverse kinematics, workspace, velocity and acceleration model of RUPU-RUPR spherical parallel mechanism were modeled by using analytic geometry method and closed loop constraint equation. The workspace, velocity and acceleration solutions were verified by numerical methods. The dynamic equations of RUPU-RUPR spherical parallel mechanism was also established by Newton-Euler formulation. Given the platform moving rules and external forces, the driving torque of the RUPU joint and the constraints torque of the RUPR joint were calculated. A simulation solution of the dynamic model was given. The results illustrated that the spherical parallel mechanism had a simple mechanical structure and large workspace. The research provided a theoretical base for its kinematics and dynamics and workplaces of this spherical parallel mechanism.

wheel-legged mobile robots; spherical parallel mechanism; dynamic model

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.08.045

2017-04-18

2017-06-14

國家自然科學(xué)基金項目(51375264)和山東省科技重大專項(2015JMRH0218)

桑董輝(1989—)，男，博士生，主要從事機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)研究，E-mail： sdwhsdh@163.com

陳原(1976—)，男，副教授，主要從事機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)研究，E-mail： cyzghysy@sdu.edu.cn

TP242; TH113

A

1000-1298(2017)08-0376-08