雙電荷在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動軌跡①*

楊 潔

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

姜付錦

(武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430300)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院物理視覺工作室 浙江 湖州 313000)

雙電荷在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動軌跡①*

楊 潔

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

姜付錦

(武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430300)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院物理視覺工作室 浙江 湖州 313000)

給出了質(zhì)量和電荷值相等的雙電荷在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動方程，討論了運(yùn)動守恒量和軌跡特性；數(shù)值求解方程，給出了軌跡封閉時軌跡曲線．

雙電荷 勻強(qiáng)磁場 軌跡

點(diǎn)電荷在勻強(qiáng)電場和磁場中運(yùn)動，隨著初始條件的不同，軌跡可以為拋物線、螺旋線、擺線等[1，2]；作為推廣，我們考慮點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場和勻強(qiáng)磁場復(fù)合電磁場中點(diǎn)電荷的軌跡問題，分為三種模型．三種模型都是在起始時刻加上一個勻強(qiáng)磁場, 磁場垂直于點(diǎn)電荷運(yùn)動平面. 第一種模型是一個負(fù)電荷固定，一個正電荷做勻速圓周運(yùn)動，加上勻強(qiáng)磁場后正電荷的運(yùn)動軌跡；第二個模型是自由異號雙電荷，起始靜止，在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動軌跡；第三個是自由同號雙電荷，起始靜止，在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動軌跡．

1 第一種模型對應(yīng)的電荷運(yùn)動軌跡

設(shè)固定電荷電荷量為-q，運(yùn)動電荷為+q，質(zhì)量為m，原先繞固定電荷做勻速圓周運(yùn)動，半徑是L．以加入勻強(qiáng)磁場時刻記時，以固定電荷為原點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動電荷的位移為r，那么運(yùn)動方程是

(1)

無論為了解析分析還是數(shù)值計算方便，要把以上方程量綱歸一化．設(shè)長度量綱是L，時間量綱是T0，磁場量綱是B0．式(1)中的3項量綱相等，都是力的量綱，得到

(2)

由此得到

采用極坐標(biāo)，設(shè)磁場強(qiáng)度為B=kB0ez，其中k是磁場相對強(qiáng)度，即磁場強(qiáng)度與磁場量綱B0的比值．運(yùn)動電荷位移為r=ρeρ.

(3)

把以上各式代入式(1)，得到量綱歸一化后的運(yùn)動方程

(4)

(5)

(6)

(7)

這個守恒量其實(shí)就是量綱歸一化后的能量．式(6)中解出角速度的表達(dá)式，然后代入式(7)，化簡得到

(8)

利用數(shù)學(xué)軟件分析發(fā)現(xiàn)，式(8)右邊有兩個實(shí)根，一個是ρ=1，還有一個就是矢徑極值．電荷從矢徑為1的地方運(yùn)動到矢徑極值處，然后繼續(xù)運(yùn)動到矢徑為1的地方，形成一個運(yùn)動周期，這也為數(shù)值計算結(jié)果所驗證．但是周期轉(zhuǎn)動角不再是2π的有理數(shù)倍，一般不會返回到原處．

我們用數(shù)值求解式(4)和式(5)的方法來求軌跡．?dāng)?shù)值計算給出，當(dāng)磁場相對強(qiáng)度k取適當(dāng)值時，周期轉(zhuǎn)動角是2π的有理數(shù)倍，電荷的運(yùn)動軌跡封閉且有對稱性．磁場正方向時，對稱封閉軌跡如圖1所示.

圖1 磁場正方向時正電荷的對稱封閉軌跡

磁場反方向時，對稱封閉軌跡如圖2所示.

圖2 磁場反方向時正電荷的對稱封閉軌跡

2 第二種模型對應(yīng)的電荷運(yùn)動軌跡

設(shè)起始時候正電荷在坐標(biāo)(1,0)處，負(fù)電荷在(-1,0)處，兩個電荷起始速度都為零．設(shè)正電荷的坐標(biāo)是(x1,y1)，負(fù)電荷的坐標(biāo)是(x2,y2)．由對稱性可知

x1(t)=-x2(t)=x(t)

y1(t)=y2(t)=y(t)

那么兩個電荷的量綱歸一化后的4個運(yùn)動方程簡化為以下兩個方程

(9)

(10)

(11)

那么右邊正電荷在(xmin,1)區(qū)間做周期運(yùn)動．

當(dāng)磁場相對強(qiáng)度k分別等于0.6,0.9,1.2時，兩個電荷的運(yùn)動軌跡如圖3所示.

圖3 小于臨界值時不同相對強(qiáng)度磁場下的異號雙電荷軌跡

圖4 大于臨界值時不同相對強(qiáng)度磁場下 異號雙電荷周期運(yùn)動軌跡

3 第三種模型對應(yīng)的電荷運(yùn)動軌跡

設(shè)起始時候一個正電荷在坐標(biāo)(1,0)處，另一個正電荷在(-1,0)處．采用極坐標(biāo)，由對稱性，兩個電荷的坐標(biāo)分別是(ρ,θ)和(ρ,θ+π)．仿照第一種情況的推導(dǎo)，得到量綱歸一化后的運(yùn)動方程

(12)

(13)

由對稱性，磁場正方向和反方向的軌跡一樣，只是運(yùn)動方向相反，所以我們只考慮正方向的磁場．?dāng)?shù)值求解式(12)和式(13)，當(dāng)磁場相對強(qiáng)度k取適當(dāng)值時，周期轉(zhuǎn)動角是2π的有理數(shù)倍，電荷的運(yùn)動軌跡會封閉且有對稱性，如圖5所示.

圖5 不同相對強(qiáng)度磁場下同號雙電荷周期運(yùn)動軌跡

4 結(jié)束語

通過數(shù)值求解雙電荷在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動方程，發(fā)現(xiàn)繞固定電荷運(yùn)動的電荷軌跡具有周期性，磁場相對強(qiáng)度取適當(dāng)值時，軌跡具有封閉對稱性；自由異號雙電荷存在一個臨界磁場，小于這個臨界值，它們會相遇；大于這個臨界值，它們會做對稱的周期運(yùn)動．自由同號雙電荷則做對稱的周期運(yùn)動，當(dāng)磁場相對強(qiáng)度取適當(dāng)值時，軌跡具有封閉對稱性．以上3種軌跡，推廣了文獻(xiàn)中電荷運(yùn)動軌跡，給物理中的運(yùn)動軌跡曲線寶庫增加了新成員．

1 汪靜誼．電子在相互垂直的電場和磁場中運(yùn)動軌跡的討論.大學(xué)物理，1988，7(9)：43～45

2 佘守憲，唐瑩．重力場和正交均勻電磁場中的旋輪線(擺線).物理與工程，2001，11(6)：12～18

TheMotionTrajectoryofDoubleChargeintheUniformMagneticFields

YangJie

(SchoolofScience,HuZhouTeachersCollege,HuZhou,ZheJiang313000)

JiangFujin

(TheFirstHighSchoolofHuangpiDistrictinWuhan,Wuhan,Hubei430300)

QiuWeigang

(PhysicsVisualStudio,HuZhouTeachersCollege,HuZhou,ZheJiang313000)

The equations of motion of double-charge in the uniform magnetic field are given. The constants of motion and the characteristics of orbits are discussed. The closed symmetric orbits are drawn from the numerical solution.

double charge;uniform magnetic field;orbit

*高等學(xué)校力學(xué)課程教學(xué)研究項目，編號：JZW-15-LX-15；湖州師范學(xué)院教改項目，編號：JGB16022；浙江省高校物理教學(xué)研究項目，編號：w201709；國家自然科學(xué)基金，編號：11475062

楊潔 (1996- ),女，在讀本科生.

2017-02-02)

①《物理通報》湖州工作室、武漢工作室供稿.